Η Ένωση Ελλήνων Φυσικών έχει ξεκινήσει εδώ και λίγο καιρό την έκδοση ενός περιοδικού (στη θέση του Φυσικού Κόσμου φαντάζομαι) με τίτλο "Physics News". Θα μπορούσε να πει κανείς διάφορα πράγματα για το συγκεκριμένο περιοδικό. Κατά τη γνώμη μου η έκδοση του Φυσικού Κόσμου που κυκλοφορούσε όταν εγώ ήμουν στο λύκειο ήταν μάλλον αρκετά ανώτερη και ήταν γεμάτη με ενδιαφέροντα προβλήματα και ασκήσεις, εκτός από τα κύρια άρθρα. Το θέμα μας πάντως δεν είναι η συγκεκριμένη έκδοση.
Στο δεύτερο τεύχος του συγκεκριμένου περιοδικού μπορεί να βρει κανείς στη σελίδα 10 ένα άρθρο του Επίκουρου Καθηγητή Μάνου Δανέζη με τίτλο, "Σκέψεις πάνω στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας".
Ένα σύντομο σχόλιο για το άρθρο θα ήταν, "Ούτε καν Λάθος".
Δηλαδή, δεν ξέρει κανείς από που να ξεκινήσει. Τι να πιάσει και τι να αφήσει από το άρθρο. Σε γενικές γραμμές θα έλεγε κανείς ότι υπάρχει μια διάχυτη παρανόηση και ένα μπέρδεμα ανάμεσα σε έννοιες που εμφανίζονται στην Ειδική Σχετικότητα και σε έννοιες που εμφανίζονται στη Γενική Σχετικότητα (το άρθρο υποτίθεται ότι αναφέρεται στην Ειδική Σχετικότητα). Υπάρχουν παρανοήσεις σε σχέση με έννοιες που εμφανίζονται στην Ειδική Σχετικότητα, υπάρχει μεταφορά εννοιών από τη Γενική Σχετικότητα στην Ειδική Σχετικότητα εντελώς εκτός πλαισίου, με το επιστέγασμα όλων αυτών να είναι η τελευταία ενότητα με τίτλο, "Η σχέση ταχύτητας και καμπυλότητας", όπου μπλέκονται με την Ειδική Σχετικότητα πράγματα από την Κοσμολογία. Αχταρμάς μεγάλος.
Ας τα πάρουμε όμως λίγο με μια σειρά, αν και δεν υπάρχει καμία σειρά, σε βαθμό που το άρθρο να μην επιδέχεται πιο συγκεκριμένου σχολιασμού πέρα από το not even wrong.
Ξεκινάμε λοιπόν με την πρώτη ενότητα και την εισαγωγή του άρθρου, όπου διατυπώνεται η διαπίστωση ότι,
Ένα ακόμα σημείο στο οποίο θα πρέπει να σταθώ είναι το ότι τα όσα αναφέρει το απόσπασμα ότι τα λέει η Ειδική Σχετικότητα, είναι αληθή στον ίδιο βαθμό κατά τον οποίο είναι αληθές το ότι η Νευτώνεια Θεωρία της βαρύτητας λέει ότι όλα τα σώματα πέφτουν στη Γη το ίδιο γρήγορα ανεξάρτητα της μάζας τους ή το ότι οι πλανήτες γυρίζουν γύρω από τον Ήλιο σε κλειστές τροχιές οι οποίες είναι ελλείψεις. Προφανώς η Νευτώνεια θεωρία της βαρύτητας αυτό που λέει είναι ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης έχει αυτή τη μορφή και οι νόμοι της κίνησης είναι έτσι και αν εσύ θέλεις να υπολογίσεις το πως θα κινηθεί ένα σώμα, πας και λύνεις το συγκεκριμένο πρόβλημα και θα σου δώσει ότι αποτέλεσμα σου δώσει. Στη Νευτώνεια βαρύτητα για παράδειγμα αν πάρει κανείς υπόψιν του το ότι ο Ήλιος δεν είναι τέλεια σφαίρα, τότε θα πάρει τροχιές που δεν είναι ακριβώς κλειστές ελλείψεις ή αν πάρει το πλήρες πρόβλημα της ακτινικής κίνησης της Γης μαζί με μια άλλη μάζα, θα δει ότι το πόσο γρήγορα πλησιάζουν η Γη και η άλλη μάζα εξαρτάται από την συνολική μάζα του συστήματος (συγκεκριμένα από την ανηγμένη μάζα) ή αν υπολογίσει και την αντίσταση από την παρουσία του αέρα θα πάρει πάλι κάποιο άλλο αποτέλεσμα. Ομοίως και στην Ειδική Σχετικότητα, οι προτάσεις που περιγράφει το απόσπασμα δεν είναι "αυτό που λέει η θεωρία", αλλά το αποτέλεσμα μιας ειδικής εφαρμογής της θεωρίας. Η ουσία της Ειδικής Σχετικότητας είναι άλλη.
Η δεύτερη ενότητα ξεκινά με μια οντολογική πρόταση σχετικά με το τι κάνει και τι δεν κάνει μια οποιαδήποτε θεωρία, στην οποία θα μπορούσα να σταθώ παραπάνω, αλλά δεν με ενδιαφέρει να το κάνω εδώ. Γενικά θα αποφύγω να σχολιάσω τα φιλοσοφικά θέματα όπου προκύπτουν.
Ξεκινάμε λοιπόν με το πρώτο σημάδι βαριάς παρανόησης. Σύμφωνα με αυτά που μας λέει ο Δανέζης, η Ειδική Σχετικότητα στηρίζεται στο γεγονός ότι ο κοσμικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος 3ων διαστάσεων, αλλά τετραδιάστατος χώρος Riemann, τον οποίο λέμε χωροχρόνο, ο οποίος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε κομμάτια, δηλαδή δεν μπορούμε να τον διαιρέσουμε σε χώρο και σε χρόνο, αλλά ούτε και να ορίσουμε ανεξάρτητα διαστήματα χώρου και χρόνου και άρα δεν μπορούμε να κάνουμε καμία μέτρηση. Σύμφωνα με τον Δανέζη όμως, οι χώροι Riemann έχουν την ιδιότητα αν κόψεις ένα ελαχιστότατο κομμάτι τους, το κομμάτι αυτό να συμπεριφέρεται σαν ένας Ευκλείδειος χώρος. Σύμφωνα με τον Δανέζη πάντα, ο Minkowski εκμεταλλεύτηκε την παραπάνω ιδιότητα έτσι ώστε, αφού δεν μπορούσε να κάνει φυσική στον χώρο Riemann (τον χωροχρόνο), έφερε στο σημείο του χωροχρόνου όπου βρισκόταν ένας παρατηρητής έναν εφαπτόμενο τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο - ο οποίος ονομάστηκε σύμφωνα με τον Δανέζη ψευδοευκλείδειος χώρος Minkowski - ο οποίος είχε πολύ μικρή έκταση και πάνω στον οποίο προέβαλε τα γεγονότα του τετραδιάστατου χωροχρόνου, προκειμένου να κάνει ο παρατηρητής φυσική σε αυτόν τον Ευκελιδειο τρισδιάστατο χώρο.
Για κάποιον που ξέρει λίγα πράγματα από διαφορική γεωμετρία και ειδική/γενική σχετικότητα, μπορεί να διακρίνει την σούπα που έχει μαγειρευτεί εδώ.
