Springer books (NOT-)available for download

Update (28/1/16): Δώρα τέλος.

These links no longer work. Springer have pulled the free plug.

Από ότι φαίνεται οι εκδόσεις Springer είπαν να μας κάνουν ένα δώρο για τις γιορτές. Ελευθέρωσαν δηλαδή μια σειρά από βιβλία μαθηματικών και φυσικής και μπορεί να τα κατεβάσει όποιος θέλει.
Η λίστα με τα βιβλία φαίνεται παρακάτω στο σχετικό script από το github.

Καλή διασκέδαση και Καλή Χρονιά.

script src="https://gist.github.com/bishboria/8326b17bbd652f34566a.js" /script

2011 Shaw Prize

Η American Mathematical Society αναφέρει ότι για το 2011, το βραβείο Shaw το έλαβαν οι Δημήτριος Χριστοδούλου και Richard Hamilton (US$1 million). Η αναφορά λέει, "for their highly innovative works on nonlinear partial differential equations in Lorentzian and Riemannian geometry and their applications to general relativity and topology" (για την πρωτοποριακή δουλειά τους στις μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις σε Lorentzian και Riemannian γεωμετρίες με εφαρμογές στην γενική σχετικότητα και την τοπολογία).

Στον Χριστοδούλου απονέμεται το βραβείο για την δουλειά του πάνω στην γενική σχετικότητα, όπου τελευταίο παράδειγμα είναι η δουλειά του για την βαρυτική κατάρρευση και τον σχηματισμό μελανών οπών.

Στον Hamilton απονέμεται το βραβείο για την δουλειά του πάνω στο Ricci flow, που ουσιαστικά αποτέλεσε και το θεμέλιο πάνω στο οποίο βασίστηκε η απόδειξη της εικασίας του Poincaré.

Συγχαρητήρια λοιπόν και στους δύο.

Benoît Mandelbrot (1924-2010)

Είδα από την Citronella, ότι πέθανε στις 14 του μήνα ο Benoît Mandelbrot.

Ο Mandelbrot είναι γενικά γνωστός για το σύνολο Mandelbrot, αυτό το χαρακτηριστικό πλαγιαστό οχτάρι. Όταν κάποιος σκέφτεται "fractal", το μυαλό του πάει πρώτα στο σύνολο Mandelbrot.

Θυμάμαι, πρώτη φορά που είχα δει το συγκεκριμένο σύνολο ήταν στην 3η γυμνασίου περίπου, στο υπέροχο βιβλίο του Ian Stewart, "Παίζει ο Θεός Ζάρια;", το οποίο μου είχε δανείσει ένας φίλος. Το συγκλονιστικό στην όλη ιστορία είναι το πως προκύπτει τόση δομή από κάτι τόσο απλό, όσο το $$\reverse\opaque z_{n+1}=z_n^2+c$$ όπου c και z είναι μιγαδικοί αριθμοί. Η ιδέα είναι ότι ξεκινώντας από z=0 και κάποιο c στο μιγαδικό επίπεδο, εφαρμόζεις την παραπάνω αναδρομική σχέση μέχρι να δεις αν η ακολουθία είναι φραγμένη. Τότε αν είναι φραγμένη ζωγραφίζεις το σημείο c μαύρο και πας στο επόμενο, διαφορετικά το ζωγραφίζεις άσπρο. Το αποτέλεσμα είναι αυτό το υπέροχο fractal στο μιγαδικό επίπεδο,



Το σύνολο Mandelbrot ήταν από τα πρώτα πράγματα με τα οποία είχα παίξει όταν κάποτε απέκτησα υπολογιστή. Ήταν από τους πρώτους κώδικες σε BASIC που είχα γράψει. Το αποτέλεσμα του προγράμματος ήταν ένα πολύ όμορφο χρωματιστό σχήμα (με χρωματική διαβάθμιση ανάλογα με το πόσο γρήγορα απέκλινε η ακολουθία). Ωραία πράγματα. Ελπίζω να έχω κανένα screen shot πουθενά φυλαγμένο...(***update2)

Ο Mandelbrot λοιπόν, είναι ένας από τους ανθρώπους που άλλαξαν τον τρόπο που βλέπουμε τον κόσμο γύρω μας. Και όπως όλοι αυτοί οι σημαντικοί άνθρωποι, ήταν απλός. Το παρακάτω βίντεο είναι από μια ομιλία που έδωσε στο TED,



Αντίο Benoît.

--------------------------------------------
Update: Ένα πολύ όμορφο βίντεο που αξίζει να το δει κανείς, από τον Arthur Clarke σχετικά με το σύνολο Mandelbrot.



Update2: Βρήκα πριν λίγες μέρες τυχαία δύο screenshots από εκείνα τα προγράμματα

Vladimir I Arnold

Μόλις έμαθα από το ΒΗΜΑ ότι μέσα στο καλοκαίρι πέθανε ο Vladimir I. Arnold.

Vladimir Igorevich Arnold (Russian: Влади́мир И́горевич Арно́льд, 12 June 1937 – 3 June 2010[1]) was a Soviet and Russian mathematician. While he is best known for the Kolmogorov–Arnold–Moser theorem regarding the stability of integrable Hamiltonian systems, he made important contributions in a number of areas including dynamical systems theory, catastrophe theory, topology, algebraic geometry, classical mechanics and singularity theory, including posing the ADE classification problem, since his first main result—the solution of Hilbert's thirteenth problem in 1957 at the age of 19.

