Ενδιαφέροντα αστροφυσικά νέα.

Για αυτή την εβδομάδα έχουμε δύο πολύ ενδιαφέροντα αστροφυσικά νέα. Το πρώτο σχετίζεται και με την ερχόμενη εκτόξευση της Space-X η οποία με την αποστολή CRS-11 που θα ανεφοδιάσει τον διεθνή διαστημικό σταθμό (ISS) θα μεταφέρει και ένα όργανο παρατήρησης στις ακτίνες Χ που έχει ως στόχο την μελέτη των αστέρων νετρονίων.

Συγκεκριμένα η εκτόξευση είναι προγραμματισμένη για την 1η του Ιουνίου

Static fire test of Falcon 9 complete—targeting June 1 launch from historic Pad 39A for Dragon’s next resupply mission to the @Space_Station pic.twitter.com/LjG6JdVtCo

— SpaceX (@SpaceX) May 28, 2017

Μέχρι στιγμής όλα δείχνουν καλά και η εκτόξευση έχει 70% πιθανότητα για να γίνει όπως προβλέπει το πρόγραμμα.

Οι εκτοξεύσεις της Space-X φυσικά έχουν πάντα ενδιαφέρον, αλλά η συγκεκριμένη έχει έναν λόγο παραπάνω να μας ενδιαφέρει αφού θα πάρει μαζί της στο διαστημικό σταθμό τον Neutron Star Interior Composition Explorer (NICER). Όπως λέει και το όνομα ο στόχος του οργάνου είναι η μελέτη της σύστασης και της δομής του εσωτερικού των αστέρων νετρονίων, ένα επιστημονικό πεδίο που με ενδιαφέρει ιδιαίτερα. Περισσότερες πληροφορίες για το τι θα κάνει το NICER μπορεί να δει κανείς στο παρακάτω βίντεο.



Μια αποστολή τύπου NICER την περιμένουμε εδώ και πολύ καιρό και ελπίζουμε ότι θα μας βοηθήσει να ξεκλειδώσουμε πολλά από τα μυστήρια της δομής των αστέρων νετρονίων. Αυτό κάνει φυσικά ακόμα πιο σημαντική την επερχόμενη εκτόξευση της Space-X. Ας ελπίσουμε να πάνε όλα καλά γιατί ένα όργανο σαν το NICER σε συνδυασμό με την αστρονομία βαρυτικών κυμάτων θα ανοίξουν τους ορίζοντές μας προς πολλές κατευθύνσης. Αν όλα πάνε καλά, τα επόμενα χρόνια οι αστέρες νετρονίων έχουν να μας μάθουν πολλά πράγματα, τόσο για τις ιδιότητες της ύλης σε πυκνότητες υψηλότερες των πυρηνικών, όσο και για την ίδια την βαρύτητα.

Το άλλο νέο είναι ότι περιμένουμε την επόμενη ανακοίνωση του LIGO από ότι φαίνεται την Πέμπτη.

LIGO announcement prediction poll! (BH = black hole, NS = neutron star)

— Katie Mack (@AstroKatie) May 31, 2017

Springer books (NOT-)available for download

Update (28/1/16): Δώρα τέλος.

These links no longer work. Springer have pulled the free plug.

Από ότι φαίνεται οι εκδόσεις Springer είπαν να μας κάνουν ένα δώρο για τις γιορτές. Ελευθέρωσαν δηλαδή μια σειρά από βιβλία μαθηματικών και φυσικής και μπορεί να τα κατεβάσει όποιος θέλει.
Η λίστα με τα βιβλία φαίνεται παρακάτω στο σχετικό script από το github.

Καλή διασκέδαση και Καλή Χρονιά.

script src="https://gist.github.com/bishboria/8326b17bbd652f34566a.js" /script

ΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΛ.Ε.Σ.Β.Κ. ΓΙΑ ΤΑ 100 ΤΗΣ ΓΘΣ

Η Ελληνική Εταιρεία Σχετικότητας, Βαρύτητας και Κοσμολογίας (ΕΛ.Ε.Σ.Β.Κ.), διοργάνωσε την Τετάρτη 25 Νοεμβρίου και ώρα 7 μ.μ. ημερίδα στην Ακαδημία Αθηνών για να γιορτάσει τη συμπλήρωση 100 χρόνων ακριβώς από την 25η Νοεμβρίου 1915 που ο Albert Einstein απέστειλε προς δημοσίευση την τελική διατύπωση της Γενικής Θεωρίας Σχετικότητας (ΓΘΣ). Η εκδήλωση εντάχθηκε και στα πλαίσια του εορτασμού του 2015 ως «Διεθνές Έτος Φωτός» από την UNESCO (http://www.light2015.org).



Στο αρχικό λινκ μπορεί να βρεί κανείς την αναλυτική λίστα τον ομιλιών καθώς και τα σχετικά αρχεία pdf.

Κάποια ενδιαφέροντα ιστορικά στοιχεία για την ΕΛ.Ε.Σ.Β.Κ. και το συνέδριο μπορεί να βρει κανείς στην ομιλία της Αν. Καθηγήτριας Παναγιώτας Καντή (Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων), με τίτλο «Ημερίδα για τα 100 χρόνια από τη Γενική Θεωρία Σχετικότητας».

Ο Einstein και η θεωρία της Γενικής Σχετικότητας (100 χρόνια)

Πλησιάζουμε στην επίσημη επέτειο των 100 χρόνων από την παρουσίαση της θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας από τον Einstein στην Πρωσική Ακαδημία επιστημών και γι'αυτό το λόγο έχουν κυκλοφορήσει διάφορα αφιερώματα σχετικά.

Για παράδειγμα, το περιοδικό Nature έχει ένα αφιέρωμα στα 100 χρόνια με μια συλλογή από σχετικά άρθρα. Ένα από αυτά τα άρθρα είναι και το άρθρο με τίτλο, "Einstein was no lone genius", που περιγράφει την πορεία της ανάπτυξης της θεωρίας της σχετικότητας από τον Einstein και την συνεργασία του με τους υπόλοιπους που συνεισέφεραν σε αυτή τη διαδικασία (στην πραγματικότητα και όχι στην φαντασία κάποιων), όπως ήταν ο Marcel Grossmann και ο Michele Besso.

Ένα άλλο ενδιαφέρον άρθρο που κυκλοφόρησε στο περιοδικό Physics Today, με τίτλο Arch and scaffold: How Einstein found his field equations, περιγράφει την διαδικασία από την οποία τελικά ο Einstein κατέληξε στις εξισώσεις πεδίου της Γενικής Σχετικότητας, μια διαδικασία που δεν ήταν εντελώς ευθεία.

Ακόμα, η American Physical Society παρουσιάζει μια συλλογή από αφιερώματα σε διάφορα θέματα σχετικά με την Γενική Σχετικότητα που προέκυψαν από δημοσιεύσεις που έχουν γίνει στο παρελθόν στα επιστημονικά περιοδικά της ένωσης.

Τα άρθρα αξίζει να τα διαβάσει κανείς, αλλά πέρα από αυτό και για να υπάρχει έστω και μια σύντομη αναφορά στα Ελληνικά (όπου κυριαρχούν διάφοροι μύθοι και αρλούμπες), είπα να κάνω εδώ μια σύντομη περίληψη.

Einstein, μια όχι και τόσο μοναχική ιδιοφυΐα

Όπως είπαμε και παραπάνω, δύο είναι τα βασικά πρόσωπα που συμμετέχουν στην όλη ιστορία (αν και όχι τα μοναδικά), ο Grossmann και ο Besso, και οι δύο φίλοι και συμφοιτητές του από το πολυτεχνείο της Ζυρίχης (το σημερινό ETH) όπου φοίτησε την περίοδο 1896-1900. Ο Grossman ήταν ο μαθηματικός της παρέας και ο Besso ήταν μηχανολόγος/μηχανικός. Ο πατέρας του Grossmann ήταν που βοήθησε τον Einstein να βρει δουλειά στο γραφείο ευρεσιτεχνιών το 1902 και ο Besso τον ακολούθησε εκεί 2 χρόνια αργότερα. Η αλληλεπίδραση των δύο ανδρών το διάστημα που πέρασαν στο γραφείο ήταν και ο λόγος που ο Einstein αναγνωρίζει τη συνεισφορά του Besso στην εργασία του πάνω στην ειδική σχετικότητα το 1905. Την ίδια δε περίοδο ολοκληρώνει και την διδακτορική του εργασία πάνω στις διαστάσεις των ατόμων (θέμα που σχετίζεται με μια άλλη από τις διάσημες εργασίες του του 1905, αυτή για την κίνηση Brown).

