Τρίτη, 11 Νοεμβρίου 2014

"Interstellar"

Interstellar λοιπόν. Είναι αρκετά χρόνια που την περιμέναμε αυτή την ταινία, ειδικότερα επειδή ο Kip Thorne ήταν μπλεγμένος. Η ταινία λοιπόν κυκλοφόρησε και μπορεί να βρει κανείς πολλές κριτικές και διάφορους σχολιασμούς της.


Παρακάτω παραθέτω ένα infographic από το space.com το οποίο περιγράφει κάποια επιστημονικά σημεία της ταινίας. Εγώ θα σταθώ λίγο στα σχετικά με τις μαύρες τρύπες, χωρίς να μπω σε λεπτομέρειες της πλοκής.

Diagrams explain the physics concepts of
Source SPACE.com: All about our solar system, outer space and exploration.

Φυσικά ένα από τα πρώτα πράγματα που χτυπάνε στο μάτι και που μπορεί να δει κανείς και στα τρέιλερ της ταινίας, είναι η απεικόνιση της μαύρης τρύπας και του δίσκου της. Η ιστορία της απεικόνισης ενός δίσκου προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα είναι παλιά και πάει μέχρι την δεκαετία του 70, όπως μπορεί να δει κανείς και από την δουλειά του Luminet (1979A&A....75..228L)

Στα σχήματα μπορεί να δει κανείς την εικόνα που δημιουργούν στο οπτικό πεδίο του παρατηρητή οι διάφορες περιοχές του δίσκου σε διαφορετικές ακτίνες. Όπως και να έχει πάντως, η απεικόνιση για τις ανάγκες της ταινίας ξεπερνά κατά πολύ το απλό ray tracing που κάνουμε συνήθως για επιστημονικούς σκοπούς και από ότι φαίνεται προέκυψε από την έξτρα λεπτομέρεια της ανάλυση και ένα ενδιαφέρον καινούριο αποτέλεσμα που θα δημοσιευτεί στο Classical and Quantum Gravity.

Ας δούμε όμως λίγο την ίδια την μαύρη τρύπα, τον πλανήτη σε τροχιά γύρω από αυτή και την συζήτηση γύρω από τα σχετικά με τη διαστολή του χρόνου.

Το infographic λοιπόν λέει ότι η μαύρη τρύπα είναι μια υπερμεγέθης μαύρη τρύπα με μάζα περίπου 100 εκατομμύρια ηλιακές μάζες, η οποία περιστρέφεται στο 99.8% της ταχύτητας του φωτός. Με το τελευταίο δεν ξέρω τι εννοεί και δεν βγάζει και πολύ νόημα, οπότε θα υποθέσω ότι εννοεί πως περιστρέφεται με το 0.998 της μέγιστης περιστροφής που μπορεί να έχει μια μαύρη τρύπα, η οποία εκφράζεται από το λόγο της στροφορμής της προς την μάζα της, $$\reverse\opaque a=J/M $$, που μπορεί να είναι το πολύ ίση με την ίδια την μάζα, $$\reverse\opaque a=M $$. Εναλλακτικά αυτά μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια της παραμέτρου περιστροφής, $$\reverse\opaque j=J/M^2 $$, η οποία έχεις ως μέγιστη θεωρητική τιμή την τιμή j=1. Έτσι λοιπόν, η τιμή j=0.998, που τώρα βγάζει νόημα, είναι το λεγόμενο όριο Thorne για την περιστροφή μιας μαύρης τρύπας που μπορεί να βρει κανείς στην φύση και η οποία είναι σε ισορροπία με το περιβάλλον της (η περιστροφή που κερδίζει από την στροφορμή που πέφτει στην μαύρη τρύπα λόγω της πρόσπτωσης ύλης είναι ίση με την στροφορμή που χάνει από τις διάφορες διαδικασίες που συμβαίνουν στην εργόσφαιρά της). Για μια μαύρη τρύπα, υπάρχουν κάποιες χαρακτηριστικές ποσότητες. Μία από αυτές είναι η θέση του ορίζοντα γεγονότων. Για μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα λοιπόν, η θέση του ορίζοντα δίνεται από την έκφραση $$\reverse\opaque R_h=M+\sqrt{M^2-a^2} $$, όπου βλέπουμε ότι στην περίπτωση που δεν έχουμε περιστροφή (α=0) έχουμε το γνωστό αποτέλεσμα για την ακτίνα Schwarzschild, ενώ στην περίπτωση όπου έχουμε την μέγιστη περιστροφή (α=Μ), ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα R=M, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα (ο κατακόρυφος άξονας μετρά την ακτίνα σε μονάδες μάζας της μαύρης τρύπας, ενώ η μία Ηλιακή μάζα είναι περίπου 1.5km)

Για την συγκεκριμένη μαύρη τρύπα με j=0.998 λοιπόν, ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα περίπου ίση με 1.063Μ ή 156.98 εκατομμύρια km.
Μια άλλη σημαντική ακτίνα γύρω από μια μαύρη τρύπα, είναι η ακτίνα της τελευταίας ευσταθούς κυκλικής τροχιάς (ISCO). Αυτή η ακτίνα είναι πολύ σημαντική γιατί σηματοδοτεί την περιοχή πέρα από την οποία δεν μπορεί να έχει κανείς ευσταθείς κυκλικές τροχιές γύρω από μια μαύρη τρύπα, ένα φαινόμενο που είναι χαρακτηριστικό των τροχιών στη γενική σχετικότητα. Έτσι για παράδειγμα, δεν μπορεί να έχει κανείς πλανήτες ή άλλα σώματα σε τροχιά γύρω από μια μαύρη τρύπα στην περιοχή μέσα από το ISCO, ενώ η θέση του ISCO είναι και η περιοχή μέχρι την οποία μπορεί να εκτείνεται ένας δίσκος προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα. Όπως και ο ορίζοντας, έτσι και η θέση του ISCO εξαρτάται από την περιστροφή της μαύρης τρύπας, και η εξάρτηση δίνεται από το παρακάτω σχήμα



όπου βλέπουμε ότι για μια μη περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα το ISCO είναι στα 6Μ, ενώ για μια μαύρη τρύπα με μέγιστη περιστροφή είναι στο 1Μ. Έτσι, για j=0.998, η θέση του ISCO είναι στα 1.23698Μ που είναι περίπου 182.6 εκατομμύρια km.