Θα έλεγα ότι ο Arnold είναι μια αγαπημένη μου φιγούρα της επιστήμης με τον τρόπο που είναι αγαπημένος ο Wheeler, που έφυγε και αυτός πριν από δύο χρόνια. Όπως και πολλοί άλλοι στο Φυσικό της Αθήνας, τον γνώρισα μέσα από το μάθημα της Μηχανικής του Πέτρου Ιωάννου και το βιβλίο του "Mathematical Methods of Classical Mechanics", που συνήθιζε να δίνει ο Πέτρος ως βιβλιογραφία. Αυτό που σε εντυπωσιάζει αμέσως στον Arnold είναι η εκπληκτική φυσική του διαίσθηση, πράγμα που φαίνεται σε κάθε γωνιά του βιβλίου του της Μηχανικής. Σχετικά πρόσφατα, ένας φίλος είχε βρει και μια διάλεξη του Arnold πάνω στα συνεχή κλάσματα (MSRI-VMath -Continued Fractions of Quadratic Irrationals). Είναι πραγματικά απολαυστικός και νομίζω ότι αξίζει να τον παρακολουθήσει κανείς.

Ο Arnold ήταν μεγάλος δάσκαλος. Τέτοιες απώλειες προκαλούν μια περίεργη θλίψη. Θλίψη ίσως και γιατί δεν τον χάρηκες αυτόν τον δάσκαλο και τώρα ξέρεις ότι δεν θα τον χαρείς ποτέ. Τουλάχιστον θα συνεχίσει να εμπνέει μέσα από τα βιβλία του.

Μετα-Μαθηματικά

Διάβασα αυτές τις ημέρες το βιβλίο του Gregory Chaitin, Μετα-Μαθηματικά: Τα Μυστικά του Αριθμού Ω.

Καταρχήν, τι είναι το Ω; Αυτή ήταν η βασική απορία μου ξεκινώντας να διαβάσω το βιβλίο. Δεν το είχα ξανακούσει πουθενά αυτό το Ω.

Λοιπόν, το Ω είναι η πιθανότητα τερματισμού ενός προγράμματος. Είναι ένας αριθμός στο διάστημα μεταξύ του 0 και του 1 και υπολογίζεται από το ποσοστό των προγραμμάτων που τερματίζουν σε σχέση με το σύνολο των προγραμμάτων που μπορεί να έχει κανείς. Ο αριθμός αυτός έχει άπειρα ψηφία, είναι δηλαδή ένας πραγματικός άρρητος αριθμός και μπορεί να υπολογιστεί ως το Ν-οστό του bit από προγράμματα που έχουν μέγεθος μέχρι Ν-bit. Ή κάτι τέτοιο.

Το βιβλίο είναι πάνω σε ένα σχετικά μακρινό μου αντικείμενο και ακόμα το χωνεύω. Για να πω την αλήθεια, είναι γραμμένο και λίγο περίεργα. Μου έδωσε την αίσθηση ότι το έγραψε για τον εαυτό του ο Chaitin. Σίγουρα δεν βοήθησε και η μετάφραση, που αν κρίνω από μερικά σημεία που εντόπισα εγώ, δεν φαίνεται και πολύ καλή. Το θέμα πάντως είναι πολύ ενδιαφέρον.

Σχετικά με τον τίτλο. Γιατί μετα-μαθηματικά; Εδώ το μετα-μαθηματικά σημαίνει ότι το αντικείμενο που πραγματεύεται το βιβλίο έχει να κάνει όχι με τα μαθηματικά τα ίδια ως πεδίο αλλά με το τι μπορεί να πει κανείς για τα μαθηματικά. Δηλαδή, σκέψεις πάνω στα μαθηματικά, την φύση τους και τα όριά τους.
Με αυτόν τον τρόπο περίπου χρησιμοποιείται και το πρόθεμα "μετα" στην μετα-φυσική, όπου ουσιαστικά όταν λέμε μετα-φυσική εννοούμε την διερεύνηση της οντολογίας των πραγμάτων, του τι είναι και τι δεν είναι, την φύση των φυσικών θεωριών, την φύση της ίδιας της γνώσης, του τι μπορούμε να μάθουμε και τι ενδεχομένως όχι.

Έχει ενδιαφέρον πάντως ο όρος "μετα-μαθηματικά", γιατί θα μπορούσε να πει κανείς ότι τα μαθηματικά είναι "μετα" από μόνα τους, αφού δεν έχουν ως αντικείμενο την ίδια την φύση, αλλά αφαιρέσεις που έχουν τις ρίζες τους στην φύση. Δηλαδή, τα μαθηματικά ασχολούνται με κάποιες ιδανικές ιδέες, των οποίων χοντροκομμένα αντίγραφα βλέπουμε γύρω μας. Γι' αυτό ίσως και πολλοί μαθηματικοί να είναι Πλατωνιστές.