Ο Einstein άρχισε να σκέφτεται το πρόβλημα της γενίκευσης της θεωρίας του της ειδικής σχετικότητας από το 1907, όταν ήταν ακόμα στο γραφείο ευρασιτεχνιών, αλλά ξεκίνησε να δουλεύει ουσιαστικά στο πρόβλημα από το 1909, οπότε και ανέλαβε θέση στο πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Στο διάστημα 1909-1912, ο Einstein συνειδητοποιεί ότι η περιγραφή της βαρύτητας πρέπει να γίνει με γεωμετρικούς όρους και ότι η κίνηση των σωμάτων στα οποία δρα μόνο η βαρύτητα θα πρέπει να ακολουθεί γεωδαισιακές τροχιές (γενικευμένες ευθείες ή ελεύθερες τροχιές) σε κάποιο χώρο. Για να αναπτύξει αυτή τη γεωμετρική θεωρία ο Einstein συνεργάζεται με τον Grossmann, ο οποίος έχει τις απαραίτητες γνώσεις διαφορικής γεωμετρίας, και δημοσιεύουν μαζί το 1913 μια εργασία που έγινε γνωστή ως Entwurf paper και δίνει μια πρώτη συνολική διατύπωση για την θεωρία της βαρύτητας. Αυτή η θεωρία διαφέρει από την τελική μορφή της γενικής σχετικότητας ως προς τη μορφή των εξισώσεων πεδίου, την μορφή δηλαδή που έχει η σύνδεση της ύλης με την γεωμετρία. Η τελική θεωρία είναι γενικά αναλλοίωτη στους μετασχηματισμούς συντεταγμένων, ενώ η αρχική θεωρία είναι περιορισμένης αναλλοιώτητας.

Την ίδια περίοδο, κυκλοφορούσαν μερικές ακόμα εναλλακτικές προτάσεις για μια θεωρία της βαρύτητας που να είναι συμβατή με την ειδική σχετικότητα. Μια τέτοια θεωρία ήταν αυτή του Φινλανδού Gunnar Nordstrom, όπου η βαρύτητα περιγραφόταν από ένα πεδίο στο χώρο Minkowsky της ειδικής σχετικότητας. Ο Einstein συνάντησε τον Nordstrom μετά την επίσκεψή του στη Βιέννη το 1913, όπου είχε κληθεί να παρουσιάσει την θεωρία του, όπου και τον έπεισε ότι η πηγή του βαρυτικού πεδίου θα πρέπει να σχετίζεται με τον τανυστή ενέργειας ορμής. Η έννοια του τανυστή ενέργειας ορμής είχε αναπτυχθεί στα πλαίσια της ειδικής σχετικότητας και ο φυσικός Friedrich Kottler το 1912 την γενίκευσε για καμπύλους χώρους. Η Ertwurf θεωρία που παρουσίασαν το 1913 οι Einstein και Grossmann βασιζόταν στην εργασία του Kottler και ο ίδιος ο Einstein δεν είχε κανένα πρόβλημα να το αναγνωρίσει και να του αποδώσει τα εύσημα στις διαλέξεις της Βιέννης.

Το καλοκαίρι του 1913 ο Einstein συνεργάζεται με τον Besso πάνω στο πρόβλημα του υπολογισμού της μετάπτωσης του περιηλίου του Ερμή, προσπαθώντας να εξηγήσουν την διαφορά των 43''. Ο αρχικός τους υπολογισμός όμως δίνει αποτέλεσμα μόνο 18'', ενώ ο Besso υπολόγισε και την μετάπτωση που προέβλεπε η θεωρία του Nordstrom και βρήκε ότι προέβλεπε μετάπτωση 7'' κατά την αντίθετη από την μετρούμενη φορά. Παράλληλα με το πρόβλημα του περιηλίου του Ερμή, οι Einstein και Besso σκεφτόντουσαν και το θέμα της γενικής συναλλοιώτητας των εξισώσεων πεδίου καθώς και την εφαρμογή τους σε περιστρεφόμενα συστήματα. Μια ακόμα διαφορά ανάμεσα στη θεωρία του Nordstrom και στην Entrwurf θεωρία ήταν ότι η τελευταία προέβλεπε εκτροπή του φωτός υπό την παρουσία βαρυτικού πεδίου, σε αντίθεση με την πρώτη που δεν προέβλεπε εκτροπή. Η πρώτη πειραματική επαλήθευση αυτού του γεγονότος θα έρθει το 1919 από τον Eddington.

Μια ακόμα συνεργασία που είχε εκείνη την περίοδο ο Einstein ήταν αυτή με τον φυσικό Adriaan Fokker, με τον οποίο προσπάθησαν να δώσουν μια πιο γεωμετρική εκδοχή της θεωρία του Nordstrom. Αυτή η δουλειά τον βοήθησε στην περαιτέρω ανάπτυξη της Entwurf θεωρίας με τον Grossmann, σε μια δουλειά που δημοσίευσαν το 1914.

Η δουλειά πάνω στην Entwurf θεωρία είχε ως αποτέλεσμα να κληθεί ο Einstein να δώσει μια σειρά από διαλέξεις στο Guettingen το 1915, τις οποίες παρακολούθησε ο μαθηματικός David Hilbert και ήταν η αφορμή για να ασχοληθεί με την θεωρία της βαρύτητας και να διατυπώσει τελικά την δικιά του προσέγγιση στις εξισώσεις πεδίου μέσω της αρχής ακρότατης δράσης. Από το καλοκαίρι του 1915 μέχρι το Νοέμβρη του ίδιου χρόνου, ο Einstein προσπαθεί να παράξει τις σωστές εξισώσεις πεδίου, αφού έχει συνειδητοποιήσει ότι η προσέγγιση της Entwurf θεωρίας δεν είναι η σωστή. Οι τελικές εξισώσεις που δημοσιεύει είναι οι σωστές και είναι γενικά συναλλοίωτες. Σε μια από τις εργασίες του Νοέμβρη υπολογίζει και την μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή με βάση τις νέες εξισώσεις πεδίου και το βρίσκει 43''.

Ακόμα και με τις σωστές εξισώσεις πεδίου διαθέσιμες, το μεγαλύτερο πρόβλημα ήταν η φυσική ερμηνεία της γενικής συναλλοιώτητας. Ο Einstein από ότι φαίνεται οδηγήθηκε στη σωστή ερμηνεία, ότι δηλαδή τα χωροχρονικά γεγονότα είναι θεμελιώδη και έχουν φυσικό περιεχόμενο και όχι οι συντεταγμένες, με την βοήθεια των Besso και Ehrenfest.

Αυτά είναι λοιπόν τα ονόματα των ανθρώπων που έπαιξαν τον βασικό ρόλο και συνδιαμόρφωσαν την τελική μορφή της θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας όπως αυτή παρουσιάστηκε στο τέλος του 1915, τα 100 χρόνια της οποίας γιορτάζουμε φέτος,

Grossmann, Besso, Kottler, Nordstrom, και Fokker.

Αξίζει εδώ να αναφέρουμε και την συμμετοχή ενός ακόμα συνεργάτη του Einstein, τον αστρονόμο Erwin Finlay Freundlich, με τον οποίο ο Einstein είχε αλληλογραφία και δέχτηκε υποστήριξη αν και όχι απαραίτητα πάντα πάνω σε τεχνικά θέματα. Ο Freundlich μάλιστα προσπάθησε να μετρήσει την εκτροπή του φωτός από τον Ήλιο κατά την έκλειψη του 1914. Δυστυχώς η όλη ιστορία δεν είχε καλή κατάληξη για τον ίδιο, αν και ευτυχώς απέφυγε τα χειρότερα, αφού κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του ξέσπασε ο πρώτος παγκόσμιος πόλεμος με αποτέλεσμα να συλληφθεί από τους Ρώσους.

Τα παραπάνω βασίζονται και ακολουθούν κάπως στο άρθρο του Nature και αφορούν τις συνεισφορές των συνεργατών του Einstein. Πέρα από αυτά, έχει ενδιαφέρον να διαβάσει κανείς και το άρθρο του Physics Today όπου παρουσιάζεται πιο αναλυτικά η πάλη για την κατανόηση του φυσικού νοήματος της γεωμετρικής θεωρίας της βαρύτητας και της συναλλοιώτητας των εξισώσεων πεδίου.

----Update(19/11/15)-----------------------------------
Αναφορές στις εργασίες:

[1] A. Einstein, "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 844-847 (1915)
[2] A. Einstein, "Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 831-839 (1915)
[3] A. Einstein, "Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag)", Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 799-801 (1915)
[4] A. Einstein, "Zur allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 778-786 (1915)

[5] A. Einstein, A.D. Fokker, "Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentialkalküls", Annalen der Physik, vol. 349, Issue 10, pp.321-328 (1914)
[6] A. Einstein, M. Grossmann, "Kovarianzeigenschaften der Feldgleichungen der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie", Zeitschrift für Mathematik und Physik, 63, 215–225 (1914)
[7] A. Einstein, M. Grossmann, "Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und eine Theorie der Gravitation. I. Physikalischer Teil von A. Einstein II. Mathematischer Teil von M. Grossmann", Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–244, 245–261 (1913)
[8] F. Kottler, "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt", Wiener Sitzungsberichte 2a, 121: 1659-1759 (1912)
[9] A. Einstein, "Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes", Annalen der Physik(ser. 4), 35, 898–908 (1911)


Και εδώ μπορεί να βρει κανείς μία λίστα με τις εργασίες του Einstein.