Στο infographic μπορεί να δει κανείς ότι γύρω από την μαύρη τρύπα υπάρχει ένας πλανήτης που περιστρέφεται σε πολύ κοντινή τροχιά, τόσο κοντινή ώστε η βαρυτική διαστολή χρόνου να είναι τέτοια που μία ώρα στην τροχιά του πλανήτη να αντιστοιχεί σε 7 χρόνια για έναν μακρινό παρατηρητή. Αυτό είναι πολύ, αφού μιλάμε για έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα της τάξης του 61000, και αυτό ακριβώς αποτέλεσε αντικείμενο συζήτησης για το πόσο ρεαλιστικό είναι ένα τέτοιο σενάριο. Το ερώτημα λοιπόν είναι, μπορεί μαι τέτοια μαύρη τρύπα να έχει έναν πλανήτη σε τέτοια τροχιά ώστε να υπάρχει αυτή η διαφορά στον χρόνο; Και η απάντηση είναι όχι, όπως μπορεί να δει κανείς στο παρακάτω σχήμα. Το σχήμα δείχνει τη θέση του ISCO (πράσινη γραμμή), την τιμή του παράγοντα διαστολής του χρόνου που θέλουμε (κόκκινη γραμμή) και την διαστολή του χρόνου σε κυκλικές τροχιές γύρω από την μαύρη τρύπα για διαφορετικές ακτίνες (μπλε γραμμή)



Όπως μπορεί να δει λοιπόν κανείς, στην θέση του ISCO η διαστολή είναι της τάξης του 10 και αυτό είναι το καλύτερο που θα μπορούσε να έχει κανείς σε αυτή την περίπτωση, αφού δεν υπάρχουν ευσταθείς τροχιές πιο μέσα. Θα μπορούσε όμως να έχει διαφύγει κάτι τόσο σημαντικό από τον Kip Thorne; Φυσικά και όχι. Πράγματι στο βιβλίο που κυκλοφόρησε μαζί με την ταινία και έχει τίτλο "The science of Interstellar", ένα αντίτυπο του οποίου μπόρεσα να ξεφυλλίσω προκειμένου να ξεκαθαρίσω αυτό το σημείο, ο Kip περιγράφει τις ιδιότητες της μαύρης τρύπας και εκεί λέει ότι προκειμένου να πετύχει την διαστολή που ήθελε για τους σκοπούς της ταινίας του ο Νόλαν, αναγκάστηκε να υποθέσει μια μαύρη τρύπα με περιστροφή $$\reverse\opaque j=1-10^{-14} $$, δηλαδή πρακτικά με μέγιστη περιστροφή. Σε αυτή την περίπτωση, ουσιαστικά η ακτίνα του ορίζοντα όπως και η ακτίνα του ISCO είναι πρακτικά ίσες με 1Μ ή 147.65 εκατομμύρια km (που είναι μόλις μικρότερες από μία αστρονομική μονάδα, όσο είναι δηλαδή και η ακτίνα της τροχιάς της Γης, όπως δείχνει το infographic). Υπάρχει λοιπόν σ'αυτή την περίπτωση ακτίνα που να μπορεί να έχει την ζητούμενη διαστολή του χρόνου; Η απάντηση τώρα είναι ναι, και η ακτίνα αυτή είναι περίπου στο 1.00004Μ, δηλαδή απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km.

Και εδώ ερχόμαστε στο άλλο θέμα που έχει προκαλέσει συζητήσεις, τις παλιρροϊκές δυνάμεις από την μαύρη τρύπα. Οι παλιρροϊκές δυνάμεις που θα νιώθει ένα σώμα σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα ουσιαστικά έχουν σχέση με την απόκλιση δυο γειτονικών γεωδεσιακών τροχιών. Το μέγεθος που εκφράζει αυτές τις αποκλείσεις είναι ο τανυστής του Riemann. Αν μιλάγαμε για ένα αντικείμενο που θα βρισκόταν στατικό σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα (σε σταθερή ακτίνα χωρίς να περιστρέφετε γύρω της δηλαδή) τότε θα είχαμε παλίρροιες σαν αυτές που έχουμε στη Γη εξαιτίας της Σελήνης (που κινείται πολύ αργά και πρακτικά μπορεί να θεωρηθεί ακίνητη) που θα οφείλονταν στα στοιχεία του τανυστή του Riemann όπως είναι το $$\reverse\opaque R^r_{ttr}=-\frac{M (-3 a^2 + 4 M r - 2 r^2)}{r^5} $$ (το συγκεκριμένο εκφράζει την επιτάχυνση με την οποία αυξάνει η ακτινική απόσταση δυο τροχιών που έχουν μοναδιαία ακτινική απόσταση). Για την εκτίμηση όλων των συνιστωσών της παλιρροϊκής δύναμης θέλουμε ακόμα δύο στοιχεία του τανυστή του Riemann, τα οποία έχουν παρόμοια συναρτησιακή μορφή. Με λίγα λόγια, για την περίπτωσή μας, για α=Μ και r=M η παλιρροϊκή επιτάχυνση θα είναι ανάλογη του, $$\reverse\opaque \frac{d^2r}{dt^2}\propto\frac{1}{M^2}D $$, δηλαδή της διαμέτρου του αντικειμένου διαιρεμένο με το τετράγωνο της μάζας της μαύρης τρύπας. Ότι και να είναι όμως η διάμετρος του αντικειμένου/πλανήτη, σίγουρα θα είναι πολύ μικρότερη από το τετράγωνο των 147.65 εκατομμυρίων χιλιομέτρων, οπότε δεν θα είναι κάτι καταστροφικό. Το αντικείμενό μας όμως δεν είναι στατικό. Περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την μαύρη τρύπα. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε ακόμα μία συνεισφορά από διατμητικές τάσεις στο αντικείμενο. Η συνεισφορά αυτών των τάσεων θα είναι όμως της ίδιας τάξης μεγέθους, δηλαδή και πάλι $$\reverse\opaque \propto\frac{1}{M^2}D $$. Άρα, με λίγα λόγια, οι παλιρροϊκές δυνάμεις δεν περιμένουμε να προκαλέσουν κάποιο πρόβλημα, όπως ανησυχούν κάποιοι.