Λοιπόν, για να επιστρέψουμε στο βιβλίο, και πως ακριβώς προκύπτει αυτό το "μετα" στα μαθηματικά; Το βιβλίο έχει τον εξής άξονα: Ξεκινάμε από το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel, μετά πάμε στο θεώρημα της μη υπολογισιμότητας του Turing και καταλήγουμε στο δικό του θεώρημα της μη αναγωγιμότητας. Σύμφωνα με τον Chaitin, όλα τα παραπάνω είναι προτάσεις πάνω στην φύση των μαθηματικών και τα όριά τους.

Το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel με λίγα λόγια λέει ότι αν έχουμε ένα αξιωματικό σύστημα, το οποίο είναι τόσο "πλούσιο" ώστε να "περιέχει την αριθμητική", τότε το αξιωματικό αυτό σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει όλες τις πιθανές προτάσεις και άρα είναι μη πλήρες. Περισσότερη κουβέντα πάνω σ' αυτό το θέμα κάνω στο post μου για το LOGICOMIX.

Το θεώρημα της μη υπολογισιμότητας του Turing λέει χονδρικά ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε από πριν αν ένα δεδομένο πρόγραμμα θα τερματίσει. Αυτό είναι το περίφημο πρόβλημα του τερματισμού και συνδέεται με την μη πληρότητα του Godel με πολύ ενδιαφέρον τρόπο.

Τέλος το θεώρημα της μη αναγωγιμότητας λέει ότι ουσιαστικά στα πλαίσια ενός αξιωματικού συστήματος το οποίο έχει πολυπλοκότητα N-bit δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν ένα πρόγραμμα με μεγαλύτερη πολυπλοκότητα (περισσότερα από Ν-bit) είναι το λιγότερο πολύπλοκο. Ή κάτι τέτοιο.

Φυσικά στα παραπάνω μπορεί να υπάρχουν πολλές άγνωστες λέξεις και δεν βγάζουν και πολύ νόημα για κάποιον που δεν έχει επαφή, αλλά έχει πολύ ενδιαφέρον το όλο θέμα και όλα αυτά συνδέονται και με την θεωρία αριθμών, τους πρώτους αριθμούς, το πρόβλημα του συνεχούς κλπ. οπότε αξίζει να διαβάσει κανείς το βιβλίο για να έρθει σε μια πρώτη επαφή με όλα αυτά.

Τελικά, το ευχαριστήθηκα το βιβλίο και συνάντησα αρκετά ενδιαφέροντα πραγματάκια.

Κάτι που μου έκανε εντύπωση και ας πούμε ότι με παιδεύει λίγο είναι η αναφορά σε ένα απίστευτο θεώρημα σχετικά με τους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος. Το θεώρημα λέει ότι, αν έχουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα του $$\reverse\opaque (1+x)^n$$ τότε ο συντελεστής μπροστά από τον $$\reverse\opaque x^k$$ όρο είναι περιττός αν το δυαδικό ανάπτυγμα του k έχει 1 στις θέσεις όπου και το ανάπτυγμα του n έχει 1, ενώ είναι άρτιος διαφορετικά (δηλαδή αν έχει κάποιο 1 σε θέση όπου το αντίστοιχο ανάπτυγμα του n έχει 0). Για παράδειγμα, οι όροι μηδενικής τάξης ως προς x είναι πάντα περιττοί, αφού ανεξάρτητα του δυαδικού αναπτύγματος του n το ανάπτυγμα του 0 δεν έχει άσους. Αντιστοίχως ο συντελεστής της n-οστής δύναμης είναι και αυτός περιττός, αφού το n έχει το ίδιο δυαδικό ανάπτυγμα με το n. Για εμένα το όλο θεώρημα είναι τελείως αντι-διαισθητικό και ενδιαφέρον και στο βιβλίο το συνδέει με τις Διοφαντικές εξισώσεις, οι οποίες μπορούν να παίξουν τον ρόλο καθολικών υπολογιστών σαν τις μηχανές Turing... άλλο φοβερό αποτέλεσμα. Ακόμα το βιβλίο είναι γεμάτο αναφορές στην δουλειά του Wolfram, που είναι ακόμα ένα ενδιαφέρον θέμα.

Είναι σαφές νομίζω ότι το αντικείμενο με συνεπήρε και ας έχω κάποιες ενστάσεις, όπως η εμμονή του συγγραφέα με την τυχαιότητα. Συγκεκριμένα κάνει αρκετές κατά την γνώμη μου ατυχείς συσχετίσεις ανάμεσα στην τυχαιότητα και την κβαντομηχανική, αλλά αυτό ίσως είναι και πρόβλημα γλώσσας.

Τέλος υπάρχουν και κάποιες ενστάσεις σε φιλοσοφικό επίπεδο πάνω στην αντίληψη του Chaitin για το θεώρημα της μη πληρότητας και την σχέση του με τα δικά του θεωρήματα και τα μαθηματικά γενικά. Ο Torkel Franzen κάνει συγκεκριμένη αναφορά στον chaitin στο βιβλίο του "Godels Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse", αλλά δεν θα αναφερθώ παραπάνω σ' αυτό το θέμα.