----Update(30/11/15)-----------------------------------
Και λίγα ακόμα links:

[10] A Peek into Einstein's Zurich Notebook by John D. Norton
[11] Volume 8: The Berlin Years: Correspondence, 1914-1918 (English translation supplement)
[12] Volume 6: The Berlin Years: Writings, 1914-1917 (English translation supplement)
[13] Volume 4: The Swiss Years: Writings 1912-1914

Με αφορμή ένα πρόβλημα Πανελλαδικών

Με αφορμή ένα πρόβλημα Πανελλαδικών: Τι έμαθα από τα λάθη μου

Το Δ θέμα των φετινών Πανελλαδικών περί ολίσθησης μιας μπάλας σε μια ημισφαιρική κοιλότητα κρύβει μια φαινομενικά αθώα κινηματική λεπτομέρεια. Με σημείο εκκίνησης τη διαλεύκανση αυτού του σημείου, θα παρουσιάσω τον πλούτο από πλευράς μηχανικής (και μαθηματικών) που εμπεριέχει το εν λόγω πρόβλημα.

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Θ. Αποστολάτος, Παρασκευή 19 Ιουνίου 2015, 17:00, αμφιθέατρο "Θαλής"





Δείτε ακόμα τα σχετικά posts στου physicsgg

THE BIRTH OF AN IDEA II

Σε συνέχεια του προηγούμενου σχετικά με τη γέννηση μιας ιδέας...


NEVER MIND THE EOS
George Pappas

I had just finished with my PhD defense on the subject of the properties of the spacetime around Neutron stars. We had developed an analytic model for the spacetime around Neutron stars that was based on the relativistic multipole moments and had shown that it is a very good approximation of the "actual" spacetime (constructed numerically). To make the comparison we had calculated several models for several realistic equations of state (EoS), enough to show that the analytic spacetime was a good fit, but in truth they were only sequences representing almost distant parts of the parameter space. Scattered lines in the parameter space.

I had just heard that I had gotten a short fellowship to go to Germany for a few months, a nice opportunity to hunt for the next thing. In the meantime we were discussing with my supervisor, considering what to do next. One of us put the idea on the table,

"Let's see how the models look like in the multipole moments parameter space."

"Yes. Let's plot the mass reduced moments. I bet we can tell apart the different EoSs from a plot like that."

"That would be great, to have the different EoSs occupy different parts of the parameter space."

And that is how it started. We were hoping that neutron stars constructed with different EoSs would separate enough to be distinguishable between them. That would have been a very nice result, a way to tell EoSs apart. It was not meant to be though.

A few weeks later, I had enough models to cover the parameter space, but only a couple of EoSs. I plotted the models for the first EoS and they formed a surface in the parameter space of the mass reduced spin, quadrupole and spin octupole.

"That's a nice surface", I thought. "Let's see where the other EoS will lay."

We never thought beforehand that all the models, regardless the EoS, would fall on the same surface. Neutron stars are not black holes and there are too many degrees of freedom to have something like a no-hair theorem. The rest though is history. As soon as I moved to Tuebingen, I broadened the collection of EoSs that we had and still all the models were falling on the same surface.

That was the birth of the neutron star few hair idea for us, in contrast to our initial expectations. The gravitational aspect of neutron stars turned out to be simpler than what we had thought. This is one of the interesting properties of science. You don't always get what you expect and it is fun to be surprised. And often the surprising result is better.

The serendipity of the thing was that around the same period other people had stumbled on the related effect of I-Love-Q. The idea of universal properties of neutron stars was here to stay and people were converging to it from all sides.

And that is another of the interesting properties of science, when the time has come for an idea, it will definitely emerge.

George Pappas is a research fellow at The University of Nottingham - School of Mathematical Sciences.


Περισσότερα σχετικά με αυτό το θέμα υπάρχουν σε παλιότερη ανάρτηση εδώ: Neutron stars in general relativity: simpler than expected

THE BIRTH OF AN IDEA

Scientists talk about the genesis of their ideas

About The Project

The “Birth of an Idea” is a project about the origin of ideas in science. It was born out of a collaboration between artist Ana Sousa Carvalho and physicist Vitor Cardoso.

Every idea has a genesis, some small event or situation that triggered its inception. It could be a casual conversation, a walk down the street, a paper that you read… it could even be an apple falling on your head!

Our goal is to build a catalogue of stories documenting the scientific process as it truly is: perplexing, difficult, painstaking, spontaneous, exciting and fun. Along the way, we also hope to tell a larger story: that of science itself, seen from the human side of the equation.

Το project της γέννησης μιας Ιδέας είναι λοιπόν μία έμπνευση του Vitor Cardoso και της Ana Sousa Carvalho. Την Ana Sousa Carvalho δυστυχώς δεν την γνωρίζω, αλλά ο Vitor Cardoso είναι σχετικιστής που έχει δουλέψει πάνω στη φυσική των μελανών οπών, διάφορα προβλήματα σχετικά με τη βαρύτητα γενικότερα, αλλά και σε εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας. Είναι μια πολύ ωραία ιδέα και στη σελίδα του project μπορεί να βρει κανείς ενδιαφέρουσες προσωπικές ιστορίες σχετικά με το πως προέκυψαν κάποιες ιδέες ή σχετικά με το πως παλεύει κανείς με τις ιδέες του και μέσα από αυτό πως προχωρά τελικά η επιστήμη.

Στη λίστα όσων έχουν συνεισφέρει μέχρι στιγμής μπορεί να βρει κανείς από νέα "ταλέντα" της φυσικής όπως είναι ο Paolo Pani και ο Leo Stein για παράδειγμα, καθιερωμένους επιστήμονες όπως ο είναι ο Luciano Rezzolla, ο Emanuele Berti, o Eric Poisson, ο Luis Lehner και πολλοί άλλοι ακόμα, είναι όλοι ένας και ένας, και ακόμα μέχρι και παλιές καραβάνες και πολύ γνωστά ονόματα όπως είναι ο Stephen Hawking.

Γενικά, μια πολύ ωραία πρωτοβουλία.

Interstellar papers

Σήμερα, μερικούς μήνες μετά την πρεμιέρα της ταινίας Interstellar, ανέβηκαν στο arXiv δύο εργασίες που έχουν ως αντικείμενο την μελέτη και προσομοίωση της κίνησης του φωτός στο χωροχρόνο γύρω από μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα και μία σκουλικότρυπα, όπως είναι αυτές που εμφανίζονται στην ταινία.

Οι εργασίες λοιπόν είναι οι:

Gravitational Lensing by Spinning Black Holes in Astrophysics, and in the Movie Interstellar
Interstellar is the first Hollywood movie to attempt depicting a black hole as it would actually be seen by somebody nearby. For this we developed a code called DNGR (Double Negative Gravitational Renderer) to solve the equations for ray-bundle (light-beam) propagation through the curved spacetime of a spinning (Kerr) black hole, and to render IMAX-quality, rapidly changing images. Our ray-bundle techniques were crucial for achieving IMAX-quality smoothness without flickering.
This paper has four purposes: (i) To describe DNGR for physicists and CGI practitioners . (ii) To present the equations we use, when the camera is in arbitrary motion at an arbitrary location near a Kerr black hole, for mapping light sources to camera images via elliptical ray bundles. (iii) To describe new insights, from DNGR, into gravitational lensing when the camera is near the spinning black hole, rather than far away as in almost all prior studies. (iv) To describe how the images of the black hole Gargantua and its accretion disk, in the movie Interstellar, were generated with DNGR. There are no new astrophysical insights in this accretion-disk section of the paper, but disk novices may find it pedagogically interesting, and movie buffs may find its discussions of Interstellar interesting.

και

Visualizing Interstellar's Wormhole
Christopher Nolan's science fiction movie Interstellar offers a variety of opportunities for students in elementary courses on general relativity theory. This paper describes such opportunities, including: (i) At the motivational level, the manner in which elementary relativity concepts underlie the wormhole visualizations seen in the movie. (ii) At the briefest computational level, instructive calculations with simple but intriguing wormhole metrics, including, e.g., constructing embedding diagrams for the three-parameter wormhole that was used by our visual effects team and Christopher Nolan in scoping out possible wormhole geometries for the movie. (iii) Combining the proper reference frame of a camera with solutions of the geodesic equation, to construct a light-ray-tracing map backward in time from a camera's local sky to a wormhole's two celestial spheres. (iv) Implementing this map, for example in Mathematica, Maple or Matlab, and using that implementation to construct images of what a camera sees when near or inside a wormhole. (v) With the student's implementation, exploring how the wormhole's three parameters influence what the camera sees---which is precisely how Christopher Nolan, using our implementation, chose the parameters for Interstellar's wormhole. (vi) Using the student's implementation, exploring the wormhole's Einstein ring, and particularly the peculiar motions of star images near the ring; and exploring what it looks like to travel through a wormhole.

Και στις δύο εργασίες δίνεται έμφαση στην παιδαγωγική παρουσίαση των θεμάτων, ενώ η πρώτη έχει και μια σχετική ιστορική εισαγωγή στο θέμα της οπτικοποίησης μιας περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας.
Νομίζω ότι κανείς θα ευχαριστηθεί και τις δύο εργασίες.