Αλλά, υπάρχει ένα θέμα, και αυτό είναι το ότι η τροχιά που μας ενδιαφέρει απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km. Η ακτίνα της Γης είναι 6371km, οπότε αν ήταν η Γη σε εκείνη την τροχιά, θα είχε ένα μέρος της μέσα από τον ορίζοντα. Και εκεί είναι που τα πράγματα γίνονται περίεργα (How to mine energy from a black hole, Mining Energy from a Black Hole by Strings, Tensile Strength and the Mining of Black Holes).
Δεν ξέρω αν αυτό το θέμα το σχολιάζει ο Thorne.

Σάββατο, 6 Σεπτεμβρίου 2014

NASA's Contrail Education Project

Due to computer problems, this post will be in English. Sorry for that, but I am on a loaned computer at the moment and for the immediately foreseeable future.

So, I recently came across a webpage of a NASAs project, titled: "The Contrail Education Project". It is very nice that NASA has such a page and that is promoting contrail education in general.
The page has some nice educational material on the types of contrails, or how they are formed.




The page also provides links to current research on contrails, a short history on the subject, the possibility of reporting observations, frequently asked questions, and other material.

Finally, I found on the webpage references to some really nice videos of air traffic:

And here are some more nice videos of air traffic:



Of course, the best reference on the net on the subject of contrails is Contrail Science, but NASA always has a nice way of approaching public outreach on scientific issues.

Cheers.

Κυριακή, 6 Ιουλίου 2014

Colony Collapse Disorder

Ένα θέμα εκτός της συνηθισμένης θεματολογίας του blog, αλλά εξίσου ενδιαφέρον. Το θέμα αφορά τις μέλισσες και τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν και ειδικότερα τα προσφάτως αυξημένα ποσοστά θνησιμότητας που έχουν ανησυχήσει τους πάντες.

Colony Collapse Disorder Is Not What You Think
And why it could turn out to be a good thing.
Mites and pesticides. Fungus and fungicides. Monoculture. Karma. These are a few of the things that have been posited as causes of Colony Collapse Disorder (CCD). “I, as a researcher, was a little naive in the beginning thinking that we would find one cause and then hopefully one solution” to CCD, said Dennis vanEngelsdorp, an entomologist at the University of Maryland and the lead author of the Bee Informed Partnership’s annual honeybee loss report, which is funded and coauthored by the U.S. Department of Agriculture. “But it’s clear especially in the broad definition of CCD—high rates of winter loss and annual loss—that it’s a lot more complicated.”
Keeping the Hive Alive
Via: TakePart.com

Σάββατο, 24 Μαΐου 2014

A Nazi-free Europe

Watch Rainer Höss, grandchild of Nazi-commandant Rudolf Höss, tell Europe to never forget our dark past.

Πέμπτη, 8 Μαΐου 2014

Excellent Pulsar Research

Πριν ένα χρόνο περίπου είχα γράψει για την δουλειά του Γιάννη Αντωνιάδη πάνω στο διπλό σύστημα του PSR J0348+0432 με έναν Λευκό Νάνο χαμηλής μάζας. Η δουλειά αυτή ήταν μέρος της διδακτορικής του εργασίας που εκπόνησε στο ινστιτούτο Max Planck στη Βόννη.

Σε λίγες μέρες, ο Γιάννης θα βραβευθεί για τη διδακτορική του εργασία:
Excellent Pulsar Research
"Foundation for Physics and Astronomy in Bonn" presents award for doctoral thesis of John Antoniadis

On Friday, 16 May 2014, the Foundation for Physics and Astronomy in Bonn will present its award to John Antoniadis who completed his research work related to his doctoral thesis within the International Max Planck Research School (IMPRS) for Astronomy and Astrophysics at the Max Planck Institute for Radio Astronomy. The presentation starts at 4 pm at the Physical Institute’s seminar room I, Nussallee 12. All those who are interested are warmly invited to participate.

The Foundation for Physics and Astronomy in Bonn presents its 2014 award to John (Ioannis) Antoniadis for his research work “Multi-wavelength studies of pulsars and their companions”. He receives the award for his doctoral thesis that focuses on optical observations of so called white dwarfs, which accompany these pulsars.

The doctoral award will be presented on 16 May 2014 at the Physical Institute’s seminar room I. Prof. Luciano Rezzolla of the Goethe University Frankfurt will give a guest lecture on the topic "Exploring extreme gravity with neutrons stars".

Μπράβο Γιάννη. Τα θερμά μου συγχαρητήρια.