Κλείνω με την αναφορά στην απαράδεκτη μετάφραση του όρου "Toy Model Universe" ως "παιδικό σύμπαν" και "παιδικό μοντέλο" γενικότερα. Έχει κανείς καμιά ιδέα για κάτι καλύτερο, γιατί ομολογώ ότι είναι δύσκολο. Εγώ θα προτιμούσε το "παιχνίδι" με μια πρώτη σκέψη πάντως.

Αυτά.

-------------------------------------------
Update: Μια λίστα από κείμενα του Chaitin μπορεί να βρει κανείς στο arXiv στο παρακάτω λινκ
Search Results for au:Chaitin
Εδώ υπάρχει και το βιβλίο σε ηλεκτρονική μορφή, καθώς και το Apendix II (δεν είμαι σίγουρος αν το Apendix I υπάρχει στη λίστα, αλλά είναι πιθανό).

Ο Δ. Χριστοδούλου στις Ανιχνεύσεις

Την τετάρτη (28/4/10) οι "Ανιχνεύσεις" είχαν ως καλεσμένο τον Δημήτριο Χριστοδούλου.

Η εκπομπή ήταν από τις πιο απολαυστικές που έχω δει. Σίγουρα με διευκόλυνε η επαφή μου με το θέμα για να εκτιμήσω περισσότερα στοιχεία της συζήτησης, αλλά ακόμα και οι μη τεχνικές αναφορές, όπως κάποιες προσωπικές διηγήσεις ή κάποιες ιστορικές αναφορές, ήταν πολύ όμορφες και ο Χριστοδούλου σου μετέφερε τον ενθουσιασμό του και το πνεύμα του.

Για τον Χριστοδούλου έχω αναφερθεί και στο παρελθόν, όπως τότε που είχε δώσει μια διάλεξη στο πολυτεχνείο σχετικά με ένα νέο αποτέλεσμα που είχε πάνω στην κατάρρευση βαρυτικών κυμάτων και την δημιουργία μελανών οπών.

Την εκπομπή την ανέβασα στο youtube για να μπορεί να την δει ο καθένας. Αντί να βάλω εδώ όμως το playlist όλων των αρχείων όπως κάνω συνήθως, θα τα βάλω το κάθε ένα χωριστά ώστε να έχω και ένα μικρό σχόλιο για το καθένα.

Δ. Χριστοδούλου - 1/12
Στο απόσπασμα αυτό ουσιαστικά προλογίζετε ο Χριστοδούλου.



Δ. Χριστοδούλου - 2/12
Στο απόσπασμά αυτό, ο Χριστοδούλου διηγείται την ιστορία του πως έλυσε τα προβλήματα που είχε συναντήσει με το θέμα της δημιουργίας κρουστικών κυμάτων στα ρευστά (Christodoulou, Demetrios (2007). The formation of shocks in 3-dimensional fluids. Zurich: European Mathematical Society Publishing House), καθώς και το θέμα της δημιουργίας των μελανών οπών στη σχετικότητα που αναφέρω παραπάνω (Christodoulou, Demetrios (2009). The formation of black holes in general relativity. Zurich: European Mathematical Society Publishing House). Στο τέλος διηγείται και πως έζησε την ιστορία της προσπάθειας του Andrew Wiles για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat.



Δ. Χριστοδούλου - 3/12
Λίγη ιστορία (και προσωπική)...



Δ. Χριστοδούλου - 4/12
Για τα πανεπιστήμια, για τον John Nash και την βράβευσή του με το Νόμπελ και για τον K. Godel.



Δ. Χριστοδούλου - 5/12
Στην αρχή, ο Χριστοδούλου αναφέρει ένα ανέκδοτο για τον Ettore Majorana και τον Fermi και μετά μιλάει για τα μαθηματικά και την Ελλάδα. Το απόσπασμα τελειώνει με ένα video tης εκπομπής (που αναφέρεται και στο π).



Δ. Χριστοδούλου - 6/12
Το απόσπασμα αυτό συνεχίζει με το βίντεο της εκπομπής, στο οποίο μιλάει ο Ι. Αντωνίου (πρ. του Μαθηματικού τμήματος του ΑΠΘ) για το DNA και την ζωή και για την συνείδηση .
Μετά το τέλος του βίντεο, ξεκινάει ο κ. Σαββίδης μια κουβέντα για την "φύση" των μαθηματικών. Πλατωνική ή Αριστοτελική αντίληψη για τα μαθηματικά; Ο κ. Χριστοδούλου ξεκινά να περιγράφει το πως βλέπει ο ίδιος το θέμα, μέσα από μια παραβολή για τον υπολογισμό του π από τον Αρχιμήδη.



Δ. Χριστοδούλου - 7/12
Εδώ συνεχίζετε ο συλλογισμός που ξεκίνησε στο παραπάνω βίντεο. Η κουβέντα περνάει και από την έννοια των χώρων Riemann.



Δ. Χριστοδούλου - 8/12
Σ' αυτό το απόσπασμα ξεκινά η συζήτηση για την δουλειά του Χριστοδούλου. Συζητά με τον κ. Σαββίδη την εργασία που έκανε με τον Klainerman, "The global nonlinear stability of the Minkowski space". Πάνω στη συζήτηση δίνει μια γεωμετρική ερμηνεία του τανυστή του Ricci. Μια ιδέα για αυτή τη γεωμετρική εικόνα, υπάρχει και στην εργασία The Meaning of Einstein's Equation, του John Baez.