Τα σχετικά θέματα τα έχουμε συζητήσει εδώ σε διάφορα σημεία (πχ. α, β, γ). Οι χώροι Riemann είναι αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας και είναι ουσιαστικά γενικεύσεις των Ευκλείδειων χώρων, είναι δηλαδή γενικά καμπύλοι χώροι (σε αντίθεση με τους Ευκλείδειους που είναι επίπεδοι, έχουν δηλαδή μηδενική καμπυλότητα) με θετικά ορισμένη μετρική. Ένα παράδειγμα τέτοιου χώρου είναι η επιφάνεια μιας σφαίρας. Στη Γενική Σχετικότητα ασχολούμαστε με μια γενίκευση των χώρων Riemann οι οποίοι έχουν μη θετικά ορισμένη μετρική και η οποία έχει υπογραφή 1 αρνητικό και 3 θετικά, έχουν δηλαδή Lorentzian μετρικές. Ένας τέτοιος χώρος με μηδενική όμως καμπυλότητα (δηλαδή επίπεδος) είναι και ο τετραδιάστατος χωροχρόνος της Ειδικής Σχετικότητας. Αυτός ο χώρος λέγεται χώρος Minkowski. Επειδή η υπογραφή της μετρικής του χώρου Minkowski είναι $$\reverse\opaque(-1,1,1,1)$$ και άρα το στοιχειώδες μήκος σε αυτό το χώρο έχει τη μορφή $$\reverse\opaque ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$, όπως συμβαίνει και με το Πυθαγόρειο θεώρημα με τη διαφορά ότι έχουμε αυτό το "-" μπροστά από το dt, ο χώρος αυτός ονομάστηκε ψευδο-ευκλείδειος (αφού έχει ευκλείδειο μέτρο με μοναδική διαφορά το ένα "-"). Άρα, ο χωροχρόνος της Ειδικής Σχετικότητας είναι ένας επίπεδος (και όχι καμπύλος) χώρος 4ων διαστάσεων με Lorentzian μετρική και λέγεται χώρος Minkowski. Στην Γενική Σχετικότητα, οι χώροι που έχουμε είναι γενικά χώροι που έχουν μη μηδενική καμπυλότητα και οι οποίοι σε κάποια μικρή περιοχή τους γύρω από κάποιο σημείο μπορούν να προσεγγιστούν από έναν επίπεδο χώρο Minkowski, πράγμα το οποίο είναι μία έκφραση της αρχής της ισοδυναμίας, που λέει ότι ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση σε ένα βαρυτικό πεδίο (ακολουθεί δηλαδή μια γεωδαισιακή τροχιά) μπορεί να θεωρήσει μια μικρή τετραδιάστατη περιοχή του χωροχρόνου γύρω του στην οποία ο χώρος θα είναι κατά προσέγγιση ο χώρος Minkowski της Ειδικής Σχετικότητας. Τα παραπάνω υποδεικνύουν κάπως το από που έχουν προέλθει οι διάφορες έννοιες που συνδυάζονται και μπερδεύονται στην παρουσίαση που δίνει ο Δανέζης για τον χωροχρόνο και τον χώρο Minkowski. Πέρα από την σαφή αναφορά στο ότι ο χώρος Minkowski είναι ένας 3D Ευκλείδειος χώρος, δεν υπάρχει κάποιο συγκεκριμένο σημείο στο οποίο να μπορεί να πει κανείς ότι εδώ κάνει λάθος, αφού στο σύνολό της η εικόνα που χτίζει είναι λάθος. Ακόμα και τα όσα λέει για την αδυναμία της ανεξάρτητης μέτρησης διαστημάτων χώρου ή χρόνου δεν έχουν και πολύ νόημα, αφού αυτό ακριβώς είναι που κάνουμε στην Ειδική Σχετικότητα, δηλαδή μετράμε διαστήματα χώρου και χρόνου μέσα στον χωροχρόνο του Minkowski (δες την κουβέντα εδώ). Για την ακρίβεια κάθε παρατηρητής ή κάθε σωματίδιο που ακολουθεί μια χρονοειδή τροχιά χωρίζει με απόλυτα φυσιολογικό τρόπο τον χωροχρόνο σε χρόνο, που είναι ο χρόνος που μετρά το ίδιο του το ρολόι και είναι το μήκος της τροχιάς που διανύει στον χωροχρόνο και έχει διεύθυνση κατά μήκος της τετραταχύτητάς του, και σε χώρο, που ορίζεται από τις 3 ορθογώνιες διευθύνσεις στο τετράνυσμα της τετραταχύτητάς του. Φυσικά κάθε διαφορετικός παρατηρητής με διαφορετική τετραταχύτητα ορίζει τον δικό του άξονα του χρόνου και τον δικό του χώρο, που είναι και το βασικό σημείο στο οποίο διαφέρει η Ειδική Σχετικότητα από την Νευτώνεια Φυσική για την οποία αυτό το χώρισμα σε χώρο και χρόνο είναι παγκόσμιο και κοινό για όλους τους παρατηρητές. Το γεγονός λοιπόν ότι ο κάθε παρατηρητής που κινείται μέσα στον χωροχρόνο ορίζει τον προσωπικό του χρόνο και χώρο μας οδηγεί στο να εγκαταλείψουμε την απόλυτη φύση του χώρου και του χρόνου της Νευτώνειας θεωρίας και να εισάγουμε μια άλλη απόλυτη οντότητα, αυτή του χωροχρόνου. Δηλαδή, για την Ειδική Σχετικότητα τα μεμονωμένα χωρικά ή χρονικά διαστήματα δεν έχουν πια αναλλοίωτο χαρακτήρα (είναι γενικά διαφορετικά για διαφορετικούς παρατηρητές) και την θέση τους παίρνει το χωροχρονικό διάστημα, το οποίο είναι αναλλοίωτο και κοινό για όλους τους παρατηρητές (και σ'αυτό το πράγμα αναφέρεται ο Minkowski στη γνωστή του ρήση).
Από εκεί και πέρα όλα τα υπόλοιπα που λέει η συγκεκριμένη ενότητα σχετικά με τις προβολές στον 3D εφαπτόμενο Ευκλείδειο χώρο και τους μαγικούς καθρέφτες και τις ανθρώπινες αισθήσεις δεν έχουν καμία σχέση με την πραγματικότητα και την Ειδική Σχετικότητα.
Αξίζει όμως ακόμα μία επισήμανση στα σχετικά με το σχήμα 1. Το σχήμα δείχνει πως υποτίθεται ότι αλλάζει κάποιο μήκος ανάλογα με την ταχύτητα και για να το εξηγήσει χρησιμοποιεί την έννοια της προβολής. Αυτή η αναλογία αν έμπαινε στο σωστό πλαίσιο θα μπορούσε να είναι καλή, αν και μάλλον κάπως αχρείαστη. Έτσι όπως παρουσιάζεται πάντως είναι εντελώς λάθος. Η ιδέα που παρουσιάζει το σχήμα 1 είναι ότι αυτό που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής δεν είναι το διάστημα ΑΒ αλλά είναι η προβολή του διαστήματος αυτού σε κάποια εφαπτόμενη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, επειδή η πραγματική καμπύλη πάνω στην οποία θεωρούμε το ΑΒ είναι αυτή του σχήματος, καθώς απομακρυνόμαστε από το σημείο που εφάπτεται η καμπύλη με την εφαπτόμενη (πράγμα το οποίο στα πλαίσια της αναλογίας έχει να κάνει με την αύξηση της ταχύτητας) η προβολή του ΑΒ έχει όλο και μικρότερο μήκος.
Έτσι όπως παρουσιάζεται αυτή η ιδέα και μέσα στο προηγούμενο πλαίσιο, είναι εντελώς παραπλανητική και λάθος. Στην πραγματικότητα, το μήκος ενός αντικειμένου είναι η "προβολή" του στον χώρο μέσα στον χωροχρόνο, αφού για να μετρήσει ένας παρατηρητής ένα μήκος πρέπει να κάνει μια ταυτόχρονη μέτρηση της θέσης των άκρων του αντικειμένου. Έτσι στην ουσία προβάλει το αντικείμενο στον χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, δηλαδή στον χώρο που είναι κάθετος στον άξονα του χρόνου του παρατηρητή. Αυτή η εικόνα φαίνεται πάρα πολύ όμορφα σε ένα χωροχρονικό διάγραμμα, τα οποία χωροχρονικά διαγράμματα τα εισήγαγε ο Minkowski.
Τα βασικά στοιχεία ενός διαγράμματος Minkowski φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, όπου βλέπουμε πως ο άξονας του χρόνου είναι στην ουσία η κοσμική γραμμή (η χωροχρονική τροχιά) του παρατηρητή που βρίσκεται στο κέντρο του αδρανειακού συστήματος, βλέπουμε τον κώνο φωτός που ορίζεται από τις τροχιές των φωτονίων και βλέπουμε και τον χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων που είναι κάθετος στην κοσμική γραμμή του αδρανειακού παρατηρητή και ορίζει το χωρικό κομμάτι του χωροχρόνου. Για την ακρίβεια, για κάθε σημείο πάνω στην τροχιά του παρατηρητή ορίζεται ένας τέτοιος χώρος από ταυτόχρονα γεγονότα.
Σε ένα τέτοιο χωροχρονικό διάγραμμα μπορούμε να απεικονίσουμε και έναν δεύτερο παρατηρητή ο οποίος κινείται σε σχέση με τον πρώτο με κάποια ταχύτητα και ο οποίος ορίζει ένα άλλο αδρανειακό σύστημα. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Αν έχουμε τώρα μια ράβδο στο σύστημα ενός παρατηρητή, τότε το μήκος της ράβδου θα δίνεται από το μήκος της ισόχρονης για τον παρατηρητή καμπύλης που ενώνει τις κοσμικές τροχιές των άκρων της ράβδου. Δηλαδή, αν για παράδειγμα ένας ακίνητος παρατηρητής έχει μια ράβδο μήκους $$\reverse\opaque l$$ η οποία είναι ακίνητη στο σύστημά του, τότε το μήκος της θα αντιστοιχεί στο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ (ή ΓΔ ) του παρακάτω σχήματος που ορίζεται από την τομή των κοσμικών τροχιών των άκρων της ράβδου με τις ισόχρονες του ακίνητου παρατηρητή που είναι οι οριζόντιες γραμμές παράλληλες στο άξονα x.