Τρίτη, 8 Απριλίου 2014

Quantum Roundabout



Quantum Roundabout is a Postgraduate Student Conference focused on the fundamentals of Quantum Physics, to be held from 29 June-3rd July 2014 at The University of Nottingham, School of Mathematical Sciences.

The event intends to bring together young researchers, working at the crossroad between Physics and Applied Mathematics, into an enriching scientific interaction and is organised by postgraduate students at the University of Nottingham. It will also cover three of the most active research areas of Quantum Physics, all intimately interconnected, namely: Quantum Information, Quantum Thermodynamics and Foundations of Quantum Mechanics.

Three of the top researchers in these fields have been invited to give lectures/tutorials on cutting edge topics: Vlatko Vedral (University of Oxford), Anna Sanpera (Universitat Autònoma de Barcelona) and Roger Colbeck (University of York). The programme will consist of up to twenty five short student talks and a poster session to encourage an active contribution from all participants, even those still at an early stage of their research.

There is a registration fee of £60 per student which includes accommodation. To register, please visit http://quantumroundabout.weebly.com. Application deadline is 6th June 2014.

Best regards,

Τετάρτη, 26 Μαρτίου 2014

Neutron stars in general relativity: simpler than expected


Τον τελευταίο καιρό υπάρχουν μερικές ενδιαφέρουσες εξελίξεις στον χώρο της φυσικής των αστέρων νετρονίων και των συμπαγών αντικειμένων γενικότερα. Έχουν αρχίσει να αναδεικνύονται κάποιες ιδιότητες αυτών των αντικειμένων που αναμένεται να έχουν σημαντικές αστροφυσικές προεκτάσεις και ίσως μας βοηθήσουν να μετρήσουμε κάποια από τα χαρακτηριστικά τους που μέχρι τώρα ήταν πολύ δύσκολο να μετρηθούν.
Η πρόσφατη εργασία στην οποία παρουσιάζονται τα αποτελέσματα αυτά, δημοσιεύεται στο περιοδικό Physical Review Letters με τίτλο, Effectively universal behavior of rotating neutron stars in general relativity makes them even simpler than their Newtonian counterparts (Phys. Rev. Lett. 112, 121101 (2014), arXiv:1311.5508), και σε γενικές γραμμές η εικόνα που φαίνεται να προκύπτει περιγράφεται περιληπτικά σε αυτή την ανακοίνωση από τη SISSA.


Η εργασία αφορά την μελέτη της συμπεριφοράς των σχετικιστικών πολυπολικών ροπών του χωροχρόνου γύρω από τους αστέρες νετρονίων και αυτό που δείχνει είναι ότι αυτές οι ροπές δεν φαίνεται να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και φαίνεται να υπάρχει μια σχέση που συνδέει τις ροπές ανώτερης τάξης με τις πρώτες μη μηδενικές ροπές, και ταυτόχρονα φαίνεται ότι η σχέση που συνδέει τις ροπές μεταξύ τους είναι σχεδόν ανεξάρτητη από την καταστατική εξίσωση που επιλέγει κανείς για να περιγράψει την πυρηνική ύλη από την οποία αποτελείται ο αστέρας νετρονίων.
Αλλά ας τα πάρουμε με τη σειρά.

==== No-Hair Theorem ====

Το no-hair theorem για τις μαύρες τρύπες αυτό που λέει ουσιαστικά είναι ότι οι ιδιότητες τους, δηλαδή κατά βάση οι ιδιότητες του χωροχρόνου, εξαρτώνται από λίγες βασικές παραμέτρους και όλες οι άλλες ιδιότητες που μπορεί να σχετίζονταν αρχικά με την ύλη από της οποίας την κατάρρευση προέκυψε η μαύρη τρύπα, χάνονται μετά το σχηματισμό της. Γενικά, οι βασικές αυτές παράμετροι είναι η μάζα της μαύρης τρύπας, η στροφορμή της και το φορτίο που μπορεί να έχει, και τίποτα άλλο (no-hair). Σε αστροφυσικό επίπεδο, το φορτίο είναι γενικά μικρού ενδιαφέροντος, οπότε ασχολούμαστε ουσιαστικά μόνο με τις δύο πρώτες, δηλαδή τη μάζα και τη στροφορμή. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ιδιότητες μιας μαύρης τρύπας εξαρτώνται τελικά μόνο από τη μάζα της και την στροφορμή της.


==== Σχετικιστικές πολυπολικές ροπές ====

Τις πολυπολικές ροπές μπορεί να τις έχει ακούσει κανείς στον ηλεκτρομαγνητισμό, όπου μιλάμε για το πολυπολικό ανάπτυγμα του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου. Στην ουσία το πολυπολικό ανάπτυγμα είναι ένας τρόπος για να γράψουμε ένα περίπλοκο πεδίο που έχει προκύψει από μια περίπλοκη κατανομή φορτίου ή ρεύματος σαν συνδυασμό πιο θεμελιωδών συνιστωσών.
Στον ηλεκτρομαγνητισμό τα πράγματα είναι σχετικά απλά, γιατί ισχύει η αρχή της επαλληλίας και τα πράγματα είναι γραμμικά και έτσι όταν προσθέτει κανείς δύο λύσεις των εξισώσεων, αυτό που παίρνει είναι και πάλι λύση που σημαίνει ότι τελικά μπορεί κανείς με πολύ καθαρό τρόπο να ξεχωρίσει αυτές τις θεμελιώδεις συνιστώσες. Στην βαρύτητα τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα.