Δ. Χριστοδούλου - 9/12
Και σ' αυτό το απόσπασμα, ο Χριστοδούλου περιγράφει το φαινόμενο, "Christodoulou memory efect" ([1],[2]) που έχει σχέση με τα βαρυτικά κύματα. Η ουσία του φαινομένου είναι ότι ακόμα και μακριά από την πηγή των βαρυτικών κυμάτων, όπου κανείς θα περίμενε η γραμμική προσέγγιση να είναι καλή, η μη γραμμική φύση της σχετικότητας παίζει ρόλο και έχει φυσικό αποτέλεσμα. Καθώς τα αναπτύσσει αυτά, εξηγεί και την έννοια της καμπυλότητας, θετικής ή αρνητικής, από την σύγκλιση ή την απόκλιση των γεωδαισιακών.



Δ. Χριστοδούλου - 10/12
Στo πρώτο μισό αυτού του αποσπάσματος, ολοκληρώνεται το θέμα του "Christodoulou memory efect". Στο δεύτερο μισό γίνεται συζήτηση για την ικανότητα στα μαθηματικά.



Δ. Χριστοδούλου - 11/12
Στο απόσπασμα αυτό, ο Σαββίδης θέτει πιο φιλοσοφικά ερωτήματα για τα μαθηματικά. Ο Χριστοδούλου αποφεύγει να ενδώσει στην αμπελοφιλοσοφία με πολύ όμορφο τρόπο. Την λύση δίνει η γεωμετρία και ο Ευκλείδης.



Δ. Χριστοδούλου - 12/12
Στο τελευταίο αυτό μέρος, ο Σαββίδης θέτει ακόμα ένα ερώτημα. Το κλασσικό, έχει σχέση το θεώρημα του Godel με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg; Η απάντηση είναι ξεκάθαρη. Το θέμα το συζητάω λίγο στην ανάρτηση για το LOGICOMIX (με ένα ερωτηματικό από την μεριά του Chaitin). Η συζήτηση κλείνει με την άποψη του Χριστοδούλου ότι η τυρβώδης ροή είναι το μεγαλύτερο πρόβλημα που παραμένει άλυτο αυτή τη στιγμή.




Δεν ξέρω αν το είπα παραπάνω, αλλά η εκπομπή ήταν απολαυστική και το ότι τα παρουσίασα έτσι τα videos ήταν περισσότερο τελικά για να τα απολαύσω ακόμα μία φορά.
Ελπίζω να τα απολαύσει και όποιος τα δει.

Ο Χριστοδούλου είναι ένας πραγματικά σοβαρός και αξιόλογος επιστήμονας. Όχι σαν κάποιους pop-μαϊντανούς του τηλεοπτικού και mediaκού star system.

-------------------------------------------------
Update: Το video της εκπομπής, ανέβηκε και στο vimeo.

LOGICOMIX

Αυτό θα είναι μάλλον το τελευταίο μου post για το 2009 και το θέμα του αφορά ένα από τα ενδιαφέροντά μου που δυστυχώς δεν αφιερώνω αρκετό χρόνο. Η αφορμή είναι το ότι διάβασα αυτές τις ημέρες το Logicomix του Απόστολου Δοξιάδη και το κομμάτι που αφορά αυτό το post έχει να κάνει με την λογική και όχι το κόμιξ (αν και είναι και αυτό ένα από τα ενδιαφέροντά μου).

Λοιπόν, για όσους δεν το έχουν υπόψη τους, το Logicomix πραγματεύεται υπό μία έννοια την ιστορία των θεμελίων (ή αλλιώς, της αυστηρής θεμελίωσης) των μαθηματικών, μέσα από την ζωή του Bertrand Russell. Και είναι σε μορφή κόμιξ. Φυσικά η ιστορία είναι ένα μυθιστόρημα που απλά έχει ως πρωταγωνιστές πραγματικά πρόσωπα (και ιδέες) και δεν έχει πρόθεση να αποτελέσει μια ακριβής καταγραφή των γεγονότων, όπως επισημαίνουν και οι δημιουργοί. Για την υλοποίηση της ιδέας συνεργάστηκαν με τον Δοξιάδη, ο Χρίστος Παπαδημητρίου (στην συγγραφή της ιστορίας), ο Αλέκος Παπαδάτος και η Annie Di Donna (στο σχέδιο). Να πω λοιπόν από την αρχή, ότι μου άρεσε πολύ τόσο η ιδέα όσο και η υλοποίηση και νομίζω ότι θα ανακινήσει το ενδιαφέρον για την λογική και τα μαθηματικά σε όποιον το διαβάσει.