Καλή διασκέδαση.

Excellent Pulsar Research

Πριν ένα χρόνο περίπου είχα γράψει για την δουλειά του Γιάννη Αντωνιάδη πάνω στο διπλό σύστημα του PSR J0348+0432 με έναν Λευκό Νάνο χαμηλής μάζας. Η δουλειά αυτή ήταν μέρος της διδακτορικής του εργασίας που εκπόνησε στο ινστιτούτο Max Planck στη Βόννη.

Σε λίγες μέρες, ο Γιάννης θα βραβευθεί για τη διδακτορική του εργασία:

Excellent Pulsar Research
"Foundation for Physics and Astronomy in Bonn" presents award for doctoral thesis of John Antoniadis

On Friday, 16 May 2014, the Foundation for Physics and Astronomy in Bonn will present its award to John Antoniadis who completed his research work related to his doctoral thesis within the International Max Planck Research School (IMPRS) for Astronomy and Astrophysics at the Max Planck Institute for Radio Astronomy. The presentation starts at 4 pm at the Physical Institute’s seminar room I, Nussallee 12. All those who are interested are warmly invited to participate.

The Foundation for Physics and Astronomy in Bonn presents its 2014 award to John (Ioannis) Antoniadis for his research work “Multi-wavelength studies of pulsars and their companions”. He receives the award for his doctoral thesis that focuses on optical observations of so called white dwarfs, which accompany these pulsars.

The doctoral award will be presented on 16 May 2014 at the Physical Institute’s seminar room I. Prof. Luciano Rezzolla of the Goethe University Frankfurt will give a guest lecture on the topic "Exploring extreme gravity with neutrons stars".

Μπράβο Γιάννη. Τα θερμά μου συγχαρητήρια.

Neutron stars in general relativity: simpler than expected

Τον τελευταίο καιρό υπάρχουν μερικές ενδιαφέρουσες εξελίξεις στον χώρο της φυσικής των αστέρων νετρονίων και των συμπαγών αντικειμένων γενικότερα. Έχουν αρχίσει να αναδεικνύονται κάποιες ιδιότητες αυτών των αντικειμένων που αναμένεται να έχουν σημαντικές αστροφυσικές προεκτάσεις και ίσως μας βοηθήσουν να μετρήσουμε κάποια από τα χαρακτηριστικά τους που μέχρι τώρα ήταν πολύ δύσκολο να μετρηθούν.
Η πρόσφατη εργασία στην οποία παρουσιάζονται τα αποτελέσματα αυτά, δημοσιεύεται στο περιοδικό Physical Review Letters με τίτλο, Effectively universal behavior of rotating neutron stars in general relativity makes them even simpler than their Newtonian counterparts (Phys. Rev. Lett. 112, 121101 (2014), arXiv:1311.5508), και σε γενικές γραμμές η εικόνα που φαίνεται να προκύπτει περιγράφεται περιληπτικά σε αυτή την ανακοίνωση από τη SISSA.


Η εργασία αφορά την μελέτη της συμπεριφοράς των σχετικιστικών πολυπολικών ροπών του χωροχρόνου γύρω από τους αστέρες νετρονίων και αυτό που δείχνει είναι ότι αυτές οι ροπές δεν φαίνεται να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και φαίνεται να υπάρχει μια σχέση που συνδέει τις ροπές ανώτερης τάξης με τις πρώτες μη μηδενικές ροπές, και ταυτόχρονα φαίνεται ότι η σχέση που συνδέει τις ροπές μεταξύ τους είναι σχεδόν ανεξάρτητη από την καταστατική εξίσωση που επιλέγει κανείς για να περιγράψει την πυρηνική ύλη από την οποία αποτελείται ο αστέρας νετρονίων.
Αλλά ας τα πάρουμε με τη σειρά.

==== No-Hair Theorem ====

Το no-hair theorem για τις μαύρες τρύπες αυτό που λέει ουσιαστικά είναι ότι οι ιδιότητες τους, δηλαδή κατά βάση οι ιδιότητες του χωροχρόνου, εξαρτώνται από λίγες βασικές παραμέτρους και όλες οι άλλες ιδιότητες που μπορεί να σχετίζονταν αρχικά με την ύλη από της οποίας την κατάρρευση προέκυψε η μαύρη τρύπα, χάνονται μετά το σχηματισμό της. Γενικά, οι βασικές αυτές παράμετροι είναι η μάζα της μαύρης τρύπας, η στροφορμή της και το φορτίο που μπορεί να έχει, και τίποτα άλλο (no-hair). Σε αστροφυσικό επίπεδο, το φορτίο είναι γενικά μικρού ενδιαφέροντος, οπότε ασχολούμαστε ουσιαστικά μόνο με τις δύο πρώτες, δηλαδή τη μάζα και τη στροφορμή. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ιδιότητες μιας μαύρης τρύπας εξαρτώνται τελικά μόνο από τη μάζα της και την στροφορμή της.


==== Σχετικιστικές πολυπολικές ροπές ====

Τις πολυπολικές ροπές μπορεί να τις έχει ακούσει κανείς στον ηλεκτρομαγνητισμό, όπου μιλάμε για το πολυπολικό ανάπτυγμα του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου. Στην ουσία το πολυπολικό ανάπτυγμα είναι ένας τρόπος για να γράψουμε ένα περίπλοκο πεδίο που έχει προκύψει από μια περίπλοκη κατανομή φορτίου ή ρεύματος σαν συνδυασμό πιο θεμελιωδών συνιστωσών.
Στον ηλεκτρομαγνητισμό τα πράγματα είναι σχετικά απλά, γιατί ισχύει η αρχή της επαλληλίας και τα πράγματα είναι γραμμικά και έτσι όταν προσθέτει κανείς δύο λύσεις των εξισώσεων, αυτό που παίρνει είναι και πάλι λύση που σημαίνει ότι τελικά μπορεί κανείς με πολύ καθαρό τρόπο να ξεχωρίσει αυτές τις θεμελιώδεις συνιστώσες. Στην βαρύτητα τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα.

Οι εξισώσεις της γενικής σχετικότητας είναι μη γραμμικές και δεν μπορεί κανείς να φτιάχνει λύσεις των εξισώσεων απλά προσθέτοντας άλλες λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να κάνει κανείς ακριβώς την ίδια δουλειά που κάνει στον ηλεκτρομαγνητισμό. Παρόλα αυτά υπάρχει τρόπος να ορισθούν Σχετικιστικές πολυπολικές ροπές οι οποίες είναι τελικά οι σχετικιστικές γενικεύσεις των ηλεκτρομαγνητικών ροπών.
Έτσι, ένας δεδομένος χωρόχρονος μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα φάσμα πολυπολικών ροπών. Για παράδειγμα, όταν έχουμε έναν σφαιρικά συμμετρικό χωρόχρονο (την γεωμετρία Schwarzschild για παράδειγμα) που δημιουργείται γύρω από έναν αστέρα που δεν περιστρέφεται, τότε αυτός ο χωρόχρονος χαρακτηρίζεται από μία μόνο ροπή, το μονόπολο, δηλαδή τη μάζα του αστέρα. Επειδή ή βαρύτητα στη γενική σχετικότητα έχει πολλές ομοιότητες με τον ηλεκτρομαγνητισμό, στη σχετικότητα έχουμε δύο είδη ροπών, τις ροπές μάζας που είναι τα ανάλογα των ροπών του ηλεκτρικού πεδίου και έχουμε και τις ροπές της στροφορμής που είναι τα ανάλογα των μαγνητικών ροπών που δημιουργούνται από ρεύματα (στη Νευτώνεια βαρύτητα έχουμε μόνο ροπές μάζας γιατί η Νευτώνεια βαρύτητα είναι σαν την ηλεκτροστατική). Έτσι, αν έχουμε μία περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα, δηλαδή μια μαύρη τρύπα τύπου Kerr, τότε θα έχουμε τη μάζα της μαύρης τρύπας, το μονόπολο, και θα έχουμε και την στροφορμή της μαύρης τρύπας, που είναι το δίπολο της περιστροφής και αντιστοιχεί ας πούμε στο μαγνητικό δίπολο που δημιουργεί ένα κυκλικό ρεύμα. Αλλά εξαιτίας της μη γραμμικότητας της βαρύτητας στη γενική σχετικότητα, οι ροπές δεν τελειώνουν με τη μάζα και τη στροφορμή.
Ο χωροχρόνος της μαύρης τρύπας τύπου Kerr έχει ένα άπειρο φάσμα από πολυπολικές ροπές, οι οποίες όμως εξαρτώνται μόνο από δύο παραμέτρους, την μάζα $$\reverse\opaque M $$ και την στροφορμή $$\reverse\opaque J$$. Έτσι, αν ορίσουμε την παράμετρο του Kerr, $$\reverse\opaque a\equiv J/M $$, οι ροπές της περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας είναι,
$$\reverse\opaque P_n=(ia)^n M$$,
όπου οι πραγματικές ροπές αντιστοιχούν στις ροπές της μάζας (που συμβολίζονται και ως $$\reverse\opaque M_n$$) και οι φανταστικές ροπές αντιστοιχούν στις ροπές της περιστροφής (που συμβολίζονται και ως $$\reverse\opaque S_n$$). Το γεγονός ότι όλες οι ροπές εξαρτώνται μόνο από την μάζα και τη στροφορμή είναι ουσιαστικά άλλη μία έκφανση του no-hair theorem για τις περιστρεφόμενες μαύρες τρύπες. Έτσι, οι πρώτες μη μηδενικές ροπές μιας περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας θα είναι,
$$\reverse\opaque M_0=M$$,
$$\reverse\opaque S_1= aM$$,
$$\reverse\opaque M_2= -a^2 M$$,
$$\reverse\opaque S_3= -a^3 M$$,
$$\reverse\opaque M_4= a^4 M$$,
$$\reverse\opaque S_5= a^5 M$$, κλπ...