Οι εξισώσεις της γενικής σχετικότητας είναι μη γραμμικές και δεν μπορεί κανείς να φτιάχνει λύσεις των εξισώσεων απλά προσθέτοντας άλλες λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να κάνει κανείς ακριβώς την ίδια δουλειά που κάνει στον ηλεκτρομαγνητισμό. Παρόλα αυτά υπάρχει τρόπος να ορισθούν Σχετικιστικές πολυπολικές ροπές οι οποίες είναι τελικά οι σχετικιστικές γενικεύσεις των ηλεκτρομαγνητικών ροπών.
Έτσι, ένας δεδομένος χωρόχρονος μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα φάσμα πολυπολικών ροπών. Για παράδειγμα, όταν έχουμε έναν σφαιρικά συμμετρικό χωρόχρονο (την γεωμετρία Schwarzschild για παράδειγμα) που δημιουργείται γύρω από έναν αστέρα που δεν περιστρέφεται, τότε αυτός ο χωρόχρονος χαρακτηρίζεται από μία μόνο ροπή, το μονόπολο, δηλαδή τη μάζα του αστέρα. Επειδή ή βαρύτητα στη γενική σχετικότητα έχει πολλές ομοιότητες με τον ηλεκτρομαγνητισμό, στη σχετικότητα έχουμε δύο είδη ροπών, τις ροπές μάζας που είναι τα ανάλογα των ροπών του ηλεκτρικού πεδίου και έχουμε και τις ροπές της στροφορμής που είναι τα ανάλογα των μαγνητικών ροπών που δημιουργούνται από ρεύματα (στη Νευτώνεια βαρύτητα έχουμε μόνο ροπές μάζας γιατί η Νευτώνεια βαρύτητα είναι σαν την ηλεκτροστατική). Έτσι, αν έχουμε μία περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα, δηλαδή μια μαύρη τρύπα τύπου Kerr, τότε θα έχουμε τη μάζα της μαύρης τρύπας, το μονόπολο, και θα έχουμε και την στροφορμή της μαύρης τρύπας, που είναι το δίπολο της περιστροφής και αντιστοιχεί ας πούμε στο μαγνητικό δίπολο που δημιουργεί ένα κυκλικό ρεύμα. Αλλά εξαιτίας της μη γραμμικότητας της βαρύτητας στη γενική σχετικότητα, οι ροπές δεν τελειώνουν με τη μάζα και τη στροφορμή.
Ο χωροχρόνος της μαύρης τρύπας τύπου Kerr έχει ένα άπειρο φάσμα από πολυπολικές ροπές, οι οποίες όμως εξαρτώνται μόνο από δύο παραμέτρους, την μάζα $$\reverse\opaque M $$ και την στροφορμή $$\reverse\opaque J$$. Έτσι, αν ορίσουμε την παράμετρο του Kerr, $$\reverse\opaque a\equiv J/M $$, οι ροπές της περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας είναι,
$$\reverse\opaque P_n=(ia)^n M$$,
όπου οι πραγματικές ροπές αντιστοιχούν στις ροπές της μάζας (που συμβολίζονται και ως $$\reverse\opaque M_n$$) και οι φανταστικές ροπές αντιστοιχούν στις ροπές της περιστροφής (που συμβολίζονται και ως $$\reverse\opaque S_n$$). Το γεγονός ότι όλες οι ροπές εξαρτώνται μόνο από την μάζα και τη στροφορμή είναι ουσιαστικά άλλη μία έκφανση του no-hair theorem για τις περιστρεφόμενες μαύρες τρύπες. Έτσι, οι πρώτες μη μηδενικές ροπές μιας περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας θα είναι,
$$\reverse\opaque M_0=M$$,
$$\reverse\opaque S_1= aM$$,
$$\reverse\opaque M_2= -a^2 M$$,
$$\reverse\opaque S_3= -a^3 M$$,
$$\reverse\opaque M_4= a^4 M$$,
$$\reverse\opaque S_5= a^5 M$$, κλπ...


==== Σχετικιστικές ροπές των αστέρων νετρονίων ====

Και ερχόμαστε τώρα στους αστέρες νετρονίων και τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στην εργασία.

Οι αστέρες νετρονίων είναι συνήθως το αποτέλεσμα της κατάρρευσης ενός άστρου, που συμβαίνει όταν αυτό έχει πλέον εξαντλήσει όλο το πυρηνικό καύσιμο στο εσωτερικό του, με αποτέλεσμα η πίεση στο εσωτερικό του να μην μπορεί πια να αντισταθεί στην βαρύτητα. Το αποτέλεσμα της κατάρρευσης είναι κάποια στιγμή τα εξωτερικά στρώματα του άστρου να εκραγούν ως ένα θεαματικό supernova, ενώ ο πυρήνας του άστρου συμπιέζεται σε τέτοιο βαθμό που τα ηλεκτρόνια αρχίζουν να ενώνονται με τα πρωτόνια σχηματίζοντας νετρόνια, ώσπου το τελικό αντικείμενο να είναι μία υπέρ συμπαγής σφαίρα που αποτελείται κυρίως από νετρόνια και έχει ακτίνα της τάξης των 10km. Ένας αστέρας νετρονίων με λίγα λόγια, είναι σαν ένας τεράστιος ατομικός πυρήνας, όπου η δύναμη που τον συγκρατεί και τον διαμορφώνει είναι η δύναμη της βαρύτητας.

