Μετα-Μαθηματικά

Διάβασα αυτές τις ημέρες το βιβλίο του Gregory Chaitin, Μετα-Μαθηματικά: Τα Μυστικά του Αριθμού Ω.

Καταρχήν, τι είναι το Ω; Αυτή ήταν η βασική απορία μου ξεκινώντας να διαβάσω το βιβλίο. Δεν το είχα ξανακούσει πουθενά αυτό το Ω.

Λοιπόν, το Ω είναι η πιθανότητα τερματισμού ενός προγράμματος. Είναι ένας αριθμός στο διάστημα μεταξύ του 0 και του 1 και υπολογίζεται από το ποσοστό των προγραμμάτων που τερματίζουν σε σχέση με το σύνολο των προγραμμάτων που μπορεί να έχει κανείς. Ο αριθμός αυτός έχει άπειρα ψηφία, είναι δηλαδή ένας πραγματικός άρρητος αριθμός και μπορεί να υπολογιστεί ως το Ν-οστό του bit από προγράμματα που έχουν μέγεθος μέχρι Ν-bit. Ή κάτι τέτοιο.

Το βιβλίο είναι πάνω σε ένα σχετικά μακρινό μου αντικείμενο και ακόμα το χωνεύω. Για να πω την αλήθεια, είναι γραμμένο και λίγο περίεργα. Μου έδωσε την αίσθηση ότι το έγραψε για τον εαυτό του ο Chaitin. Σίγουρα δεν βοήθησε και η μετάφραση, που αν κρίνω από μερικά σημεία που εντόπισα εγώ, δεν φαίνεται και πολύ καλή. Το θέμα πάντως είναι πολύ ενδιαφέρον.

Σχετικά με τον τίτλο. Γιατί μετα-μαθηματικά; Εδώ το μετα-μαθηματικά σημαίνει ότι το αντικείμενο που πραγματεύεται το βιβλίο έχει να κάνει όχι με τα μαθηματικά τα ίδια ως πεδίο αλλά με το τι μπορεί να πει κανείς για τα μαθηματικά. Δηλαδή, σκέψεις πάνω στα μαθηματικά, την φύση τους και τα όριά τους.
Με αυτόν τον τρόπο περίπου χρησιμοποιείται και το πρόθεμα "μετα" στην μετα-φυσική, όπου ουσιαστικά όταν λέμε μετα-φυσική εννοούμε την διερεύνηση της οντολογίας των πραγμάτων, του τι είναι και τι δεν είναι, την φύση των φυσικών θεωριών, την φύση της ίδιας της γνώσης, του τι μπορούμε να μάθουμε και τι ενδεχομένως όχι.

Έχει ενδιαφέρον πάντως ο όρος "μετα-μαθηματικά", γιατί θα μπορούσε να πει κανείς ότι τα μαθηματικά είναι "μετα" από μόνα τους, αφού δεν έχουν ως αντικείμενο την ίδια την φύση, αλλά αφαιρέσεις που έχουν τις ρίζες τους στην φύση. Δηλαδή, τα μαθηματικά ασχολούνται με κάποιες ιδανικές ιδέες, των οποίων χοντροκομμένα αντίγραφα βλέπουμε γύρω μας. Γι' αυτό ίσως και πολλοί μαθηματικοί να είναι Πλατωνιστές.

Λοιπόν, για να επιστρέψουμε στο βιβλίο, και πως ακριβώς προκύπτει αυτό το "μετα" στα μαθηματικά; Το βιβλίο έχει τον εξής άξονα: Ξεκινάμε από το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel, μετά πάμε στο θεώρημα της μη υπολογισιμότητας του Turing και καταλήγουμε στο δικό του θεώρημα της μη αναγωγιμότητας. Σύμφωνα με τον Chaitin, όλα τα παραπάνω είναι προτάσεις πάνω στην φύση των μαθηματικών και τα όριά τους.

Το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel με λίγα λόγια λέει ότι αν έχουμε ένα αξιωματικό σύστημα, το οποίο είναι τόσο "πλούσιο" ώστε να "περιέχει την αριθμητική", τότε το αξιωματικό αυτό σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει όλες τις πιθανές προτάσεις και άρα είναι μη πλήρες. Περισσότερη κουβέντα πάνω σ' αυτό το θέμα κάνω στο post μου για το LOGICOMIX.

Το θεώρημα της μη υπολογισιμότητας του Turing λέει χονδρικά ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε από πριν αν ένα δεδομένο πρόγραμμα θα τερματίσει. Αυτό είναι το περίφημο πρόβλημα του τερματισμού και συνδέεται με την μη πληρότητα του Godel με πολύ ενδιαφέρον τρόπο.