==== Σχετικιστικές ροπές των αστέρων νετρονίων ====

Και ερχόμαστε τώρα στους αστέρες νετρονίων και τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στην εργασία.

Οι αστέρες νετρονίων είναι συνήθως το αποτέλεσμα της κατάρρευσης ενός άστρου, που συμβαίνει όταν αυτό έχει πλέον εξαντλήσει όλο το πυρηνικό καύσιμο στο εσωτερικό του, με αποτέλεσμα η πίεση στο εσωτερικό του να μην μπορεί πια να αντισταθεί στην βαρύτητα. Το αποτέλεσμα της κατάρρευσης είναι κάποια στιγμή τα εξωτερικά στρώματα του άστρου να εκραγούν ως ένα θεαματικό supernova, ενώ ο πυρήνας του άστρου συμπιέζεται σε τέτοιο βαθμό που τα ηλεκτρόνια αρχίζουν να ενώνονται με τα πρωτόνια σχηματίζοντας νετρόνια, ώσπου το τελικό αντικείμενο να είναι μία υπέρ συμπαγής σφαίρα που αποτελείται κυρίως από νετρόνια και έχει ακτίνα της τάξης των 10km. Ένας αστέρας νετρονίων με λίγα λόγια, είναι σαν ένας τεράστιος ατομικός πυρήνας, όπου η δύναμη που τον συγκρατεί και τον διαμορφώνει είναι η δύναμη της βαρύτητας.

Για να περιγράψει λοιπόν κανείς έναν αστέρα νετρονίων και το χωροχρόνο γύρω από αυτόν, χρειάζεται να λύσεις τις εξισώσεις πεδίου της γενικής σχετικότητας, οι οποίες περιγράφουν το πως διαμορφώνεται η γεωμετρία και άρα η βαρύτητα από την ύλη, τις σχετικιστικές υδροδυναμικές εξισώσεις, οι οποίες περιγράφουν το πως κινείται αυτή η ύλη, δηλαδή το ρευστό από το οποίο αποτελείται ο αστέρας, και τέλος χρειάζεται και μια καταστατική εξίσωση για την ύλη, η οποία έχει τις πληροφορίες για τις θερμοδυναμικές ιδιότητες του υλικού από το οποίο αποτελείται ο αστέρας και πιο συγκεκριμένα περιγράφει το πως συμπεριφέρεται η πίεση του ρευστού δεδομένης της πυκνότητάς του. Το σύνολο λοιπών αυτών των εξισώσεων πρέπει να λυθεί παντού, μέσα στο άστρο και έξω από αυτό, για να πάρει κανείς τελικά την περιγραφή της δομής του αστέρα νετρονίων και του χωροχρόνου γύρω από αυτόν.

Το σύστημα λοιπόν αυτών των εξισώσεων είναι αρκετά περίπλοκο όταν μιλάμε για περιστρεφόμενους αστέρες νετρονίων και η λύση του μπορεί να γίνει μόνο με αριθμητικές μεθόδους. Πέρα όμως από την περιπλοκότητα των εξισώσεων πεδίου και των εξισώσεων της υδροδυναμικής, υπάρχει και μία ακόμα δυσκολία στο όλο πρόβλημα, και αυτή είναι ότι η καταστατική εξίσωση της ύλης στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων, δεν είναι πολύ καλά γνωστή.

Στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων, υπάρχουν περιοχές όπου η πυκνότητα ξεπερνά την πυκνότητα που βρίσκει κανείς στο εσωτερικό των ατομικών πυρήνων και οι οι ιδιότητες της ύλης σε αυτές τις πυκνότητες δεν έχει διερευνηθεί ακόμα επαρκώς στο εργαστήριο, ενώ ακόμα και η θεωρητική περιγραφή είναι αρκετά δύσκολη και περίπλοκη. Ένας από τους στόχους του LHC είναι να διερευνήσει τις ιδιότητες της ύλης κοντά σε τέτοιες πυκνότητες. Έτσι λοιπόν, με βάση διάφορα θεωρητικά μοντέλα, υπάρχει ένα πλήθος από καταστατικές εξισώσεις που έχουν προταθεί για να περιγράψουν το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων. Και αυτή η ποικιλία έχει ως αποτέλεσμα αρκετή αβεβαιότητα στις μακροσκοπικές ιδιότητες των αστέρων νετρονίων, όπως είναι η μάζα τους και η ακτίνα τους για παράδειγμα.

Το παραπάνω σχήμα δείχνει αυτό ακριβώς. Οι διαφορετικές καμπύλες αντιστοιχούν σε οικογένειες μη περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων, οι οποίες έχουν κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας διαφορετικές ρεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις, όπου αυτό που αλλάζει κατά μήκος της κάθε καμπύλης είναι η πυκνότητα του υλικού στο κέντρο του αστέρα νετρονίων. Βλέπουμε λοιπόν ότι οι διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις οδηγούν σε άστρα με διαφορετικές μάζες και ακτίνες (ο οριζόντιος άξονας είναι η ακτίνα σε χιλιόμετρα και ο κατακόρυφος είναι η μάζα σε μάζες Ήλιου).

Από το παραπάνω σχήμα φαίνεται ακόμα ότι μια πιθανή μέτρηση της μάζας και της ακτίνας αρκετών αστέρων νετρονίων, θα μπορούσαν να μας δώσουν μια εκτίμηση για το ποια ή ποιες καταστατικές εξισώσεις από αυτές που έχουν προταθεί, είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα και μπορεί να περιγράψει με καλύτερη ακρίβεια την ύλη στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων.

Ας επιστρέψουμε όμως στην κατασκευή των αστέρων νετρονίων. Όπως είπαμε παραπάνω, αυτό που πρέπει να κάνει κανείς είναι να λύσει τις εξισώσεις της βαρύτητας (εξισώσεις πεδίου) και τις εξισώσεις του ρευστού για μια δεδομένη καταστατική εξίσωση, για να πάρει τελικά έναν αστέρα νετρονίων που να έχει κάποια δεδομένα χαρακτηριστικά (μάζα και περιστροφή). Από την όλη διαδικασία αυτό που παίρνει κανείς τελικά είναι το ποια είναι η κατανομή της ύλης μέσα στον αστέρα και το ποια είναι η γεωμετρία του χωροχρόνου τόσο μέσα όσο και έξω από τον αστέρα.

(Το σχήμα δείχνει την κατανομή της πυκνότητας ενός γρήγορα περιστρεφόμενου αστέρα νετρονίων. Ο αστέρας είναι πεπλατυσμένος λόγω περιστροφής.)


Όπως συζητήσαμε και παραπάνω, ο χωροχρόνος γύρω από τον αστέρα νετρονίων, μπορεί να χαρακτηριστεί με βάση τις σχετικιστικές πολυπολικές ροπές. Και εδώ αρχίζουν να συμβαίνουν τα ενδιαφέροντα πράγματα. Αν υπολογίσει κανείς τις πρώτες πολυπολικές ροπές για τον χωροχρόνο γύρω από τον αστέρα νετρονίων, θα παρατηρήσει ότι οι ροπές έχουν την παρακάτω μορφή,
$$\reverse\opaque M_0=M$$,
$$\reverse\opaque S_1= aM$$,
$$\reverse\opaque M_2= -\alpha(EOS) a^2 M$$,
$$\reverse\opaque S_3= -\beta(EOS) a^3 M$$,
δηλαδή συμπεριφέρονται σαν τις ροπές μιας περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας, με τη διαφορά ότι υπάρχουν οι παράμετροι α και β που είναι μεγαλύτεροι της μονάδας, σε αντίθεση με τις μαύρες τρύπες όπου είναι 1. Αυτή η ιδιότητα των ροπών των αστέρων νετρονίων είχε παρατηρηθεί παλαιότερα για το $$\reverse\opaque M_2$$ μόνο και πιο πρόσφατα παρατηρήθηκε και για το οκτάπολο της περιστροφής $$\reverse\opaque S_3$$ [PRL 108, 231104 (2012)].
Το γεγονός ότι οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές των αστέρων νετρονίων συμπεριφέρονται ως προς την περιστροφή με τον ίδιο τρόπο όπως οι αντίστοιχες ροπές των περιστρεφόμενων μελανών οπών είναι κάτι που δεν ήταν αναμενόμενο. Στη Νευτώνεια βαρύτητα και για την περίπτωση τουλάχιστον των σφαιροειδών Maclaurin για τα οποία έχουμε αναλυτικές εκφράσεις, αν και στο όριο της αργής περιστροφής παρατηρείται αυτή η συμπεριφορά, όσο αυξάνει η περιστροφή η εικόνα αρχίζει και διαφοροποιείται.