Για να περιγράψει λοιπόν κανείς έναν αστέρα νετρονίων και το χωροχρόνο γύρω από αυτόν, χρειάζεται να λύσεις τις εξισώσεις πεδίου της γενικής σχετικότητας, οι οποίες περιγράφουν το πως διαμορφώνεται η γεωμετρία και άρα η βαρύτητα από την ύλη, τις σχετικιστικές υδροδυναμικές εξισώσεις, οι οποίες περιγράφουν το πως κινείται αυτή η ύλη, δηλαδή το ρευστό από το οποίο αποτελείται ο αστέρας, και τέλος χρειάζεται και μια καταστατική εξίσωση για την ύλη, η οποία έχει τις πληροφορίες για τις θερμοδυναμικές ιδιότητες του υλικού από το οποίο αποτελείται ο αστέρας και πιο συγκεκριμένα περιγράφει το πως συμπεριφέρεται η πίεση του ρευστού δεδομένης της πυκνότητάς του. Το σύνολο λοιπών αυτών των εξισώσεων πρέπει να λυθεί παντού, μέσα στο άστρο και έξω από αυτό, για να πάρει κανείς τελικά την περιγραφή της δομής του αστέρα νετρονίων και του χωροχρόνου γύρω από αυτόν.

Το σύστημα λοιπόν αυτών των εξισώσεων είναι αρκετά περίπλοκο όταν μιλάμε για περιστρεφόμενους αστέρες νετρονίων και η λύση του μπορεί να γίνει μόνο με αριθμητικές μεθόδους. Πέρα όμως από την περιπλοκότητα των εξισώσεων πεδίου και των εξισώσεων της υδροδυναμικής, υπάρχει και μία ακόμα δυσκολία στο όλο πρόβλημα, και αυτή είναι ότι η καταστατική εξίσωση της ύλης στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων, δεν είναι πολύ καλά γνωστή.

Στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων, υπάρχουν περιοχές όπου η πυκνότητα ξεπερνά την πυκνότητα που βρίσκει κανείς στο εσωτερικό των ατομικών πυρήνων και οι οι ιδιότητες της ύλης σε αυτές τις πυκνότητες δεν έχει διερευνηθεί ακόμα επαρκώς στο εργαστήριο, ενώ ακόμα και η θεωρητική περιγραφή είναι αρκετά δύσκολη και περίπλοκη. Ένας από τους στόχους του LHC είναι να διερευνήσει τις ιδιότητες της ύλης κοντά σε τέτοιες πυκνότητες. Έτσι λοιπόν, με βάση διάφορα θεωρητικά μοντέλα, υπάρχει ένα πλήθος από καταστατικές εξισώσεις που έχουν προταθεί για να περιγράψουν το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων. Και αυτή η ποικιλία έχει ως αποτέλεσμα αρκετή αβεβαιότητα στις μακροσκοπικές ιδιότητες των αστέρων νετρονίων, όπως είναι η μάζα τους και η ακτίνα τους για παράδειγμα.


Το παραπάνω σχήμα δείχνει αυτό ακριβώς. Οι διαφορετικές καμπύλες αντιστοιχούν σε οικογένειες μη περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων, οι οποίες έχουν κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας διαφορετικές ρεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις, όπου αυτό που αλλάζει κατά μήκος της κάθε καμπύλης είναι η πυκνότητα του υλικού στο κέντρο του αστέρα νετρονίων. Βλέπουμε λοιπόν ότι οι διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις οδηγούν σε άστρα με διαφορετικές μάζες και ακτίνες (ο οριζόντιος άξονας είναι η ακτίνα σε χιλιόμετρα και ο κατακόρυφος είναι η μάζα σε μάζες Ήλιου).

Από το παραπάνω σχήμα φαίνεται ακόμα ότι μια πιθανή μέτρηση της μάζας και της ακτίνας αρκετών αστέρων νετρονίων, θα μπορούσαν να μας δώσουν μια εκτίμηση για το ποια ή ποιες καταστατικές εξισώσεις από αυτές που έχουν προταθεί, είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα και μπορεί να περιγράψει με καλύτερη ακρίβεια την ύλη στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων.

Ας επιστρέψουμε όμως στην κατασκευή των αστέρων νετρονίων. Όπως είπαμε παραπάνω, αυτό που πρέπει να κάνει κανείς είναι να λύσει τις εξισώσεις της βαρύτητας (εξισώσεις πεδίου) και τις εξισώσεις του ρευστού για μια δεδομένη καταστατική εξίσωση, για να πάρει τελικά έναν αστέρα νετρονίων που να έχει κάποια δεδομένα χαρακτηριστικά (μάζα και περιστροφή). Από την όλη διαδικασία αυτό που παίρνει κανείς τελικά είναι το ποια είναι η κατανομή της ύλης μέσα στον αστέρα και το ποια είναι η γεωμετρία του χωροχρόνου τόσο μέσα όσο και έξω από τον αστέρα.


(Το σχήμα δείχνει την κατανομή της πυκνότητας ενός γρήγορα περιστρεφόμενου αστέρα νετρονίων. Ο αστέρας είναι πεπλατυσμένος λόγω περιστροφής.)