Αν τώρα θεωρήσουμε έναν 2ο παρατηρητή κινούμενο ως προς τον 1ο, τότε η κοσμική τροχιά του (και άρα ο άξονας του χρόνου του) θα δίνετε από τον άξονα t' και οι ισόχρονες για αυτόν τον παρατηρητή θα είναι οι γραμμές που είναι παράλληλες στον άξονα x'. Έτσι για τον 2ο παρατηρητή το μήκος της ράβδου $$\reverse\opaque l'$$ θα δίνεται από το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΒ (ή ΕΖ ) που είναι η το τμήμα της ισόχρονης γραμμής του 2ου παρατηρητή που τέμνει τις κοσμικές τροχιές των άκρων της ράβδου. Το μήκος αυτό λοιπόν θα είναι το χωροχρονικό διάστημα $$\reverse\opaque \small (l')^2 =(OB)^2=-(AB)^2+(OA)^2 = -(AB)^2+ l^2$$. Εδώ για τον υπολογισμό του ΟΒ έχουμε εφαρμόσει το Πυθαγόρειο θεώρημα για τον χώρο Minkowski όπου το τμήμα ΑΒ επειδή είναι ένα χρονικό διάστημα (αφού είναι η κοσμική γραμμή ενός παρατηρητή που είναι ακίνητος ως προς το αδρανειακό μας σύστημα και κάθετε στο ένα άκρο της ράβδου και άρα είναι ένα διάστημα παράλληλο στον άξονα του χρόνου) το τετράγωνό του αφαιρείται από το συνολικό μήκος. Έτσι αν ακόμα πάρουμε υπόψιν μας το γεγονός ότι η εφαπτομένη της γωνίας του άξονα x' σε σχέση με τον άξονα x είναι ίση με τον λόγο της ταχύτητας του 2ου παρατηρητή προς την ταχύτητα του φωτός, δηλαδή είναι $$\reverse\opaque \tan\phi=u/c=\beta$$, θα έχουμε τελικά για το διάστημα l', $$\reverse\opaque \small (l')^2 = -l^2 \beta^2+ l^2=l^2(1-\beta^2)=\left(\frac{l}{\gamma}\right)^2$$, που περιγράφει το γεγονός ότι ο κινούμενος παρατηρητής θα βλέπει την ράβδο του ακίνητου παρατηρητή μικρότερη σε μήκος (το γ είναι μεγαλύτερο της μονάδας), το οποίο σημαίνει ότι για τον 2ο παρατηρητή, η ράβδος του 1ου, η οποία κινείται μαζί με τον 1ο, φαίνεται μικρότερη. Το ίδιο αποτέλεσμα φυσικά θα πάρει κανείς αν κάνει τον υπολογισμό και για μια ράβδο που κινείται μαζί με τον 2ο παρατηρητή, οπότε και θα διαπιστώσει ότι ο 1ος παρατηρητής θα την βλέπει και πάλι πιο μικρή. Το αποτέλεσμα αυτό, της συστολής του μήκους, γίνεται πιο έντονο όσο πλησιάζει η ταχύτητα του κινούμενου παρατηρητή στην ταχύτητα του φωτός, γιατί τότε τόσο ο άξονας του χρόνου όσο και ο άξονας του χώρου του παρατηρητή πλησιάζουν προς τη διαγώνιο που δίνει τις τροχιές των φωτονίων με αποτέλεσμα το μήκος ΑΒ να πλησιάζει να γίνει ίσο με το μήκος ΟΑ, πράγμα που οδηγεί σε μηδενισμό του μέτρου $$\reverse\opaque \small (l')^2 =-(AB)^2+(OA)^2$$ το οποίο τότε γίνεται φωτοειδές όπως λέμε.
Αυτά λοιπόν συμβαίνουν στην Ειδική Σχετικότητα με τα μήκη των ράβδων και υπό αυτή την έννοια τα όσα μετρά ο κάθε παρατηρητής είναι προβολές και όλα αυτά έχουν πολύ συγκεκριμένο γεωμετρικό νόημα, που δεν είναι αυτό που προσπαθεί να περάσει το σχήμα 1 του άρθρου του Δανέζη. Και φυσικά όλα αυτά δεν έχουν καμία σχέση με καμπύλους χώρους, καμπυλότητες ή οτιδήποτε τέτοιο, αφού όλα τα παραπάνω διαδραματίζονται μέσα στον επίπεδο χωροχρόνο του Minkowski ο οποίος στο μόνο που διαφέρει από τον Ευκλείδειο χώρο είναι ότι τα χρονικά διαστήματα έχουν την ιδιαιτερότητα να αφαιρούνται κατά τον υπολογισμό του χωροχρονικού μήκους με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Η δεύτερη ενότητα του άρθρου κλείνει με μια αναφορά στα αξιώματα της Ειδικής Σχετικότητας, το αξίωμα του αναλλοίωτου των φυσικών νόμων και το αξίωμα της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός, τα οποία και αυτά καταφέρνει να μην τα παρουσιάσει καλά χρησιμοποιώντας το άστοχο παράδειγμα με το μήκος του τραπεζιού ως παράδειγμα του αναλλοίωτου των φυσικών νόμων.
Τα όσα αναφέρονται στην επόμενη ενότητα του άρθρου σχετικά με την σύνδεση της ταχύτητας με το μέγεθος μιας περιοχής που πρέπει να αποκόψει κανείς από τον χωροχρόνο για να γίνεται αντιληπτή από έναν παρατηρητή ως Ευκλείδειος χώρος είναι σαφές μετά την προηγούμενη συζήτηση ότι δεν έχουν κανένα απολύτως νόημα, αφού ο χωροχρόνος στην Ειδική Σχετικότητα είναι πάντα επίπεδος και ποτέ Ευκλείδειος, ενώ το χωρικό κομμάτι του χωροχρόνου είναι πάντα Ευκλείδειο. Αλλά ακόμα και στη Γενική Σχετικότητα όπου κανείς έχει έναν καμπύλο χωροχρόνο και μπορεί να τον ενδιαφέρει να προσεγγίσει την περιοχή γύρω από έναν αδρανειακό παρατηρητή με έναν επίπεδο χωροχρόνο Minkowski, τότε το κριτήριο για τις διαστάσεις του κομματιού του χωροχρόνου που θα επιλέξουμε δεν είναι η ταχύτητα αλλά η καμπυλότητα του χωροχρόνου, που έχει σχέση φυσικά με τον τανυστή καμπυλότητας του Riemann του οποίου το φυσικό περιεχόμενο σχετίζεται με την απόκλιση των γεωδαισιακών ή πιο φυσικά τις παλιρροϊκές δυνάμεις. Με λίγα λόγια, η ενότητα με τίτλο, "Η έννοια της ταχύτητας του φωτός", δεν έχει απολύτως κανένα νόημα. Έχοντας πει τα παραπάνω, μπαίνω στον πειρασμό να επισημάνω ότι αφού ο Δανέζης επιλέγει γεωμετρικές μονάδες για το χρόνο, δηλαδή μονάδες όπου η ταχύτητα του φωτός είναι $$\reverse\opaque c=1$$ και ο χρόνος μετράτε σε μονάδες μήκος, τότε οι ανισότητες θα έπρεπε να γράφουν πχ. $$\reverse\opaque dx/dt \leq 1$$ και όχι 300,000, όπου το 300,000 δεν έχει και νόημα αφού είναι η τιμή της ταχύτητας του φωτός όταν την μετράμε σε μονάδες χιλιόμετρα/δευτερόλεπτο και θα ήταν διαφορετικό αν την μετράγαμε σε cm/s.
Όμως, το πιο ασυνάρτητο και χωρίς νόημα κομμάτι του άρθρου είναι η τελευταία ενότητα περί της σχέσης μεταξύ της ταχύτητας και της καμπυλότητας.
Η ενότητα είναι "πανδαισία".
Από που να ξεκινήσει κανείς; Καταρχήν, από εκεί που μιλάγαμε για Ειδική Σχετικότητα, δηλαδή απουσία βαρύτητας, ξαφνικά μιλάμε για κοσμολογία και διαστολή του σύμπαντος και νόμο του Hubble. Άσχετο.
Μετά υπάρχει μια ξεκάρφωτη πρόταση για την σχέση κλίσης και καμπυλότητας στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Άσχετο.
Και μετά, επιχείρημα σε επίπεδο σοφιστείας του τύπου ο αστυνόμος είναι όργανο, το μπουζούκι είναι όργανο, άρα ο αστυνόμος είναι μπουζούκι. Ο νόμος του Hubble λέει ότι η ταχύτητα αυξάνει με την απόσταση, αλλά όσο μεγαλώνει η απόσταση μεγαλώνει και η πυκνότητα ενέργειας του Σύμπαντος, αλλά όσο μεγαλώνει η πυκνότητα ενέργειας τόσο μεγαλύτερη είναι και η καμπυλότητα. Άρα όσο μεγαλύτερη ταχύτητα τόσο μεγαλύτερη καμπυλότητα...
Από που να το πιάσει κανείς και που να το αφήσει. Άλμα από την Ειδική Σχετικότητα στην κοσμολογική διαστολή. Σύνδεση της κοσμολογικής ταχύτητας απομάκρυνσης των γαλαξιών, που δεν είναι πραγματική ταχύτητα κίνησης μέσα στον χωροχρόνο, αλλά η ταχύτητα με την οποία διαστέλλεται ο χώρος ανάμεσα σε δύο γαλαξίες οι οποίοι είναι όμως σε σταθερές συντεταγμένες θέσης, με την ταχύτητα ενός αντικειμένου στην Ειδική Σχετικότητα. Σύνδεση αυτής της κοσμολογικής ταχύτητας απομάκρυνσης εντελώς εκτός πλαισίου με την πυκνότητα του σύμπαντος σε προηγούμενες εποχές. Ασύνδετα πράγματα. Άσχετα μεταξύ τους. Τόσο άσχετα που δεν επιδέχονται σχολιασμό. Ούτε καν λάθος.