Τέλος το θεώρημα της μη αναγωγιμότητας λέει ότι ουσιαστικά στα πλαίσια ενός αξιωματικού συστήματος το οποίο έχει πολυπλοκότητα N-bit δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν ένα πρόγραμμα με μεγαλύτερη πολυπλοκότητα (περισσότερα από Ν-bit) είναι το λιγότερο πολύπλοκο. Ή κάτι τέτοιο.

Φυσικά στα παραπάνω μπορεί να υπάρχουν πολλές άγνωστες λέξεις και δεν βγάζουν και πολύ νόημα για κάποιον που δεν έχει επαφή, αλλά έχει πολύ ενδιαφέρον το όλο θέμα και όλα αυτά συνδέονται και με την θεωρία αριθμών, τους πρώτους αριθμούς, το πρόβλημα του συνεχούς κλπ. οπότε αξίζει να διαβάσει κανείς το βιβλίο για να έρθει σε μια πρώτη επαφή με όλα αυτά.

Τελικά, το ευχαριστήθηκα το βιβλίο και συνάντησα αρκετά ενδιαφέροντα πραγματάκια.

Κάτι που μου έκανε εντύπωση και ας πούμε ότι με παιδεύει λίγο είναι η αναφορά σε ένα απίστευτο θεώρημα σχετικά με τους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος. Το θεώρημα λέει ότι, αν έχουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα του $$\reverse\opaque (1+x)^n$$ τότε ο συντελεστής μπροστά από τον $$\reverse\opaque x^k$$ όρο είναι περιττός αν το δυαδικό ανάπτυγμα του k έχει 1 στις θέσεις όπου και το ανάπτυγμα του n έχει 1, ενώ είναι άρτιος διαφορετικά (δηλαδή αν έχει κάποιο 1 σε θέση όπου το αντίστοιχο ανάπτυγμα του n έχει 0). Για παράδειγμα, οι όροι μηδενικής τάξης ως προς x είναι πάντα περιττοί, αφού ανεξάρτητα του δυαδικού αναπτύγματος του n το ανάπτυγμα του 0 δεν έχει άσους. Αντιστοίχως ο συντελεστής της n-οστής δύναμης είναι και αυτός περιττός, αφού το n έχει το ίδιο δυαδικό ανάπτυγμα με το n. Για εμένα το όλο θεώρημα είναι τελείως αντι-διαισθητικό και ενδιαφέρον και στο βιβλίο το συνδέει με τις Διοφαντικές εξισώσεις, οι οποίες μπορούν να παίξουν τον ρόλο καθολικών υπολογιστών σαν τις μηχανές Turing... άλλο φοβερό αποτέλεσμα. Ακόμα το βιβλίο είναι γεμάτο αναφορές στην δουλειά του Wolfram, που είναι ακόμα ένα ενδιαφέρον θέμα.

Είναι σαφές νομίζω ότι το αντικείμενο με συνεπήρε και ας έχω κάποιες ενστάσεις, όπως η εμμονή του συγγραφέα με την τυχαιότητα. Συγκεκριμένα κάνει αρκετές κατά την γνώμη μου ατυχείς συσχετίσεις ανάμεσα στην τυχαιότητα και την κβαντομηχανική, αλλά αυτό ίσως είναι και πρόβλημα γλώσσας.

Τέλος υπάρχουν και κάποιες ενστάσεις σε φιλοσοφικό επίπεδο πάνω στην αντίληψη του Chaitin για το θεώρημα της μη πληρότητας και την σχέση του με τα δικά του θεωρήματα και τα μαθηματικά γενικά. Ο Torkel Franzen κάνει συγκεκριμένη αναφορά στον chaitin στο βιβλίο του "Godels Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse", αλλά δεν θα αναφερθώ παραπάνω σ' αυτό το θέμα.

Κλείνω με την αναφορά στην απαράδεκτη μετάφραση του όρου "Toy Model Universe" ως "παιδικό σύμπαν" και "παιδικό μοντέλο" γενικότερα. Έχει κανείς καμιά ιδέα για κάτι καλύτερο, γιατί ομολογώ ότι είναι δύσκολο. Εγώ θα προτιμούσε το "παιχνίδι" με μια πρώτη σκέψη πάντως.

Αυτά.

-------------------------------------------
Update: Μια λίστα από κείμενα του Chaitin μπορεί να βρει κανείς στο arXiv στο παρακάτω λινκ
Search Results for au:Chaitin
Εδώ υπάρχει και το βιβλίο σε ηλεκτρονική μορφή, καθώς και το Apendix II (δεν είμαι σίγουρος αν το Apendix I υπάρχει στη λίστα, αλλά είναι πιθανό).