Πρέπει να πω ακόμα ότι η εικόνα που είχα από τον Δοξιάδη ερχόταν αποκλειστικά και μόνο από την «17η Νύχτα» (δεν έχω διαβάσει τον θείο Πέτρο), ένα θεατρικό σχετικά με την λογική και τις τελευταίες μέρες της ζωής του Kurt Godel, ο οποίος πέθανε στο νοσοκομείο από ασιτία επειδή αρνιόταν να φαει φαγητό από τον φόβο ότι θέλανε να τον δηλητηριάσουν. Η εικόνα που είχα λοιπόν από αυτό το θεατρικό ήταν τραγική. Επειδή είχα δει την παράσταση, πιθανόν να έφταιγε και η σκηνοθετική ματιά του Αντώνη Καφετζόπουλου, αλλά όπως και να έχει η σύνδεση της ιστορίας με την λογική και τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel ήταν πολύ κακή, θα έλεγα αποτυχημένη, για να μην πω για την καρικατουρίστικη εμφάνιση του Hilbert σε κάποια σημεία του έργου που απλά γελοιοποιούσε το όλο θέμα.

Anyway, το κόμιξ μου άρεσε γενικά και το συνιστώ και από όσο μπόρεσα να αντιληφθώ, είναι γενικά αρκετά ακριβές στην παρουσίαση των μαθηματικών ιδεών, χωρίς όμως να γίνεται βαρύ.

Ακόμα, στο τέλος του βιβλίου, υπάρχει και ένα παράρτημα όπου ξεκαθαρίζονται διάφορες μαθηματικές έννοιες και δίνονται βιογραφικά στοιχεία για τους βασικούς ήρωες της ιστορίας. Εκεί είναι που υπάρχει και το πρόβλημα. Και το πρόβλημα αφορά το θεώρημα πληρότητας του Godel (Godels completeness theorem), τα θεωρήματα μη πληρότητας (Godels first and second incompleteness theorems), την λογική πρώτης βαθμίδας (first order logic) και τη λογική δεύτερης βαθμίδας (second order logic). Συγκεκριμένα, αυτό που μου χτύπησε στο μάτι ήταν η διατύπωση ότι η λογική πρώτης βαθμίδας και τα συστήματα που βασίζονται σ’ αυτήν είναι, σύμφωνα με το θεώρημα πληρότητας του Godel, πλήρη.

Και για να είμαι πιο συγκεκριμένος, η ακριβής διατύπωση είναι:

Γκέντελ, Κουρτ... Στη διδακτορική του διατριβή έκανε ένα σημαντικό βήμα προς την εκπλήρωση του «Προγράμματος του Χίλμπερτ», αποδεικνύοντας το θεώρημα της πληρότητας, που ορίζει ότι όλες οι αληθείς προτάσεις στη λογική πρώτης βαθμίδας – δηλαδή του απλού κατηγορηματικού λογισμού τύπου Φρεγκέ – μπορούν να αποδειχθούν από ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων. Το 1931 όμως κατάφερε να αποδείξει ότι το ίδιο δεν ισχύει για την λογική δεύτερης βαθμίδας, δηλαδή για μια λογική αρκετά ισχυρή να στηρίξει τα θεμέλια της αριθμητικής, ή άλλων αντίστοιχων ή πιο σύνθετων μαθηματικών θεωριών. Τα δύο θεωρήματα που καταγράφουν αυτή τη διαπίστωση ονομάζονται της μη πληρότητας...

Μη πληρότητα... Η πληρότητα ενός λογικού συστήματος είναι η ιδιότητα βάση της οποίας μια ορθά διατυπωμένη ή γραμματικά ορθή πρότασή του (που είναι δηλαδή γραμμένη σύμφωνα με τους «γραμματικούς» κανόνες του συστήματος) μπορεί να αποδειχθεί, αυτή ή – αν είναι ψευδής – η αντίθετή της, από τα αξιώματα του συστήματος. Το θεώρημα της πληρότητας του Γκέντελ αποδεικνύει αυτή την ιδιότητα για το σύστημα της λογικής πρώτης βαθμίδας, δηλαδή τον κατηγορηματικό λογισμό στην μορφή που αυτός αναπτύχθηκε αρχικά από τον Φρεγκέ, στην Εννοιολογική Γραφή. Όμως, στο επίκεντρο του λεγόμενου «Προγράμματος του Χίλμπερτ» βρισκόταν η απόδειξη της πληρότητας της λογικής δεύτερης βαθμίδας (όπου οι λογικές μεταβλητές μπορούν να παίρνουν ως τιμές τους σύνολα), καθώς μόνο αυτή είναι επαρκής για να στηρίξει τα θεμέλια της αριθμητικής, ή και πιο σύνθετων κλάδων των μαθηματικών. Εντελώς αντίθετα με τις προσδοκίες και τα όνειρα της μαθηματικής κοινότητας, ο Γκέντελ απέδειξε... ότι οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα για την αριθμητική βασισμένο στις αρχές των Πρινκίπια θα ήταν αναγκαστικά μη πλήρες. Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο από τα δύο θεωρήματα της μη πληρότητας ορίζει ότι σε οιοδήποτε σύστημα επαρκές να ορίσει τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών και τις αριθμητικές πράξεις, θα υπάρχουν πάντα τυπικά ορθές και επιπλέον αληθείς προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν (αυτές ή, αν είναι ψευδείς, οι αντίθετές τους) μέσα στο σύστημα. Το δεύτερο θεώρημα λέει ότι αν ένα σύστημα τέτοιου τύπου είναι πλήρες, δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο σύστημα η συνέπειά του – με άλλα λόγια, ότι συνέπεια και πληρότητα δεν μπορούν να αποδειχθούν ταυτόχρονα σε ένα σύστημα της δεύτερης βαθμίδας.