Όπως συζητήσαμε και παραπάνω, ο χωροχρόνος γύρω από τον αστέρα νετρονίων, μπορεί να χαρακτηριστεί με βάση τις σχετικιστικές πολυπολικές ροπές. Και εδώ αρχίζουν να συμβαίνουν τα ενδιαφέροντα πράγματα. Αν υπολογίσει κανείς τις πρώτες πολυπολικές ροπές για τον χωροχρόνο γύρω από τον αστέρα νετρονίων, θα παρατηρήσει ότι οι ροπές έχουν την παρακάτω μορφή,
$$\reverse\opaque M_0=M$$,
$$\reverse\opaque S_1= aM$$,
$$\reverse\opaque M_2= -\alpha(EOS) a^2 M$$,
$$\reverse\opaque S_3= -\beta(EOS) a^3 M$$,
δηλαδή συμπεριφέρονται σαν τις ροπές μιας περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας, με τη διαφορά ότι υπάρχουν οι παράμετροι α και β που είναι μεγαλύτεροι της μονάδας, σε αντίθεση με τις μαύρες τρύπες όπου είναι 1. Αυτή η ιδιότητα των ροπών των αστέρων νετρονίων είχε παρατηρηθεί παλαιότερα για το $$\reverse\opaque M_2$$ μόνο και πιο πρόσφατα παρατηρήθηκε και για το οκτάπολο της περιστροφής $$\reverse\opaque S_3$$ [PRL 108, 231104 (2012)].
Το γεγονός ότι οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές των αστέρων νετρονίων συμπεριφέρονται ως προς την περιστροφή με τον ίδιο τρόπο όπως οι αντίστοιχες ροπές των περιστρεφόμενων μελανών οπών είναι κάτι που δεν ήταν αναμενόμενο. Στη Νευτώνεια βαρύτητα και για την περίπτωση τουλάχιστον των σφαιροειδών Maclaurin για τα οποία έχουμε αναλυτικές εκφράσεις, αν και στο όριο της αργής περιστροφής παρατηρείται αυτή η συμπεριφορά, όσο αυξάνει η περιστροφή η εικόνα αρχίζει και διαφοροποιείται.

Τα πράγματα όμως γίνονται και πιο ενδιαφέροντα.


==== Συσχέτιση των ροπών ανεξάρτητη της καταστατικής ====

Όπως είπαμε και παραπάνω, υπάρχει αρκετή αβεβαιότητα ως προς το ποια είναι η "σωστή" καταστατική που περιγράφει το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων. Και αυτή η αβεβαιότητα μεταφράζεται σε μια αρκετά μεγάλη διαφοροποίηση από καταστατική σε καταστατική των εξωτερικών ιδιοτήτων ενός αστέρα νετρονίων. Και αυτό με τη σειρά του δημιουργεί πρόβλημα στην μοντελοποίηση των αστέρων νετρονίων, όπως όταν θα θέλαμε για παράδειγμα να τους χρησιμοποιήσουμε ως εργαστήρια ισχυρής βαρύτητας προκειμένου να ελέγξουμε τις προβλέψεις της θεωρίας της Σχετικότητας. Η μέχρι τώρα κατάσταση λοιπόν δεν καλλιεργούσε και πολλές ελπίδες ως προς την χρήση των αστέρων νετρονίων για τέτοιες εφαρμογές.

Από ότι φαίνεται όμως η κατάσταση δεν είναι τόσο τραγική και αυτό που δείχνει η συγκεκριμένη εργασία που δημοσιεύεται στο Phys.Rev.Lett. είναι ότι τελικά φαίνεται να υπάρχει τρόπος να παρακαμφθούν οι ιδιαιτερότητες των καταστατικών εξισώσεων και τα αστέρια νετρονίων να περιγραφούν, ως προς τις κατάλληλες παραμέτρους, με έναν ενιαίο τρόπο. Το κλειδί είναι και πάλι οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές.

Αυτό που συμβαίνει λοιπόν είναι ότι, εκτός από το γεγονός ότι οι πολυπολικές ροπές έχουν την απλή μορφή που έχουν και οι ροπές των μελανών οπών, επιπλέον οι συντελεστές α,β που εμφανίζονται στη σχέση των ροπών με την περιστροφή δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και όχι μόνο αυτό οι σχέσεις που τους συνδέουν είναι ανεξάρτητες από την καταστατική εξίσωση που χρησιμοποιεί κανείς. Πιο συγκεκριμένα, η εργασία δείχνει ότι οι συντελεστές α και β συνδέονται με μια σχέση της μορφής,
$$\reverse\opaque \sqrt[3]{\beta}\simeq B \left(\sqrt{\alpha}\right)^{2/3}$$,
όπου ο συντελεστής Β είναι ο ίδιος για όλες τις ρεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή των αστέρων νετρονίων. Αυτό μπορεί να το δει κανείς στο παρακάτω σχήμα.



Τα σημεία που φαίνονται στο σχήμα είναι τα ζευγάρια τιμών των παραμέτρων για κάθε άστρο που κατασκευάστηκε με τις διάφορες καταστατικές και για διάφορες περιστροφές. Το θεαματικό αποτέλεσμα είναι ότι η σχέση φαίνεται να είναι ανεξάρτητη της περιστροφής καταρχήν και κατά δεύτερο φαίνεται να είναι ανεξάρτητη της καταστατικής.

Το αποτέλεσμα αυτό σημαίνει ότι επί της ουσίας μπορεί να μιλήσει κανείς για μια περιγραφή που δεν εξαρτάται από την ακριβή γνώση μας για την καταστατική εξίσωση, η οποία είναι ο μεγάλος άγνωστος αυτή τη στιγμή.

Η παραπάνω ιδιότητα των αστέρων νετρονίων μπορεί να έχει πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Για αρχή, επειδή οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές είναι παράμετροι που μπαίνουν στην περιγραφή του χωροχρόνου γύρω από τους αστέρες νετρονίων (Mon. Not. R. Astron. Soc. 429, 3007-3024 (2013)), το γεγονός ότι δεν είναι όλες αυτές οι παράμετροι ανεξάρτητες σημαίνει ότι μπορεί να φτιάξει κανείς χωρόχρονους για τους αστέρες νετρονίων που να εξαρτώνται στην πραγματικότητα από λιγότερες παραμέτρους. Επιπλέον, το ότι η σχέση ανάμεσα στα πολύπολα είναι ανεξάρτητη της καταστατικής εξίσωσης, σημαίνει ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει έναν χωρόχρονο για το εξωτερικό των αστέρων νετρονίων που και αυτός να είναι ανεξάρτητος της καταστατικής εξίσωσης. Αυτό μπορεί να έχει εφαρμογή στην μελέτη αστροφυσικών διαδικασιών στο περιβάλλον των αστέρων νετρονίων με τρόπο που να μην εξαρτάται από την καταστατική, παρακάμπτοντας έτσι αυτή την άγνωστη ποσότητα που μέχρι τώρα είναι από τους μεγαλύτερους παράγοντες αβεβαιότητας στη μελέτη αυτών των φαινομένων (ο άλλος είναι το μαγνητικό πεδίο).