Τα πράγματα όμως γίνονται και πιο ενδιαφέροντα.


==== Συσχέτιση των ροπών ανεξάρτητη της καταστατικής ====

Όπως είπαμε και παραπάνω, υπάρχει αρκετή αβεβαιότητα ως προς το ποια είναι η "σωστή" καταστατική που περιγράφει το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων. Και αυτή η αβεβαιότητα μεταφράζεται σε μια αρκετά μεγάλη διαφοροποίηση από καταστατική σε καταστατική των εξωτερικών ιδιοτήτων ενός αστέρα νετρονίων. Και αυτό με τη σειρά του δημιουργεί πρόβλημα στην μοντελοποίηση των αστέρων νετρονίων, όπως όταν θα θέλαμε για παράδειγμα να τους χρησιμοποιήσουμε ως εργαστήρια ισχυρής βαρύτητας προκειμένου να ελέγξουμε τις προβλέψεις της θεωρίας της Σχετικότητας. Η μέχρι τώρα κατάσταση λοιπόν δεν καλλιεργούσε και πολλές ελπίδες ως προς την χρήση των αστέρων νετρονίων για τέτοιες εφαρμογές.

Από ότι φαίνεται όμως η κατάσταση δεν είναι τόσο τραγική και αυτό που δείχνει η συγκεκριμένη εργασία που δημοσιεύεται στο Phys.Rev.Lett. είναι ότι τελικά φαίνεται να υπάρχει τρόπος να παρακαμφθούν οι ιδιαιτερότητες των καταστατικών εξισώσεων και τα αστέρια νετρονίων να περιγραφούν, ως προς τις κατάλληλες παραμέτρους, με έναν ενιαίο τρόπο. Το κλειδί είναι και πάλι οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές.

Αυτό που συμβαίνει λοιπόν είναι ότι, εκτός από το γεγονός ότι οι πολυπολικές ροπές έχουν την απλή μορφή που έχουν και οι ροπές των μελανών οπών, επιπλέον οι συντελεστές α,β που εμφανίζονται στη σχέση των ροπών με την περιστροφή δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και όχι μόνο αυτό οι σχέσεις που τους συνδέουν είναι ανεξάρτητες από την καταστατική εξίσωση που χρησιμοποιεί κανείς. Πιο συγκεκριμένα, η εργασία δείχνει ότι οι συντελεστές α και β συνδέονται με μια σχέση της μορφής,
$$\reverse\opaque \sqrt[3]{\beta}\simeq B \left(\sqrt{\alpha}\right)^{2/3}$$,
όπου ο συντελεστής Β είναι ο ίδιος για όλες τις ρεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή των αστέρων νετρονίων. Αυτό μπορεί να το δει κανείς στο παρακάτω σχήμα.

Τα σημεία που φαίνονται στο σχήμα είναι τα ζευγάρια τιμών των παραμέτρων για κάθε άστρο που κατασκευάστηκε με τις διάφορες καταστατικές και για διάφορες περιστροφές. Το θεαματικό αποτέλεσμα είναι ότι η σχέση φαίνεται να είναι ανεξάρτητη της περιστροφής καταρχήν και κατά δεύτερο φαίνεται να είναι ανεξάρτητη της καταστατικής.

Το αποτέλεσμα αυτό σημαίνει ότι επί της ουσίας μπορεί να μιλήσει κανείς για μια περιγραφή που δεν εξαρτάται από την ακριβή γνώση μας για την καταστατική εξίσωση, η οποία είναι ο μεγάλος άγνωστος αυτή τη στιγμή.

Η παραπάνω ιδιότητα των αστέρων νετρονίων μπορεί να έχει πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Για αρχή, επειδή οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές είναι παράμετροι που μπαίνουν στην περιγραφή του χωροχρόνου γύρω από τους αστέρες νετρονίων (Mon. Not. R. Astron. Soc. 429, 3007-3024 (2013)), το γεγονός ότι δεν είναι όλες αυτές οι παράμετροι ανεξάρτητες σημαίνει ότι μπορεί να φτιάξει κανείς χωρόχρονους για τους αστέρες νετρονίων που να εξαρτώνται στην πραγματικότητα από λιγότερες παραμέτρους. Επιπλέον, το ότι η σχέση ανάμεσα στα πολύπολα είναι ανεξάρτητη της καταστατικής εξίσωσης, σημαίνει ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει έναν χωρόχρονο για το εξωτερικό των αστέρων νετρονίων που και αυτός να είναι ανεξάρτητος της καταστατικής εξίσωσης. Αυτό μπορεί να έχει εφαρμογή στην μελέτη αστροφυσικών διαδικασιών στο περιβάλλον των αστέρων νετρονίων με τρόπο που να μην εξαρτάται από την καταστατική, παρακάμπτοντας έτσι αυτή την άγνωστη ποσότητα που μέχρι τώρα είναι από τους μεγαλύτερους παράγοντες αβεβαιότητας στη μελέτη αυτών των φαινομένων (ο άλλος είναι το μαγνητικό πεδίο).

Μια άλλη εφαρμογή, μπορεί να είναι ο έλεγχος εναλλακτικών θεωριών βαρύτητας. Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν στη γενική σχετικότητα. Κανείς όμως δεν μπορεί να πει ότι θα πρέπει να ισχύουν και στις εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας που μελετώνται σήμερα. Οπότε, μια ενδιαφέρουσα προοπτική είναι να ψάξει κανείς αν παρόμοιες σχέσεις ισχύουν και σε άλλες θεωρίες βαρύτητας. Αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις, τότε μια πιθανή μέτρηση των πρώτων πολυπόλων θα μπορούσε να μας υποδείξει ποια θεωρία βαρύτητας είναι η σωστή.

Εδώ πρέπει να αναφέρουμε ότι τα αποτελέσματα της εργασίας στο Phys.Rev.Lett. έχουν ήδη επεκταθεί. Στην εργασία, "No-Hair Relations for Neutron Stars and Quark Stars: Relativistic Results" (arXiv:1403.6243 [gr-qc]), παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και για την επόμενη πολυπολική ροπή, το $$\reverse\opaque M_4$$, η οποία φαίνεται να ακολουθεί την αντίστοιχη συμπεριφορά με το $$\reverse\opaque S_3$$. Συγκεκριμένα έχουμε ότι,
$$\reverse\opaque M_4= \gamma(EOS) a^4 M$$,
ενώ και σε αυτή την περίπτωση ο συντελεστής γ ακολουθεί μια σχέση περίπου της μορφής,
$$\reverse\opaque \sqrt[4]{\gamma}\simeq K \left(\sqrt{\alpha}\right)^{1}$$,
η οποία είναι η ίδια για όλες τις καταστατικές (όπου εδώ μπαίνουν στο παιχνίδι και τα αστέρια που αποτελούνται από quarks). Το παρακάτω σχήμα δείχνει μαζί σε λογαριθμική κλίμακα τις καμπύλες που ακολουθούν οι παράμετροι γ και β ως προς την παράμετρο α.

Οι σχέσεις αυτές ανάμεσα στους συντελεστές α,β και γ, μπορούν να εκφραστούν και ως σχέσεις ανάμεσα στα πολύπολα απευθείας. Έτσι θα έχουμε ότι,
$$\reverse\opaque S_3 \simeq M_2 S_1 M^{-1}$$, και
$$\reverse\opaque M_4 \simeq (M_2)^2 M^{-1}$$,
που είναι και ο λόγος για τον οποίο γίνεται αναφορά σε "No-Hair Relations" στον τίτλο της εργασίας, η ομοιότητα δηλαδή με τις αντίστοιχες σχέσεις για τις μαύρες τρύπες (όπου εδώ όμως παίζει και το τετράπολο εκτός από την στροφορμή). Στην τελευταία αυτή εργασία γίνεται και περαιτέρω συζήτηση της συμπεριφοράς αυτών των σχετικιστικών σχέσεων με κάποιες αντίστοιχες Νευτώνειες που μπορεί να υπολογίσει κανείς για Νευτώνεια άστρα.


==== Μέτρηση της καταστατικής εξίσωσης ====

Σε όλα τα παραπάνω, ο κοινός τόπος είναι ότι, με την κατάλληλη επιλογή παραμέτρων μπορεί να βγει η καταστατική εξίσωση από το παιχνίδι. Η εργασία στο Phys.Rev.Lett. κλείνει όμως και με μια ενδιαφέρουσα προοπτική που προκύπτει από την όλη διερεύνηση.