Και όλα αυτά, σε σχέση με την Ειδική Σχετικότητα.
Καμία σχέση... Κρίμα πάντως.
------------------------------------------------
Update (11/3/2013): Όπως με ενημέρωσε ο Δρ. Βασίλης Καράβολας, που είναι Υπεύθυνος Ύλης του Περιοδικού της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών: "PhysicsNews", το περιοδικό δεν βγαίνει στη θέση του Φυσικού Κόσμου και δεν έχει ως στόχο να αντικαταστήσει τον Φυσικό Κόσμο. Το όραμα του περιοδικού είναι "να γίνει ένα βήμα στο οποίο θα παρουσιάζεται η έρευνα που γίνεται στην Ελλάδα ή από Έλληνες στο εξωτερικό καθώς και τα τελευταία νέα από το χώρο της Φυσικής όπως αυτά παρουσιάζονται στα καλύτερα περιοδικά της διεθνούς βιβλιογραφίας".
Στο δεύτερο τεύχος του συγκεκριμένου περιοδικού μπορεί να βρει κανείς στη σελίδα 10 ένα άρθρο του Επίκουρου Καθηγητή Μάνου Δανέζη με τίτλο, "Σκέψεις πάνω στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας".
Ένα σύντομο σχόλιο για το άρθρο θα ήταν, "Ούτε καν Λάθος".
Δηλαδή, δεν ξέρει κανείς από που να ξεκινήσει. Τι να πιάσει και τι να αφήσει από το άρθρο. Σε γενικές γραμμές θα έλεγε κανείς ότι υπάρχει μια διάχυτη παρανόηση και ένα μπέρδεμα ανάμεσα σε έννοιες που εμφανίζονται στην Ειδική Σχετικότητα και σε έννοιες που εμφανίζονται στη Γενική Σχετικότητα (το άρθρο υποτίθεται ότι αναφέρεται στην Ειδική Σχετικότητα). Υπάρχουν παρανοήσεις σε σχέση με έννοιες που εμφανίζονται στην Ειδική Σχετικότητα, υπάρχει μεταφορά εννοιών από τη Γενική Σχετικότητα στην Ειδική Σχετικότητα εντελώς εκτός πλαισίου, με το επιστέγασμα όλων αυτών να είναι η τελευταία ενότητα με τίτλο, "Η σχέση ταχύτητας και καμπυλότητας", όπου μπλέκονται με την Ειδική Σχετικότητα πράγματα από την Κοσμολογία. Αχταρμάς μεγάλος.
Ας τα πάρουμε όμως λίγο με μια σειρά, αν και δεν υπάρχει καμία σειρά, σε βαθμό που το άρθρο να μην επιδέχεται πιο συγκεκριμένου σχολιασμού πέρα από το not even wrong.
Ξεκινάμε λοιπόν με την πρώτη ενότητα και την εισαγωγή του άρθρου, όπου διατυπώνεται η διαπίστωση ότι,
"Σύμφωνα με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, το μήκος ενός αντικειμένου μικραίνει, όσο μεγαλώνει η ταχύτητά του, και θα γίνει πρακτικά "μηδέν", όταν η ταχύτητά του φτάσει θεωρητικά την τιμή της ταχύτητας του φωτός.Με λίγα λόγια, το παραπάνω απόσπασμα μας λέει ότι καθώς ένα σώμα κινείται, μεταμορφώνεται έχοντας μικρότερο μήκος και μεγαλύτερη μάζα, ενώ για αυτό το σώμα ο χρόνος διαστέλλεται. Αυτό όμως είναι λάθος. Η Ειδική Σχετικότητα, αν λέει κάτι αυτό είναι ότι ένα σώμα ή ένας παρατηρητής δεν μπορεί να προσδιορίσει ο ίδιος αν είναι σε κίνηση ή είναι ακίνητος, δηλαδή ο ίδιος δεν βιώνει καμία διαφορά εξαιτίας της κινητικής του κατάστασης. Αυτό που μας λέει, και εδώ αστοχεί ως προς την περιγραφή η παραπάνω παράγραφος, είναι ότι κάποιος άλλος παρατηρητής, ως προς τον οποίο ο αρχικός παρατηρητής κινείται, θα βλέπει το μήκος μιας ράβδου που είναι προσανατολισμένη στη διεύθυνση της κίνησης του πρώτου παρατηρητή να είναι πιο μικρό ή αν κάνει μια παρατήρηση θα εκτιμήσει ότι η μάζα της ράβδου είναι μεγαλύτερη ή αν κοιτάξει το ρολόι του πρώτου παρατηρητή θα το δει να χτυπάει τα δευτερόλεπτα πιο αργά από το δικό του ρολόι. Κάποιος θα μπορούσε να πει ότι η διαφορά είναι απλά στη διατύπωση, αλλά η ουσία είναι ότι αν κανείς θέλει να πει κάποια βασικά πράγματα για την Ειδική Σχετικότητα προκειμένου να βοηθήσει κάποιον να την καταλάβει, δεν μπορεί να μην είναι σαφής σε αυτά τα θέματα και πέρα από αυτό η διαφορά και η παρανόηση που παρουσιάζει το απόσπασμα είναι ουσιαστική όπως προκύπτει από τη σύνδεση με τα επόμενα.
Κατά τη διάρκεια όμως της χρονικής περιόδου που το μήκος του αντικειμένου "ζαρώνει" λόγω της αύξησης της ταχύτητάς του, η μάζα του όλο και μεγαλώνει, μέχρι να γίνει άπειρη, όταν το μήκος του θα έχει γίνει μηδέν.
Μέσα σ'αυτόν τον μαγικό χορό των βαθμιαίων μεταμορφώσεων των σωμάτων, όπου τα οδηγεί η αύξησης της ταχύτητάς τους, η ανθρώπινη λογική επιζήτησε να ελέγξει τη σταθερότητα της έννοιας του χρόνου. Μάταια όμως! Ο χρόνος διαστέλλεται, όπως και η μάζα ενός σώματος, όταν αυξάνεται η ταχύτητά του."
Ένα ακόμα σημείο στο οποίο θα πρέπει να σταθώ είναι το ότι τα όσα αναφέρει το απόσπασμα ότι τα λέει η Ειδική Σχετικότητα, είναι αληθή στον ίδιο βαθμό κατά τον οποίο είναι αληθές το ότι η Νευτώνεια Θεωρία της βαρύτητας λέει ότι όλα τα σώματα πέφτουν στη Γη το ίδιο γρήγορα ανεξάρτητα της μάζας τους ή το ότι οι πλανήτες γυρίζουν γύρω από τον Ήλιο σε κλειστές τροχιές οι οποίες είναι ελλείψεις. Προφανώς η Νευτώνεια θεωρία της βαρύτητας αυτό που λέει είναι ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης έχει αυτή τη μορφή και οι νόμοι της κίνησης είναι έτσι και αν εσύ θέλεις να υπολογίσεις το πως θα κινηθεί ένα σώμα, πας και λύνεις το συγκεκριμένο πρόβλημα και θα σου δώσει ότι αποτέλεσμα σου δώσει. Στη Νευτώνεια βαρύτητα για παράδειγμα αν πάρει κανείς υπόψιν του το ότι ο Ήλιος δεν είναι τέλεια σφαίρα, τότε θα πάρει τροχιές που δεν είναι ακριβώς κλειστές ελλείψεις ή αν πάρει το πλήρες πρόβλημα της ακτινικής κίνησης της Γης μαζί με μια άλλη μάζα, θα δει ότι το πόσο γρήγορα πλησιάζουν η Γη και η άλλη μάζα εξαρτάται από την συνολική μάζα του συστήματος (συγκεκριμένα από την ανηγμένη μάζα) ή αν υπολογίσει και την αντίσταση από την παρουσία του αέρα θα πάρει πάλι κάποιο άλλο αποτέλεσμα. Ομοίως και στην Ειδική Σχετικότητα, οι προτάσεις που περιγράφει το απόσπασμα δεν είναι "αυτό που λέει η θεωρία", αλλά το αποτέλεσμα μιας ειδικής εφαρμογής της θεωρίας. Η ουσία της Ειδικής Σχετικότητας είναι άλλη.
Η δεύτερη ενότητα ξεκινά με μια οντολογική πρόταση σχετικά με το τι κάνει και τι δεν κάνει μια οποιαδήποτε θεωρία, στην οποία θα μπορούσα να σταθώ παραπάνω, αλλά δεν με ενδιαφέρει να το κάνω εδώ. Γενικά θα αποφύγω να σχολιάσω τα φιλοσοφικά θέματα όπου προκύπτουν.