Μια άλλη εφαρμογή, μπορεί να είναι ο έλεγχος εναλλακτικών θεωριών βαρύτητας. Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν στη γενική σχετικότητα. Κανείς όμως δεν μπορεί να πει ότι θα πρέπει να ισχύουν και στις εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας που μελετώνται σήμερα. Οπότε, μια ενδιαφέρουσα προοπτική είναι να ψάξει κανείς αν παρόμοιες σχέσεις ισχύουν και σε άλλες θεωρίες βαρύτητας. Αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις, τότε μια πιθανή μέτρηση των πρώτων πολυπόλων θα μπορούσε να μας υποδείξει ποια θεωρία βαρύτητας είναι η σωστή.

Εδώ πρέπει να αναφέρουμε ότι τα αποτελέσματα της εργασίας στο Phys.Rev.Lett. έχουν ήδη επεκταθεί. Στην εργασία, "No-Hair Relations for Neutron Stars and Quark Stars: Relativistic Results" (arXiv:1403.6243 [gr-qc]), παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και για την επόμενη πολυπολική ροπή, το $$\reverse\opaque M_4$$, η οποία φαίνεται να ακολουθεί την αντίστοιχη συμπεριφορά με το $$\reverse\opaque S_3$$. Συγκεκριμένα έχουμε ότι,
$$\reverse\opaque M_4= \gamma(EOS) a^4 M$$,
ενώ και σε αυτή την περίπτωση ο συντελεστής γ ακολουθεί μια σχέση περίπου της μορφής,
$$\reverse\opaque \sqrt[4]{\gamma}\simeq K \left(\sqrt{\alpha}\right)^{1}$$,
η οποία είναι η ίδια για όλες τις καταστατικές (όπου εδώ μπαίνουν στο παιχνίδι και τα αστέρια που αποτελούνται από quarks). Το παρακάτω σχήμα δείχνει μαζί σε λογαριθμική κλίμακα τις καμπύλες που ακολουθούν οι παράμετροι γ και β ως προς την παράμετρο α.



Οι σχέσεις αυτές ανάμεσα στους συντελεστές α,β και γ, μπορούν να εκφραστούν και ως σχέσεις ανάμεσα στα πολύπολα απευθείας. Έτσι θα έχουμε ότι,
$$\reverse\opaque S_3 \simeq M_2 S_1 M^{-1}$$, και
$$\reverse\opaque M_4 \simeq (M_2)^2 M^{-1}$$,
που είναι και ο λόγος για τον οποίο γίνεται αναφορά σε "No-Hair Relations" στον τίτλο της εργασίας, η ομοιότητα δηλαδή με τις αντίστοιχες σχέσεις για τις μαύρες τρύπες (όπου εδώ όμως παίζει και το τετράπολο εκτός από την στροφορμή). Στην τελευταία αυτή εργασία γίνεται και περαιτέρω συζήτηση της συμπεριφοράς αυτών των σχετικιστικών σχέσεων με κάποιες αντίστοιχες Νευτώνειες που μπορεί να υπολογίσει κανείς για Νευτώνεια άστρα.


==== Μέτρηση της καταστατικής εξίσωσης ====

Σε όλα τα παραπάνω, ο κοινός τόπος είναι ότι, με την κατάλληλη επιλογή παραμέτρων μπορεί να βγει η καταστατική εξίσωση από το παιχνίδι. Η εργασία στο Phys.Rev.Lett. κλείνει όμως και με μια ενδιαφέρουσα προοπτική που προκύπτει από την όλη διερεύνηση.

Μπορεί οι παράμετροι α,β και γ να σχετίζονται μεταξύ τους με τρόπο ανεξάρτητο της καταστατικής, οι τιμές που παίρνουν οι πολυπολικές ροπές όμως (το μέτρο τους, το μέγεθός τους) δεν είναι ανεξάρτητο. Και αυτό που προκύπτει συγκεκριμένα είναι ότι αν μετρήσει κανείς για παράδειγμα τις τρεις πρώτες ροπές, δηλαδή την μάζα, την στροφορμή και το τετράπολο της μάζας, τότε μπορεί να ξεχωρίσει (ανάλογα με την ακρίβεια που έχει) τις διαφορετικές καταστατικές. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.



Αυτό που βλέπουμε στο σχήμα είναι τις διαφορετικές επιφάνειες που σχηματίζουν οι διαφορετικές καταστατικές (στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι τρεις οι καταστατικές) στον χώρο των παραμέτρων, μάζα, στροφορμή ( j ) και τετράοπολο (ρίζα του α). Επειδή λοιπόν κάθε καταστατική σχηματίζει μια ξεχωριστή επιφάνεια, ουσιαστικά με διάφορες μετρήσεις των πολυπόλων των αστέρων νετρονίων θεωρητικά θα μπορούσαμε να δούμε ποια είναι η επιφάνεια που διαγράφεται σε αυτό το χώρο και άρα να δούμε ποια είναι τελικά η καταστατική εξίσωση των αστέρων νετρονίων.

Εν κατακλείδι, η προοπτική που ανοίγεται με λίγα λόγια είναι διπλή, έλεγχος της βαρύτητας από τη μία και μέτρηση της καταστατικής εξίσωσης από την άλλη.