Αυτό που φαίνεται από τα παραπάνω, όπως το αντιλαμβάνομαι εγώ, είναι ότι υπάρχει μια ασάφεια και μία σύγχυση (τουλάχιστον στη διατύπωση) σχετικά με την πληρότητα της λογικής πρώτης βαθμίδας, το κατά πόσο αυτή μπορεί να στηρίξει την αριθμητική και γενικότερα τι σημαίνει η πληρότητα ενός συστήματος σε σχέση με το θεώρημα της πληρότητας του Godel έναντι των δύο θεωρημάτων του της μη πληρότητας. Αυτή η σύγχυση μάλιστα, φαίνετε να υπάρχει γενικά στην βιβλιογραφία, αλλά και σε πολλές αναφορές και επικλήσεις των θεωρημάτων του Godel που γίνονται συχνά σε συζητήσεις. Μάλιστα, υπάρχει και ένα σχετικό βιβλίο, το οποίο έχει πολύ ενδιαφέρον και στο οποίο θα βασιστώ κατά κύριο λόγο. Το βιβλίο είναι το «Godel’s Theorem: An incomplete Guide to Its Use and Abuse», του Torkel Franzen (όποιος ενδιαφέρεται, μπορεί να διαβάσει και αυτό το άρθρο: «The Popular Impact of Gödel's Incompleteness Theorem»).

Το πρώτο ζήτημα λοιπόν, είναι το ζήτημα της πληρότητας της λογικής πρώτης βαθμίδας και του σχετικού θεωρήματος του Godel. Καταρχήν πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τις έννοιες της «λογικής πρώτης βαθμίδας», του «Αξιωματικού Συστήματος», της «πληρότητας» όπως αυτή εννοείται στα πλαίσια του θεωρήματος της πληρότητας του Godel και της «πληρότητας» όπως αυτή εννοείται στα πλαίσια των θεωρημάτων της μη πληρότητας του Godel. Μετά θα συζητήσουμε και το θέμα της λογικής πρώτης και δεύτερης βαθμίδας και της αριθμητικής. Όπως φαίνετε από την προηγούμενη πρόταση πάντως, η σύγχυση πρέπει να οφείλεται στην συστηματική αναφορά στον όρο «πληρότητα».

Την λογική πρώτης βαθμίδας λοιπόν την παρουσιάζει αρκετά καλά το λήμμα Κατηγορηματικός λογισμός, όπου λέει ουσιαστικά ότι είναι ένα σύνολο από κανόνες με την βοήθεια των οποίων μπορούμε να βγάλουμε λογικά συμπεράσματα και οι οποίοι έχουν μια τυποποιημένη μορφή στη μαθηματική γλώσσα, ενώ έχουν ως αντικείμενο στοιχεία ενός συνόλου (στην περίπτωση των φυσικών αριθμών, κάποιον φυσικό αριθμό). Είναι δηλαδή της μορφής, «για τον αριθμό x ισχύει η P ιδιότητα». Η λογική δεύτερης βαθμίδας από την άλλη μπορεί να διατυπώσει προτάσεις που αφορούν επιπλέον και σύνολα (για το σύνολο x ισχύει η P ιδιότητα) και υπό αυτή την έννοια είναι πλουσιότερη στην περιγραφική της δυνατότητα από την λογική πρώτης βαθμίδας.
Τώρα, ένα αξιωματικό σύστημα (formal system) αποτελείται από ένα σύνολο αξιωμάτων που συνοδεύονται από ένα σύνολο λογικούς κανόνες (ας τους πούμε «λογικό σύστημα»), με την βοήθεια των οποίων μπορούμε να συνάγουμε θεωρήματα από τα αξιώματα. Ένα τέτοιο «λογικό σύστημα» είναι και η λογική πρώτης βαθμίδας. Είναι λοιπόν σαφές ότι η λογική πρώτης βαθμίδας από μόνη της δεν αποτελεί ένα αξιωματικό σύστημα. Σε αυτό λοιπόν το σημείο, όπου έχουμε ένα αξιωματικό σύστημα, γεννάτε το ερώτημα του κατά πόσο οι λογικοί κανόνες που έχουμε, το λογικό σύστημα, είναι ικανοί να συνάγουν κάθε δυνατό θεώρημα που είναι λογική συνέπεια των αξιωμάτων του συστήματος. Και εδώ έρχεται το θεώρημα της πληρότητας της λογικής πρώτης βαθμίδας να μας πει ότι η λογική πρώτης βαθμίδας είναι ικανή να παράγει κάθε πρόταση που είναι λογική συνέπεια των αξιωμάτων ενός αξιωματικού συστήματος, και άρα με αυτή την έννοια πλήρης. Αυτή η έννοια της «πληρότητας» είναι διαφορετική από την έννοια της πληρότητας που εμφανίζεται στα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel (κάτι που φαίνετε να μπερδεύεται στις διατυπώσεις του βιβλίου). Στο βιβλίο γίνεται και λόγος για την πληρότητα της λογικής δεύτερης βαθμίδας, όπου αναφέρεται ότι αυτή δεν είναι πλήρης σύμφωνα με τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel (στο λήμμα Γκέντελ, Κουρτ ), πράγμα που όπως είπαμε και παραπάνω για την λογική πρώτης βαθμίδας, δεν έχει νόημα, αφού η πληρότητα ενός συνόλου λογικών κανόνων αναφέρεται σε άλλο πράγμα. Το αν η λογική δεύτερης βαθμίδας είναι πλήρης με την έννοια που είναι πλήρης και η λογική πρώτης βαθμίδας, είναι ένα θέμα που ξεφεύγει από τις γνώσεις μου, αλλά υπάρχει μία σχετική συζήτηση στην wikipedia.