Ξεκινάμε λοιπόν με το πρώτο σημάδι βαριάς παρανόησης. Σύμφωνα με αυτά που μας λέει ο Δανέζης, η Ειδική Σχετικότητα στηρίζεται στο γεγονός ότι ο κοσμικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος 3ων διαστάσεων, αλλά τετραδιάστατος χώρος Riemann, τον οποίο λέμε χωροχρόνο, ο οποίος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε κομμάτια, δηλαδή δεν μπορούμε να τον διαιρέσουμε σε χώρο και σε χρόνο, αλλά ούτε και να ορίσουμε ανεξάρτητα διαστήματα χώρου και χρόνου και άρα δεν μπορούμε να κάνουμε καμία μέτρηση. Σύμφωνα με τον Δανέζη όμως, οι χώροι Riemann έχουν την ιδιότητα αν κόψεις ένα ελαχιστότατο κομμάτι τους, το κομμάτι αυτό να συμπεριφέρεται σαν ένας Ευκλείδειος χώρος. Σύμφωνα με τον Δανέζη πάντα, ο Minkowski εκμεταλλεύτηκε την παραπάνω ιδιότητα έτσι ώστε, αφού δεν μπορούσε να κάνει φυσική στον χώρο Riemann (τον χωροχρόνο), έφερε στο σημείο του χωροχρόνου όπου βρισκόταν ένας παρατηρητής έναν εφαπτόμενο τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο - ο οποίος ονομάστηκε σύμφωνα με τον Δανέζη ψευδοευκλείδειος χώρος Minkowski - ο οποίος είχε πολύ μικρή έκταση και πάνω στον οποίο προέβαλε τα γεγονότα του τετραδιάστατου χωροχρόνου, προκειμένου να κάνει ο παρατηρητής φυσική σε αυτόν τον Ευκελιδειο τρισδιάστατο χώρο.
Για κάποιον που ξέρει λίγα πράγματα από διαφορική γεωμετρία και ειδική/γενική σχετικότητα, μπορεί να διακρίνει την σούπα που έχει μαγειρευτεί εδώ.
Τα σχετικά θέματα τα έχουμε συζητήσει εδώ σε διάφορα σημεία (πχ. α, β, γ). Οι χώροι Riemann είναι αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας και είναι ουσιαστικά γενικεύσεις των Ευκλείδειων χώρων, είναι δηλαδή γενικά καμπύλοι χώροι (σε αντίθεση με τους Ευκλείδειους που είναι επίπεδοι, έχουν δηλαδή μηδενική καμπυλότητα) με θετικά ορισμένη μετρική. Ένα παράδειγμα τέτοιου χώρου είναι η επιφάνεια μιας σφαίρας. Στη Γενική Σχετικότητα ασχολούμαστε με μια γενίκευση των χώρων Riemann οι οποίοι έχουν μη θετικά ορισμένη μετρική και η οποία έχει υπογραφή 1 αρνητικό και 3 θετικά, έχουν δηλαδή Lorentzian μετρικές. Ένας τέτοιος χώρος με μηδενική όμως καμπυλότητα (δηλαδή επίπεδος) είναι και ο τετραδιάστατος χωροχρόνος της Ειδικής Σχετικότητας. Αυτός ο χώρος λέγεται χώρος Minkowski. Επειδή η υπογραφή της μετρικής του χώρου Minkowski είναι $$\reverse\opaque(-1,1,1,1)$$ και άρα το στοιχειώδες μήκος σε αυτό το χώρο έχει τη μορφή $$\reverse\opaque ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$, όπως συμβαίνει και με το Πυθαγόρειο θεώρημα με τη διαφορά ότι έχουμε αυτό το "-" μπροστά από το dt, ο χώρος αυτός ονομάστηκε ψευδο-ευκλείδειος (αφού έχει ευκλείδειο μέτρο με μοναδική διαφορά το ένα "-"). Άρα, ο χωροχρόνος της Ειδικής Σχετικότητας είναι ένας επίπεδος (και όχι καμπύλος) χώρος 4ων διαστάσεων με Lorentzian μετρική και λέγεται χώρος Minkowski. Στην Γενική Σχετικότητα, οι χώροι που έχουμε είναι γενικά χώροι που έχουν μη μηδενική καμπυλότητα και οι οποίοι σε κάποια μικρή περιοχή τους γύρω από κάποιο σημείο μπορούν να προσεγγιστούν από έναν επίπεδο χώρο Minkowski, πράγμα το οποίο είναι μία έκφραση της αρχής της ισοδυναμίας, που λέει ότι ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση σε ένα βαρυτικό πεδίο (ακολουθεί δηλαδή μια γεωδαισιακή τροχιά) μπορεί να θεωρήσει μια μικρή τετραδιάστατη περιοχή του χωροχρόνου γύρω του στην οποία ο χώρος θα είναι κατά προσέγγιση ο χώρος Minkowski της Ειδικής Σχετικότητας. Τα παραπάνω υποδεικνύουν κάπως το από που έχουν προέλθει οι διάφορες έννοιες που συνδυάζονται και μπερδεύονται στην παρουσίαση που δίνει ο Δανέζης για τον χωροχρόνο και τον χώρο Minkowski. Πέρα από την σαφή αναφορά στο ότι ο χώρος Minkowski είναι ένας 3D Ευκλείδειος χώρος, δεν υπάρχει κάποιο συγκεκριμένο σημείο στο οποίο να μπορεί να πει κανείς ότι εδώ κάνει λάθος, αφού στο σύνολό της η εικόνα που χτίζει είναι λάθος. Ακόμα και τα όσα λέει για την αδυναμία της ανεξάρτητης μέτρησης διαστημάτων χώρου ή χρόνου δεν έχουν και πολύ νόημα, αφού αυτό ακριβώς είναι που κάνουμε στην Ειδική Σχετικότητα, δηλαδή μετράμε διαστήματα χώρου και χρόνου μέσα στον χωροχρόνο του Minkowski (δες την κουβέντα εδώ). Για την ακρίβεια κάθε παρατηρητής ή κάθε σωματίδιο που ακολουθεί μια χρονοειδή τροχιά χωρίζει με απόλυτα φυσιολογικό τρόπο τον χωροχρόνο σε χρόνο, που είναι ο χρόνος που μετρά το ίδιο του το ρολόι και είναι το μήκος της τροχιάς που διανύει στον χωροχρόνο και έχει διεύθυνση κατά μήκος της τετραταχύτητάς του, και σε χώρο, που ορίζεται από τις 3 ορθογώνιες διευθύνσεις στο τετράνυσμα της τετραταχύτητάς του. Φυσικά κάθε διαφορετικός παρατηρητής με διαφορετική τετραταχύτητα ορίζει τον δικό του άξονα του χρόνου και τον δικό του χώρο, που είναι και το βασικό σημείο στο οποίο διαφέρει η Ειδική Σχετικότητα από την Νευτώνεια Φυσική για την οποία αυτό το χώρισμα σε χώρο και χρόνο είναι παγκόσμιο και κοινό για όλους τους παρατηρητές. Το γεγονός λοιπόν ότι ο κάθε παρατηρητής που κινείται μέσα στον χωροχρόνο ορίζει τον προσωπικό του χρόνο και χώρο μας οδηγεί στο να εγκαταλείψουμε την απόλυτη φύση του χώρου και του χρόνου της Νευτώνειας θεωρίας και να εισάγουμε μια άλλη απόλυτη οντότητα, αυτή του χωροχρόνου. Δηλαδή, για την Ειδική Σχετικότητα τα μεμονωμένα χωρικά ή χρονικά διαστήματα δεν έχουν πια αναλλοίωτο χαρακτήρα (είναι γενικά διαφορετικά για διαφορετικούς παρατηρητές) και την θέση τους παίρνει το χωροχρονικό διάστημα, το οποίο είναι αναλλοίωτο και κοινό για όλους τους παρατηρητές (και σ'αυτό το πράγμα αναφέρεται ο Minkowski στη γνωστή του ρήση).
Από εκεί και πέρα όλα τα υπόλοιπα που λέει η συγκεκριμένη ενότητα σχετικά με τις προβολές στον 3D εφαπτόμενο Ευκλείδειο χώρο και τους μαγικούς καθρέφτες και τις ανθρώπινες αισθήσεις δεν έχουν καμία σχέση με την πραγματικότητα και την Ειδική Σχετικότητα.
Αξίζει όμως ακόμα μία επισήμανση στα σχετικά με το σχήμα 1. Το σχήμα δείχνει πως υποτίθεται ότι αλλάζει κάποιο μήκος ανάλογα με την ταχύτητα και για να το εξηγήσει χρησιμοποιεί την έννοια της προβολής. Αυτή η αναλογία αν έμπαινε στο σωστό πλαίσιο θα μπορούσε να είναι καλή, αν και μάλλον κάπως αχρείαστη. Έτσι όπως παρουσιάζεται πάντως είναι εντελώς λάθος. Η ιδέα που παρουσιάζει το σχήμα 1 είναι ότι αυτό που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής δεν είναι το διάστημα ΑΒ αλλά είναι η προβολή του διαστήματος αυτού σε κάποια εφαπτόμενη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, επειδή η πραγματική καμπύλη πάνω στην οποία θεωρούμε το ΑΒ είναι αυτή του σχήματος, καθώς απομακρυνόμαστε από το σημείο που εφάπτεται η καμπύλη με την εφαπτόμενη (πράγμα το οποίο στα πλαίσια της αναλογίας έχει να κάνει με την αύξηση της ταχύτητας) η προβολή του ΑΒ έχει όλο και μικρότερο μήκος.