Μπορεί οι παράμετροι α,β και γ να σχετίζονται μεταξύ τους με τρόπο ανεξάρτητο της καταστατικής, οι τιμές που παίρνουν οι πολυπολικές ροπές όμως (το μέτρο τους, το μέγεθός τους) δεν είναι ανεξάρτητο. Και αυτό που προκύπτει συγκεκριμένα είναι ότι αν μετρήσει κανείς για παράδειγμα τις τρεις πρώτες ροπές, δηλαδή την μάζα, την στροφορμή και το τετράπολο της μάζας, τότε μπορεί να ξεχωρίσει (ανάλογα με την ακρίβεια που έχει) τις διαφορετικές καταστατικές. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αυτό που βλέπουμε στο σχήμα είναι τις διαφορετικές επιφάνειες που σχηματίζουν οι διαφορετικές καταστατικές (στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι τρεις οι καταστατικές) στον χώρο των παραμέτρων, μάζα, στροφορμή ( j ) και τετράοπολο (ρίζα του α). Επειδή λοιπόν κάθε καταστατική σχηματίζει μια ξεχωριστή επιφάνεια, ουσιαστικά με διάφορες μετρήσεις των πολυπόλων των αστέρων νετρονίων θεωρητικά θα μπορούσαμε να δούμε ποια είναι η επιφάνεια που διαγράφεται σε αυτό το χώρο και άρα να δούμε ποια είναι τελικά η καταστατική εξίσωση των αστέρων νετρονίων.

Εν κατακλείδι, η προοπτική που ανοίγεται με λίγα λόγια είναι διπλή, έλεγχος της βαρύτητας από τη μία και μέτρηση της καταστατικής εξίσωσης από την άλλη.

Ποιος θυμάται τον Δημοσθένη Καζάνα;

Την ίδια εποχή που έγραφε και κατέθετε την εργασία του για τον πληθωρισμό ο Alan Guth (1980-1981), υπήρχαν και άλλοι ερευνητές που είχαν ανεξάρτητα την ίδια ιδέα.

Ένας από αυτούς ήταν και ο Δημοσθένης Καζάνας με την εργασία του για την δυναμική που εισήγαγε στην εξέλιξη του σύμπαντος το αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας του πεδίου Higgs (ApJ 1980).

It is shown that the presence of a phase transition early in the history of the universe, associated with spontaneous symmetry breaking (believed to take place at very high temperatures at which the various fundamental interactions unify), significantly modifies its dynamics and evolution. This is due to the energy 'pumping' during the phase transition from the vacuum to the substance, rather than the gravitating effects of the vacuum. The expansion law of the universe then differs substantially from the relation considered so far for the very early time expansion. In particular it is shown that under certain conditions this expansion law is exponential. It is further argued that under reasonable assumptions for the mass of the associated Higgs boson this expansion stage could last long enough to potentially account for the observed isotropy of the universe.

Ο Δημοσθένης Καζάνας είναι ένας από τους πατέρες του πληθωρισμού, ακόμα και αν δεν έχει γίνει διάσημος γι' αυτό. Στην Ελλάδα τουλάχιστον, μάλλον δεν τον γνωρίζει κανένας.

Αναρωτιέμαι, θα βρεθεί κανένας να πάρει συνέντευξη από το Δημοσθένη Καζάνα; Ρητορικό το ερώτημα...

Τα αποτελέσματα του BICEP2

Από ότι φαίνεται, θα υπάρξει μια πρώτη παρουσίαση των αποτελεσμάτων του BICEP2, αμέσως πριν την συνέντευξη τύπου.

Dear friends and colleagues,

We invite you to join us tomorrow (Monday, 17 March) for a special webcast presenting the first results from the BICEP2 CMB telescope. The webcast will begin with a presentation for scientists 10:45-11:30 EDT, followed by a news conference 12:00-1:00 EDT.

You can join the webcast from the link at http://www.cfa.harvard.edu/news/news_conferences.html.

Papers and data products will be available at 10:45 EDT from http://bicepkeck.org.

We apologize for any duplicate copies of this notice, and would be grateful if you would help share this beyond our limited lists to any colleagues who may be interested within our CMB and broader science communities.

thank you,
John Kovac, Clem Pryke, Jamie Bock, Chao-Lin Kuo

on behalf of
The BICEP2 Collaboration

Οπώτε, όποιος ενδιαφέρεται για τα δεδομένα, μπορεί να δει την παρουσίαση που ξεκινά 1 ώρα και 15 λεπτά πιο νωρίς, ενώ θα μπορεί να δει τις σχετικές εργασίες από τη σελίδα του BICEP2 από την στιγμή της έναρξης της ομιλίας και μετά.

Update:

Figure 13: Indirect constraints on r from CMB temperature spectrum measurements relax in the context of various model extensions. Shown here is one example, following Planck Collaboration XVI (2013) Figure 23, where tensors and running of the scalar spectral index are added to the base ΛCDM model. The contours show the resulting 68% and 95% confidence regions for r and the scalar spectral index ns when also allowing running. The red contours are for the “Planck+WP+highL” data combination, which for this model extension gives a 95% bound r < 0.26 (Planck Collaboration XVI 2013). The blue contours add the BICEP2 constraint on r shown in the center panel of Figure 10. See the text for further details.

Περισσότερα στο Résonaances, και στο, First Direct Evidence of Cosmic Inflation.

Ο απόηχος του Πληθωρισμού...

Εδώ και 2-3 μέρες υπάρχει μια έντονη κινητικότητα στην επιστημονική κοινότητα. Η όλη αναταραχή περιστρέφεται γύρω από μια επικείμενη ανακοίνωση που θα πραγματοποιηθεί τη Δευτέρα το απόγευμα σε μια συνέντευξη τύπου που οργανώνει το Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics (CfA). Οι φήμες που κυκλοφορούν είναι διάφορες, αλλά αυτό που φαίνεται να επικρατεί ως πιθανό περιεχόμενο της ανακοίνωσης είναι ότι θα ανακοινωθεί η μέτρηση της συνιστώσας της πόλωσης της μικροκυματικής ακτινοβολίας υποβάθρου (CMB) που οφείλεται στα βαρυτικά κύματα που παράχθηκαν κατά την φάση της Πληθωρισμικής διαστολής του σύμπαντος. Επειδή η όλη ιστορία έχει να κάνει με βαρυτικά κύματα, το θέμα πλασάρεται και ως "πρώτη ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων", το οποίο όμως είναι εντελώς παραπλανητικό.

Η εικασία είναι λοιπόν ότι θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων του οργάνου BICEP (Background Imaging of Cosmic Extragalactic Polarization), το οποίο φημολογείται ότι μέτρησε το πόση είναι η συνιστώσα της πόλωσης που οφείλεται στα βαρυτικά κύματα που προκάλεσε ο Πληθωρισμός, το οποίο αναμένεται να βάλει αυστηρούς περιορισμούς στα διάφορα μοντέλα για το πως πραγματοποιήθηκε ο Πληθωρισμός (ενδιαφέρουσες λεπτομέρειες μπορεί να βρει κανείς στο Résonaances), τα οποία είχαν ήδη περιοριστεί αρκετά μετά τα πρώτα αποτελέσματα του Planck.

Τελευταίες φήμες λένε ότι στη συνέντευξη τύπου θα είναι παρόντες και οι Guth και Linde, από τους πρωτεργάτες της θεωρίας του Πληθωρισμού. Αν δεν κάνω λάθος, αυτή πρέπει να είναι η πρώτη μέτρηση μιας παραμέτρου που συνδέεται τόσο άμεσα με τις ιδιότητες της φάσης του Πληθωρισμού και θα είναι μια πραγματικά ενδιαφέρουσα εξέλιξη.

Υπομονή λοιπόν μέχρι τη Δευτέρα. Τώρα που το σκέφτομαι, η δεύτερη δεκαετία του 21ου αιώνα έχει μπει πολύ δυναμικά.

Has Hawking radiation been measured?

Yes...

It is argued that Hawking radiation has indeed been measured and shown to posses a thermal spectrum, as predicted. This contention is based on three separate legs. The first is that the essential physics of the Hawking process for black holes can be modelled in other physical systems. The second is the white hole horizons are the time inverse of black hole horizons, and thus the physics of both is the same. The third is that the quantum emission, which is the Hawking process, is completely determined by measurements of the classical parameters of a linear physical system. The experiment conducted in 2010 fulfills all of these requirements, and is thus a true measurement of Hawking radiation.

1, 2, 3.

Buco nero in vasca da bagno

Υδροδυναμικό ανάλογο περιστρεφόμενων μελανών οπών.