Αφού έχουμε πει όλα αυτά λοιπόν για τα «λογικά συστήματα» και την πληρότητά τους, ας επιστρέψουμε στο θέμα με τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel. Αυτά λοιπόν τα θεωρήματα αφορούν όχι τα λογικά συστήματα, αλλά τα αξιωματικά συστήματα όπως τα ορίσαμε παραπάνω. Το θεώρημα έχει χοντρικά την παρακάτω διατύπωση:

Κάθε «συνεπές» αξιωματικό σύστημα, το οποίο περιέχει «στοιχειώδη αριθμητική», είναι μη πλήρες σε σχέση με προτάσεις που αφορούν την «στοιχειώδη αριθμητική», δηλαδή υπάρχουν τέτοιες προτάσεις που ούτε οι ίδιες ούτε οι αντίθετές τους μπορούν να αποδειχθούν.

Εδώ και πάλι πρέπει να συζητήσουμε κάποιες έννοιες, όπως την έννοια της «στοιχειώδους αριθμητικής».

Πριν από αυτό όμως, ας βγάλουμε από την μέση την έννοια του «συνεπές». Αν έχουμε μια πρόταση Α και την αντίθετή της, τότε συνεπές σημαίνει να μην μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθής και η Α και η αντίθετή της.

Για να πάμε στο «στοιχειώδης αριθμητική» πρέπει πρώτα να ορίσουμε ακόμα μία έννοια. Την έννοια της πρότασης τύπου Goldbach. Μία πρόταση τύπου Goldbach είναι μια πρόταση που δηλώνει ότι, «κάποιος αριθμός έχει την ιδιότητα P», όπου η ιδιότητα P είναι μια ιδιότητα που μπορούμε να ελέγξουμε εφαρμόζοντας έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο (προφανή από την διατύπωση της πρότασης) ο οποίος τελικά θα μας δώσει ένα αποτέλεσμα. Για παράδειγμα η πρόταση, «οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται με το 2», είναι μια τέτοια πρόταση, αφού μπορούμε να εφαρμόσουμε έναν αλγόριθμο (να πάρουμε ζυγούς και να τους διαιρέσουμε με το 2) και να βγάλουμε συμπέρασμα για το αν ισχύει η ιδιότητα (δίνει ή δεν δίνει υπόλοιπο μηδέν). Μία σημαντική ιδιότητα αυτού του τύπου των προτάσεων είναι ότι μπορούμε να συμπεράνουμε, εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο, το αν η πρόταση ή η αντίθετή της είναι αληθής. Και ερχόμαστε τώρα στο «στοιχειώδης αριθμητική». Όταν λέμε ότι ένα αξιωματικό σύστημα περιέχει κάποια «στοιχειώδη αριθμητική» εννοούμε ότι για κάθε πρόταση του παραπάνω τύπου που μπορεί να αποδειχθεί στα πλαίσια του αξιωματικού αυτού συστήματος, υπάρχει μία διαδικασία που θα παράγει αυτή την απόδειξη.

Ένα παράδειγμα τέτοιου αξιωματικού συστήματος είναι και η αριθμητική των φυσικών αριθμών όπως θεμελιώθηκε αξιωματικά από τον Peano (Peano Arithmetics), δηλαδή η στοιχειώδης αριθμητική, και βασίζεται στην λογική πρώτης βαθμίδας.

Σχετικά με το θεώρημα και την λογική του, υπάρχει μια πολύ ωραία παρουσίαση στην σελίδα, Kenny's Overview of Hofstadter's Explanation of Gödel's Theorem, η οποία είναι σχετικά στοιχειώδης και αρκετά επεξηγηματική, ενώ δεν χρειάζεται και πολλές τεχνικές γνώσεις.

Ακόμα πρέπει να πω ότι το θεώρημα δεν εφαρμόζεται σε κάθε αξιωματικό σύστημα (η ιδέα αυτή είναι μία συνήθης παρανόηση). Υπάρχουν και αξιωματικά συστήματα, όπως η Ευκλείδεια Γεωμετρία και η Αριθμητική των Πραγματικών Αριθμών, που ξεφεύγουν από το θεώρημα και είναι και συνεπή και πλήρη.

Πέρα από τα καθαρά μαθηματικά, που δεν εξαντλούνται σε καμία περίπτωση στα παραπάνω, υπάρχουν πολλά ακόμα που μπορεί να πει κανείς σχετικά με το θεώρημα και τις ενδεχόμενες προεκτάσεις του, αλλά αυτό είναι μια πολύ μεγάλη συζήτηση.

Αυτά τα ολίγα...

Και καλή μας χρονιά!!!