Έτσι όπως παρουσιάζεται αυτή η ιδέα και μέσα στο προηγούμενο πλαίσιο, είναι εντελώς παραπλανητική και λάθος. Στην πραγματικότητα, το μήκος ενός αντικειμένου είναι η "προβολή" του στον χώρο μέσα στον χωροχρόνο, αφού για να μετρήσει ένας παρατηρητής ένα μήκος πρέπει να κάνει μια ταυτόχρονη μέτρηση της θέσης των άκρων του αντικειμένου. Έτσι στην ουσία προβάλει το αντικείμενο στον χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, δηλαδή στον χώρο που είναι κάθετος στον άξονα του χρόνου του παρατηρητή. Αυτή η εικόνα φαίνεται πάρα πολύ όμορφα σε ένα χωροχρονικό διάγραμμα, τα οποία χωροχρονικά διαγράμματα τα εισήγαγε ο Minkowski.
Τα βασικά στοιχεία ενός διαγράμματος Minkowski φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, όπου βλέπουμε πως ο άξονας του χρόνου είναι στην ουσία η κοσμική γραμμή (η χωροχρονική τροχιά) του παρατηρητή που βρίσκεται στο κέντρο του αδρανειακού συστήματος, βλέπουμε τον κώνο φωτός που ορίζεται από τις τροχιές των φωτονίων και βλέπουμε και τον χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων που είναι κάθετος στην κοσμική γραμμή του αδρανειακού παρατηρητή και ορίζει το χωρικό κομμάτι του χωροχρόνου. Για την ακρίβεια, για κάθε σημείο πάνω στην τροχιά του παρατηρητή ορίζεται ένας τέτοιος χώρος από ταυτόχρονα γεγονότα.
άξονας χρόνου
ή
κοσμική γραμμή παρατηρητή
t
Λ
\_ κώνος φωτός | κώνος φωτός_/
\_ | _/
\_ | _/
\_ μέλλον | _/
\_ | _/
\_ | _/
\_ | _/τροχιές
\_ | _/ φωτονίων
\_ | _/
\_ | _/
χώρος των ταυτόχρονων\ | / αιτιακά μη
-----------------------O-----------------------> x
γεγονότων με το Ο _/ | \_ συσχετισμένη
_/ | \_ περιοχή
_/ | \_
_/ | \_
_/ | \_
_/ παρελθόν | \_
_/ | \_
_/ | \_
_/ | \_
/ | κώνος φωτός \
Σε ένα τέτοιο χωροχρονικό διάγραμμα μπορούμε να απεικονίσουμε και έναν δεύτερο παρατηρητή ο οποίος κινείται σε σχέση με τον πρώτο με κάποια ταχύτητα και ο οποίος ορίζει ένα άλλο αδρανειακό σύστημα. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
χρονοειδείς τροχιές
t / \ t'
Λ / \ Λ κώνος φωτός
\_ κώνος φωτός | /τροχιά / _/
\_ τροχιά | / 2ου / παρατ. _/
\_ ακίνητου |/ / _/
\_ παρατ. | / _/
\_ | / _/ x'
\_ | / _/ _,>
\_ | / _/ _,-΄
\_ | / _/ _,-΄
\_ | / _/ _,-΄ταυτόχρονες
\_ | /_/ _,-΄ 2ου παρατηρητή
\ |//_,-'
----------------------O------------------------> x
_,-_//| \_ ταυτόχρονες 1ου
_,-΄ _/ / | \_ παρατηρητή
_,-΄ _/ / | \_
_,-΄ _/ / | \_
_,-΄ _/ / | \_
_/ / | \_
_/ / | \_
_/ / | \_
_/ / | \_
/ / | κώνος φωτός \
Αν έχουμε τώρα μια ράβδο στο σύστημα ενός παρατηρητή, τότε το μήκος της ράβδου θα δίνεται από το μήκος της ισόχρονης για τον παρατηρητή καμπύλης που ενώνει τις κοσμικές τροχιές των άκρων της ράβδου. Δηλαδή, αν για παράδειγμα ένας ακίνητος παρατηρητής έχει μια ράβδο μήκους $$\reverse\opaque l$$ η οποία είναι ακίνητη στο σύστημά του, τότε το μήκος της θα αντιστοιχεί στο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ (ή ΓΔ ) του παρακάτω σχήματος που ορίζεται από την τομή των κοσμικών τροχιών των άκρων της ράβδου με τις ισόχρονες του ακίνητου παρατηρητή που είναι οι οριζόντιες γραμμές παράλληλες στο άξονα x.
χρονοειδείς τροχιές των παρατηρητών
/ \
t / \ t'
Λ / \ Λ
| / \ /
|/ / _|Ζ _/
κώνος φωτός | l' _;="/| _/
\_ | _;="^ | _/
\_ | _;="^ / | _/
\_ προβολή της Ε|/"^ / |_/
\_ ράβδου στο | / / _|
\_ σύστημα του|/ / _/ | x'
\_ 2ου |\ / _/ | _,>
\_ παρατ. | \ / _/ |B _,-΄
\_ | \/ _/ _|-΄
\_ | /\_/ _;="/|
\_ | /_/\ _;="^ |
\ |//_;="^ l' |A
----------------------O<=============>|--------> x
_,-_//| \_ l |
_,-΄ _/ / | \_ |
_,-΄ _/ / | \_ |
_,-΄ _/ / | \_ |
_,-΄ _/ / | προβολή \_ |
_/ / Γ|<=============>|Δ
_/ / | ράβδου στο \_|
_/ / | σύστημα του |_
_/ / | 1ου παρατηρ. | \_
/ / |\ / \
| \ /
τροχιές των άκρων της
ράβδου
Αν τώρα θεωρήσουμε έναν 2ο παρατηρητή κινούμενο ως προς τον 1ο, τότε η κοσμική τροχιά του (και άρα ο άξονας του χρόνου του) θα δίνετε από τον άξονα t' και οι ισόχρονες για αυτόν τον παρατηρητή θα είναι οι γραμμές που είναι παράλληλες στον άξονα x'. Έτσι για τον 2ο παρατηρητή το μήκος της ράβδου $$\reverse\opaque l'$$ θα δίνεται από το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΒ (ή ΕΖ ) που είναι η το τμήμα της ισόχρονης γραμμής του 2ου παρατηρητή που τέμνει τις κοσμικές τροχιές των άκρων της ράβδου. Το μήκος αυτό λοιπόν θα είναι το χωροχρονικό διάστημα $$\reverse\opaque \small (l')^2 =(OB)^2=-(AB)^2+(OA)^2 = -(AB)^2+ l^2$$. Εδώ για τον υπολογισμό του ΟΒ έχουμε εφαρμόσει το Πυθαγόρειο θεώρημα για τον χώρο Minkowski όπου το τμήμα ΑΒ επειδή είναι ένα χρονικό διάστημα (αφού είναι η κοσμική γραμμή ενός παρατηρητή που είναι ακίνητος ως προς το αδρανειακό μας σύστημα και κάθετε στο ένα άκρο της ράβδου και άρα είναι ένα διάστημα παράλληλο στον άξονα του χρόνου) το τετράγωνό του αφαιρείται από το συνολικό μήκος. Έτσι αν ακόμα πάρουμε υπόψιν μας το γεγονός ότι η εφαπτομένη της γωνίας του άξονα x' σε σχέση με τον άξονα x είναι ίση με τον λόγο της ταχύτητας του 2ου παρατηρητή προς την ταχύτητα του φωτός, δηλαδή είναι $$\reverse\opaque \tan\phi=u/c=\beta$$, θα έχουμε τελικά για το διάστημα l', $$\reverse\opaque \small (l')^2 = -l^2 \beta^2+ l^2=l^2(1-\beta^2)=\left(\frac{l}{\gamma}\right)^2$$, που περιγράφει το γεγονός ότι ο κινούμενος παρατηρητής θα βλέπει την ράβδο του ακίνητου παρατηρητή μικρότερη σε μήκος (το γ είναι μεγαλύτερο της μονάδας), το οποίο σημαίνει ότι για τον 2ο παρατηρητή, η ράβδος του 1ου, η οποία κινείται μαζί με τον 1ο, φαίνεται μικρότερη. Το ίδιο αποτέλεσμα φυσικά θα πάρει κανείς αν κάνει τον υπολογισμό και για μια ράβδο που κινείται μαζί με τον 2ο παρατηρητή, οπότε και θα διαπιστώσει ότι ο 1ος παρατηρητής θα την βλέπει και πάλι πιο μικρή. Το αποτέλεσμα αυτό, της συστολής του μήκους, γίνεται πιο έντονο όσο πλησιάζει η ταχύτητα του κινούμενου παρατηρητή στην ταχύτητα του φωτός, γιατί τότε τόσο ο άξονας του χρόνου όσο και ο άξονας του χώρου του παρατηρητή πλησιάζουν προς τη διαγώνιο που δίνει τις τροχιές των φωτονίων με αποτέλεσμα το μήκος ΑΒ να πλησιάζει να γίνει ίσο με το μήκος ΟΑ, πράγμα που οδηγεί σε μηδενισμό του μέτρου $$\reverse\opaque \small (l')^2 =-(AB)^2+(OA)^2$$ το οποίο τότε γίνεται φωτοειδές όπως λέμε.
Αυτά λοιπόν συμβαίνουν στην Ειδική Σχετικότητα με τα μήκη των ράβδων και υπό αυτή την έννοια τα όσα μετρά ο κάθε παρατηρητής είναι προβολές και όλα αυτά έχουν πολύ συγκεκριμένο γεωμετρικό νόημα, που δεν είναι αυτό που προσπαθεί να περάσει το σχήμα 1 του άρθρου του Δανέζη. Και φυσικά όλα αυτά δεν έχουν καμία σχέση με καμπύλους χώρους, καμπυλότητες ή οτιδήποτε τέτοιο, αφού όλα τα παραπάνω διαδραματίζονται μέσα στον επίπεδο χωροχρόνο του Minkowski ο οποίος στο μόνο που διαφέρει από τον Ευκλείδειο χώρο είναι ότι τα χρονικά διαστήματα έχουν την ιδιαιτερότητα να αφαιρούνται κατά τον υπολογισμό του χωροχρονικού μήκους με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Η δεύτερη ενότητα του άρθρου κλείνει με μια αναφορά στα αξιώματα της Ειδικής Σχετικότητας, το αξίωμα του αναλλοίωτου των φυσικών νόμων και το αξίωμα της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός, τα οποία και αυτά καταφέρνει να μην τα παρουσιάσει καλά χρησιμοποιώντας το άστοχο παράδειγμα με το μήκος του τραπεζιού ως παράδειγμα του αναλλοίωτου των φυσικών νόμων.
Τα όσα αναφέρονται στην επόμενη ενότητα του άρθρου σχετικά με την σύνδεση της ταχύτητας με το μέγεθος μιας περιοχής που πρέπει να αποκόψει κανείς από τον χωροχρόνο για να γίνεται αντιληπτή από έναν παρατηρητή ως Ευκλείδειος χώρος είναι σαφές μετά την προηγούμενη συζήτηση ότι δεν έχουν κανένα απολύτως νόημα, αφού ο χωροχρόνος στην Ειδική Σχετικότητα είναι πάντα επίπεδος και ποτέ Ευκλείδειος, ενώ το χωρικό κομμάτι του χωροχρόνου είναι πάντα Ευκλείδειο. Αλλά ακόμα και στη Γενική Σχετικότητα όπου κανείς έχει έναν καμπύλο χωροχρόνο και μπορεί να τον ενδιαφέρει να προσεγγίσει την περιοχή γύρω από έναν αδρανειακό παρατηρητή με έναν επίπεδο χωροχρόνο Minkowski, τότε το κριτήριο για τις διαστάσεις του κομματιού του χωροχρόνου που θα επιλέξουμε δεν είναι η ταχύτητα αλλά η καμπυλότητα του χωροχρόνου, που έχει σχέση φυσικά με τον τανυστή καμπυλότητας του Riemann του οποίου το φυσικό περιεχόμενο σχετίζεται με την απόκλιση των γεωδαισιακών ή πιο φυσικά τις παλιρροϊκές δυνάμεις. Με λίγα λόγια, η ενότητα με τίτλο, "Η έννοια της ταχύτητας του φωτός", δεν έχει απολύτως κανένα νόημα. Έχοντας πει τα παραπάνω, μπαίνω στον πειρασμό να επισημάνω ότι αφού ο Δανέζης επιλέγει γεωμετρικές μονάδες για το χρόνο, δηλαδή μονάδες όπου η ταχύτητα του φωτός είναι $$\reverse\opaque c=1$$ και ο χρόνος μετράτε σε μονάδες μήκος, τότε οι ανισότητες θα έπρεπε να γράφουν πχ. $$\reverse\opaque dx/dt \leq 1$$ και όχι 300,000, όπου το 300,000 δεν έχει και νόημα αφού είναι η τιμή της ταχύτητας του φωτός όταν την μετράμε σε μονάδες χιλιόμετρα/δευτερόλεπτο και θα ήταν διαφορετικό αν την μετράγαμε σε cm/s.
Όμως, το πιο ασυνάρτητο και χωρίς νόημα κομμάτι του άρθρου είναι η τελευταία ενότητα περί της σχέσης μεταξύ της ταχύτητας και της καμπυλότητας.
Η ενότητα είναι "πανδαισία".
Από που να ξεκινήσει κανείς; Καταρχήν, από εκεί που μιλάγαμε για Ειδική Σχετικότητα, δηλαδή απουσία βαρύτητας, ξαφνικά μιλάμε για κοσμολογία και διαστολή του σύμπαντος και νόμο του Hubble. Άσχετο.
Μετά υπάρχει μια ξεκάρφωτη πρόταση για την σχέση κλίσης και καμπυλότητας στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Άσχετο.
Και μετά, επιχείρημα σε επίπεδο σοφιστείας του τύπου ο αστυνόμος είναι όργανο, το μπουζούκι είναι όργανο, άρα ο αστυνόμος είναι μπουζούκι. Ο νόμος του Hubble λέει ότι η ταχύτητα αυξάνει με την απόσταση, αλλά όσο μεγαλώνει η απόσταση μεγαλώνει και η πυκνότητα ενέργειας του Σύμπαντος, αλλά όσο μεγαλώνει η πυκνότητα ενέργειας τόσο μεγαλύτερη είναι και η καμπυλότητα. Άρα όσο μεγαλύτερη ταχύτητα τόσο μεγαλύτερη καμπυλότητα...
Από που να το πιάσει κανείς και που να το αφήσει. Άλμα από την Ειδική Σχετικότητα στην κοσμολογική διαστολή. Σύνδεση της κοσμολογικής ταχύτητας απομάκρυνσης των γαλαξιών, που δεν είναι πραγματική ταχύτητα κίνησης μέσα στον χωροχρόνο, αλλά η ταχύτητα με την οποία διαστέλλεται ο χώρος ανάμεσα σε δύο γαλαξίες οι οποίοι είναι όμως σε σταθερές συντεταγμένες θέσης, με την ταχύτητα ενός αντικειμένου στην Ειδική Σχετικότητα. Σύνδεση αυτής της κοσμολογικής ταχύτητας απομάκρυνσης εντελώς εκτός πλαισίου με την πυκνότητα του σύμπαντος σε προηγούμενες εποχές. Ασύνδετα πράγματα. Άσχετα μεταξύ τους. Τόσο άσχετα που δεν επιδέχονται σχολιασμό. Ούτε καν λάθος.
Και όλα αυτά, σε σχέση με την Ειδική Σχετικότητα.
Καμία σχέση... Κρίμα πάντως.
------------------------------------------------
Update (11/3/2013): Όπως με ενημέρωσε ο Δρ. Βασίλης Καράβολας, που είναι Υπεύθυνος Ύλης του Περιοδικού της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών: "PhysicsNews", το περιοδικό δεν βγαίνει στη θέση του Φυσικού Κόσμου και δεν έχει ως στόχο να αντικαταστήσει τον Φυσικό Κόσμο. Το όραμα του περιοδικού είναι "να γίνει ένα βήμα στο οποίο θα παρουσιάζεται η έρευνα που γίνεται στην Ελλάδα ή από Έλληνες στο εξωτερικό καθώς και τα τελευταία νέα από το χώρο της Φυσικής όπως αυτά παρουσιάζονται στα καλύτερα περιοδικά της διεθνούς βιβλιογραφίας".
11 σχόλια:
Ευχαριστούμε για την επανάληψη γιατί πολλοί από εμάς την χρειάζονται. Το θέμα δεν είναι γιατί τα λέει αυτά γιατί είναι γνωστό ότι ο συγκεκριμένος κύριος έχει κάπως ξεφύγει αλλά γιατί τον έχουν προωθήσει τα ΜΜΕ τόσο πολύ. Επίσης θα ήθελα να προσθέσω ότι στην ΕΣ δεν υπάρχουν τρισδιάστατα σώματα και η έννοια του μήκους και της μάζας δεν μπορεί να διαχωριστεί από αυτήν του χρόνου. Τα σώματα όλα έχουν και χρονική διάσταση και αποτελούνται από ακολουθίες διατεταγμένων συμβάντων στον χωροχρόνο. Η συστολή και διαστολή είναι αποτέλεσμα της προβολής σε τρισδιάστατο χρόνο.
Δεν φταίει ο Δανέζης, η βιβλιογραφία του άρθρου ίσως να μην είναι και τόσο έγκυρη ^_^
Mπείτε στο site της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών.
Στο μενού που βρίσκεται στο πάνω μέρος πατήστε “ενημέρωση” και στη συνέχεια βρείτε το 15ο (;) άρθρο στη σειρά με τίτλο: «Περι της ταχύτητας του φωτός και της δομής του».
Aνοίξτε το αρχείο word και διαβάστε το άρθρο. Αξίζει τον κόπο.
Τα έχει εξηγήσει και τα έχει προβλέψει όλα αυτά ο Μέγας Λιακόπουλος στο βιβλίο του "Η σχετικότητα και οι άσχετοι"
Είναι σαν τους ψυχολόγους που έχουν μια γνώμη για όλα
http://www.youtube.com/watch?v=pT3O73BMiQs
Sorry για την καθυστέρηση να απαντήσω στα σχόλια.
@Ανώνυμος (28 Φεβρουαρίου 2013 - 6:11 μ.μ.): Το ποιους προωθούν τα ΜΜΕ δεν έχει καμία σχέση με το οποιοδήποτε κριτήριο επιστημονικής αξίας ή συνεισφοράς ή γνώσης, οπότε δεν μου κάνει καμία εντύπωση. Από την άλλη, δεν μπορεί να ξέρει ο άλλος τι κρύβεται πίσω από τον τίτλο του Χ πανεπιστημιακού καθηγητή.
Στο τελευταίο που λες, αυτό είναι το νόημα της κοσμικής γραμμής ενός σωματιδίου (μια διαδοχή γεγονότων) και κάθε σύνθετο σώμα αποτελείται από ένα σύνολο από τέτοιες κοσμικές γραμμές και οι μετρήσεις είναι είτε οι τομές που έχουν αυτές οι δέσμες από κοσμικές γραμμές με ισόχρονες επιφάνειες (μετρήσεις μήκους για παράδειγμα), είτε οι προβολές γεγονότων σε αυτές τις γραμμές πάνω στην κοσμική γραμμή κάποιου παρατηρητή (μετρήσεις χρόνου).
@Άχριστος: LOL
@Ανώνυμος (28 Φεβρουαρίου 2013 - 10:03 μ.μ.): Είναι γνωστά τα FAIL της ΕΕΦ. Να σου θυμίσω την περίπτωση της τηλεπαθητικής ακτινοβολίας και του ψηφιδωτού όντος, που την έχει βγάλει και σε βιβλίο... Και ένα άλλο παράδειγμα είναι και αυτή η περίπτωση. Τι να λέμε τώρα.
@Μπάμπης: Ο Λιακόπουλος ήταν προφήτης του εαυτού του σε αυτό το θέμα.
Όταν κάποιος αποφασίσει να εκλαϊκεύσει ορισμένες εξαιρετικά πολύπλοκες θεωρίες, ίσως αναγκάζεται να μην είναι απόλυτα ακριβής.
Είμαι βέβαιος ότι ο οποιοσδήποτε καθηγητής θα έβρισκε αρκετά λάθη στις διατυπώσεις στο "Χρονικό του χρόνου" του Χώκινγκ.
"Το σύμπαν που αγάπησα" ήταν ένα από τα καλύτερα ντοκυμανταίρ εκλαϊκευμένης φυσικής, που και λάθη να περιείχε, ήταν πολύ καλύτερο σε σχέση με τα προηγούμενα. Το γεγονός ότι δεν υπήρχαν προηγούμενα αυτό οφείλεται σε εκείνους που έχουν μάθει να κριτικάρουν από την εξέδρα.
Λυπάμαι, αλλά δεν είναι έτσι Αναρχοφιλελεύθερε.
Καταρχήν το συγκεκριμένο άρθρο είναι γραμμένο σε ένα περιοδικό που απευθύνεται σε φυσικούς και φοιτητές φυσικής και ενδεχομένως σε μαθητές με αυξημένο ενδιαφέρον για τη φυσική, οπότε δεν δικαιολογείται να έχει εκπτώσεις στο περιεχόμενο και στην ουσία.
Πέρα από αυτό, εδώ δεν μιλάμε για διατυπώσεις του στυλ, "το ηλεκτρόνιο έχει σπιν 1/2 που σημαίνει ότι πρέπει να κάνει δύο στροφές για να ξαναδούμε το πρόσωπό του", που είναι κυριολεκτικά λάθος, αλλά είναι μια αναλογία που προσπαθεί δώσει μια κλασική εικόνα. Μιλάμε για χοντρά πράγματα. Δεν είναι ότι δεν ήταν απόλυτα ακριβής. Το κείμενο είναι στο επίπεδο του, "Το ηλεκτρόνιο και ο πολέμαρχος του θεού". Και το τραγικό είναι ότι αυτά ακριβώς τα διδάσκουν και στο αμφιθέατρο.
Ως αντεπιχείρημα σε αυτό που λες για την εκλαΐκευση, πρέπει να σου πω ότι υπάρχουν πολλές εκλαϊκεύτηκες προσπάθειες που κάνουν καταπληκτική δουλειά χωρίς να λένε βλακείες. Το χρονικό του χρόνου που αναφέρεις, δεν έχει τέτοιες χοντράδες και ας μην μου αρέσει εμένα ιδιαίτερα. Υπάρχουν βιβλία που έχουν κυκλοφορήσει στα Ελληνικά που είναι καταπληκτικά. Ειδικά σε ότι αφορά την ειδική σχετικότητα, όπου οι βασικές ιδέες μπορούν να διατυπωθούν με βασική σχολική γεωμετρία.
"Το σύμπαν που αγάπησα" ήταν δυστυχώς σε μεγάλο βαθμό μια προπαγάνδα της φιλοσοφικής θεώρησης των πραγμάτων από τους δύο παρουσιαστές. Και κατά τη γνώμη μου και το συγκεκριμένο κείμενο έχει την αφετηρία του εκεί. Είναι η προσπάθεια να καταλάβει ο Δανέζης την ειδική σχετικότητα μέσα από την ιδεολογία του για την πλάνη των αισθήσεων και την συμπαντική ενότητα και όλα αυτά τέλος πάντων. Η όλη σειρά, με εξαίρεση κάποια πολύ λίγα επεισόδια περιέχει τέρατα. Από την θεωρία για το πληθωριστικό σύμπαν του Δημόκριτου που την εκμεταλλεύτηκε ο Alan Guth και τις θεωρίες για τις κοσμικές χορδές της ινδουιστικής θρησκεία (διατυπωμένες μέσα από ποιήματα για τα μαλλιά του Shiva) μέχρι την παρουσίαση του μηχανισμού του Higgs και της ειδικής σχετικότητας ως αντικρουόμενες θεωρίες για το πως αποκτά μάζα η ύλη, τις οποίες θα ξεκαθαρίσουν τα πειράματα στον LHC.
Τέλος, υπήρχαν και προσπάθειες στο παρελθόν αν και η αλήθεια είναι ότι δεν ήταν τόσο τρέντι όσο το σύμπαν που αγάπησα (με τα γραφικά από το elegant universe και από ντοκιμαντέρ του BBC). Μία τέτοια που θυμάμαι τώρα είναι αυτή του Γραμματικάκη με την κόμη της Βερενίκης.
Admin,
Όσο αφορά των κ. Γραμματικάκη διάβασα με έκπληξη την παρακάτω εργασία και μετά από έρευνα που έκανα και έτσι είναι. Εδώ πάμε παρακάτω στα βασικά και μιλάμε για παρανοήσεις ακόμα και του Νεύτωνα. Να τι έχει γράψει ο κ. Γραμματικάκης σε βιβλίο της ΕΕΦ
"‘Άξιο σχολιασμού είναι το πως ο Νεύτωνας διατυπώνει το δεύτερο νόμο, πού είναι συνήθως γνωστός με την υπό μορφή συμβόλων διατύπωση του F=mγ. Στη διατύπωση του δευτέρου νόμου ο Νεύτωνας χρησιμοποιεί την αδόκιμη ή και λανθασμένη έκφραση «μεταβολή της κίνησης» αντί του όρου «επιτάχυνση». Κάτι βέβαια που δεν σημαίνει τίποτα. Πολύ περισσότερο δεν σημαίνει «επιτάχυνση». Αυτό οφείλεται στην έλλειψη του κατάλληλου εννοιολογικού εξοπλισμού…..’
http://www.digitalcosmology.com/Articles/Newtons_laws.pdf
Αν είναι δυνατόν....
Κοίταξε, εδώ πρέπει να επισημάνουμε μια λεπτομέρεια.
Υπάρχουν δύο Γραμματικάκηδες.
Ο ένας είναι ο Γιώργος Γραμματικάκης του παν/μίου της Κρήτης (ο κόμης της Βερενίκης), ο οποίος έκανε και τις εκπομπές που αναφέρω παραπάνω και ο οποίος από όσο ξέρω δεν έχει και πολύ επαφή με την ΕΕΦ.
Ο άλλος είναι ο Ιωάννης Γραμματικάκης του παν/μίου της Αθήνας, ο οποίος είναι μία από τις πληγές του τμήματος Φυσικής και ο οποίος συμμετέχει συχνά πυκνά σε τέτοιες εκδόσεις της ΕΕΦ.
Αν προσέξεις την αναφορά στο pdf θα δεις ότι πρόκειται για τον δεύτερο, αφού λέει "Γραμματικάκης, Ι.Γ.", που όμως λανθασμένα αποδίδει στο κείμενο ως Γ.Ι. Γραμματικάκης. Αυτό γίνεται σαφές σε αυτό το λινκ, όπου παρουσιάζεται το κείμενο του Ι. Γραμματικάκη από το σχετικό συμπόσιο στο οποίο μάλλον βασίστηκε η έκδοση.
Ο Μεγάλος Δάσκαλος Δανέζης έχει πει... ότι λέω τα λέει η συγχρονη φυσική δεν σας λέω κάτι που δεν αποδεικνύεται...όπως ότι όταν ένας άνθρωπος πεθαίνει απλά δεν μπορούμε να τον αντιληφθούμε.Έχει αποδειχθεί η μετά θάνατον ζωή ρε παιδιά και δεν το ξέραμε?
Εδώ αρθρογραφει ο Δάσκαλος
http://www.pemptousia.gr/author/%CE%BC%CE%AC%CE%BD%CE%BF%CF%82-%CE%B4%CE%B1%CE%BD%CE%AD%CE%B6%CE%B7%CF%82/
Δημοσίευση σχολίου