Υδράργυρος και Σχετικότητα

Σε τι οφείλεται το ότι ο Υδράργυρος έχει χαμηλό σημείο τύξης και είναι σε ρευστή κατάσταση σε συνθήκες δωματίου; Η απάντηση φαίνεται να είναι, στις σχετικιστικές διορθώσεις των ηλεκτρονίων του. Το παρακάτω βίντεο από το Periodic Table of Videos παρουσιάζει τα αποτελέσματα μιας πρόσφατης εργασίας πάνω στο θέμα:

Evidence for Low-Temperature Melting of Mercury owing to Relativity (Calvo, F., Pahl, E., Wormit, M. and Schwerdtfeger, P., Angew. Chem. Int. Ed., 52 (2013) 7583)
Abstract: An old problem solved: Monte Carlo simulations using the diatomic-in-molecule method derived from accurate ground- and excited-state relativistic calculations for Hg2 show that the melting temperature for bulk mercury is lowered by 105 K, which is due to relativistic effects.

Η ιστορία αυτή μου θύμισε μια παλαιότερη αντίστοιχη περίπτωση σχετικά με την ηλεκτρεγερτική δύναμη της μπαταρίας μολύβδου.

Nice...

PSR J0348+0432 Ένα διπλό σύστημα Pulsar/WD και ο έλεγχος της Βαρύτητας

Προχθές βγήκε στο Science ένα πολύ ενδιαφέρον άρθρο με μπόλικη ενδιαφέρουσα Αστροφυσική αλλά και προεκτάσεις πάνω στο θέμα της Βαρύτητας.

Το άρθρο έχει τίτλο, A Massive Pulsar in a Compact Relativistic Binary (Science, 26 April 2013, Vol: 340, Issue: 6131, το άρθρο μπορεί να το βρει κανείς και εδώ), και αντικείμενό του είναι ένα διπλό σύστημα που αποτελείται από τον pulsar J0348+0432, ο οποίος είναι ένας αστέρας νετρονίων με μάζα $$\reverse\opaque\small 2.01\pm 0.04 M_{\odot}$$ και περίοδο περιστροφής 39ms, και έναν λευκό νάνο, με μάζα $$\reverse\opaque\small 0.172\pm 0.003 M_{\odot}$$ και θερμοκρασία περίπου 10,120K, ο οποίος περιστρέφεται γύρω από τον αστέρα νετρονίων με περίοδο 2.46 ώρες.

Η φυσική που παίζει σε αυτό το σύστημα είναι ένας συνδυασμός όσων είχα πει στο θέμα με τον Κύκνο Χ-1 και αυτά που αφορούν τον έλεγχο της Γενικής Σχετικότητας με την βοήθεια του διπλού pulsar PSR J0737-3039A/B (στα οποία δεν είχα αναφερθεί και πολύ).

Το άρθρο είναι αρκετά καλογραμμένο και παρουσιάζει πολύ καλά τα αποτελέσματα με το σχετικό discussion.

Χαρακτηριστικά του συστήματος (Αστροφυσική)

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν. Ο pulsar J0348+0432 εντοπίστηκε με την βοήθεια του ράδιο-τηλεσκοπίου του Green Bank και η απόστασή του προσδιορίσθηκε από το timing των ραδιοπαλμών που ανίχνευσε το ραδιοτηλεσκόπιο. Συγκεκριμένα τα ραδιοσήματα όταν διαδίδονται στο μεσοαστρικό υλικό έχουν διαφορετική ταχύτητα διάδοσης ανάλογα με την συχνότητά τους, επειδή κατά βάση το μεσοαστρικό υλικό είναι γεμάτο με ελεύθερα ηλεκτρόνια, παρουσιάζουν δηλαδή διασπορά. Αυτή η διαφορά στην ταχύτητα δημιουργεί διαφορά και στους χρόνους άφιξης των σημάτων με διαφορετικές συχνότητες. Διορθώνοντας λοιπόν αυτές τις διαφορές, μπορεί κανείς να εκτιμήσει την απόσταση που έχουν διανύσει τα ραδισήματα. Με αυτό τον τρόπο εκτιμήθηκε ότι η απόσταση του PSR J0348+0432 είναι περίπου 2.1 kpc. Από τα ραδιοσήματα του pulsar υπολογίσθηκε και η περίοδος της ιδοπεριστροφής του αστέρα νετρονίων σε περίπου 39ms και η περίοδος περιστροφής του διπλού συστήματος σε περίπου 2.46 ώρες. Από τον προσδιορισμό της θέσης και της απόστασης οι ερευνητές έψαξαν και βρήκαν στον κατάλογο Sloan Digital Sky Survey τον συνοδό λευκό νάνο του αστέρα νετρονίων, η φωτομετρία του οποίου (μέγεθος και χρώμα) ήταν συνεπής με τα δεδομένα για την απόσταση από τον pulsar και με έναν λευκό νάνο χαμηλής μάζας και με πυρήνα από ήλιο.

Αφού εντοπίστηκε ο συνοδός λευκός νάνος, έγιναν φασματοσκοπικές μελέτες από τις οποίες συλλέχθηκαν τα φάσματα των γραμμών Balmer του Υδρογόνου που έχει στην ατμόσφαιρά του ο λευκός νάνος. Ένας λευκός νάνος όπως ο παραπάνω είναι το εξελικτικό υπόλειμμα ενός αστέρα ο οποίος έκαψε το υδρογόνο στον πυρήνα του, το οποίο μετατράπηκε σε ήλιο (He), έγινε ερυθρός γίγαντας και μετά κάπως έχασε τα εξωτερικά του στρώματα, ενώ ο πυρήνας του κατέρρευσε χωρίς να μπορέσει να ξεκινήσει ποτέ την καύση του ηλίου σε άνθρακα, λόγω της μικρής του μάζας. Εξαιτίας της κατάρρευσης ο πυρήνας του αστέρα αύξησε την θερμοκρασία του, ενώ τα ηλεκτρόνια του πυρήνα έφτασαν σε κατάσταση εκφυλισμού, δηλαδή άρχισαν να συμπεριφέρονται ως κβαντικό αέριο. Από την στιγμή που συμβαίνει αυτό ο πυρήνας υποστηρίζεται από την πίεση εκφυλισμού των ηλεκτρονίων και το αντικείμενο αυτό είναι πια αυτό που λέμε λευκός νάνος (αυτή η διαδικασία δεν η συνήθης διαδικασία που προκύπτουν οι λευκοί νάνοι και το συγκεκριμένο σύστημα ακουμπάει και θέματα αστρικής εξέλιξης).

Από τις γραμμές του υδρογόνου λοιπόν και την μετατόπιση Doppler που αυτές παρουσίαζαν, καθώς και από τις μεταβολές στους χρόνους άφιξης (πάλι λόγω Doppler) των ραδιοπαλμών του PSR J0348+0432, προσδιορίστηκαν οι τροχιακές ταχύτητες των δύο αντικειμένων στην μεταξύ τους κίνηση. Συγκεκριμένα βρέθηκε ότι $$\reverse\opaque\small K_{WD} =351\pm4 km/s$$ και $$\reverse\opaque\small K_{PSR} =30.008235\pm 0.000016 km/s$$. Αξίζει να προσέξει εδώ κανείς την διαφορά στην ακρίβεια για τα δύο αντικείμενα που προκύπτει από τις δύο διαφορετικές μεθόδους. Από τις ταχύτητες μπορεί κανείς να προσδιορίσει τον λόγο των μαζών των δύο σωμάτων, έχοντας τελικά $$\reverse\opaque\small q=M_{PSR}/M_{WD}=11.70\pm0.13$$.

Η φασματοσκοπία περιέχει και άλλη πληροφορία όμως. Έχοντας κανείς ένα μοντέλο για την ατμόσφαιρα του λευκού νάνου, μπορεί από τις γραμμές του υδρογόνου να προσδιορίζει την ενεργό θερμοκρασία της ατμόσφαιρας καθώς και την επιφανειακή βαρύτητα. Έτσι, κάνοντας fit τα φάσματα προσδιορίζεται ότι ο λευκός νάνος έχει $$\reverse\opaque\small T_{eff}=10,120 K$$ και επιφανειακή βαρύτητα $$\reverse\opaque\small \log_{10}(g(cm\,s^{-2})=6.03$$. Το fit για τις τροχιακές ταχύτητες (αριστερά) και τις γραμμές (δεξιά) μπορεί να το δει κανείς στο παρακάτω σχήμα,


(Στη λεζάντα του σχήματος μάλλον υπάρχει τυπογραφικό στην επιφανειακή βαρύτητα)

Η προσδιορισμένη ενεργός θερμοκρασία και η επιφανειακή βαρύτητα σε συνδυασμό με θεωρητικά μοντέλα για την δομή των λευκών νάνων μπορούν να μας δώσουν την μάζα και την ακτίνα του λευκού νάνου με αρκετά καλή ακρίβεια. Ο βασικός λόγος είναι ότι σε γενικές γραμμές οι λευκοί νάνοι είναι αρκετά απλά αντικείμενα με αρκετά καλά γνωστή καταστατική εξίσωση (κάτι το οποίο δεν μπορεί να το πει κανείς για τους αστέρες νετρονίων για παράδειγμα). Η μοναδική ουσιαστικά παράμετρος που δημιουργεί σημαντικές διαφοροποιήσεις στα χαρακτηριστικά του λευκού νάνου είναι η δομή που έχει το εξωτερικό του κέλυφος από υδρογόνο. Οι διαφοροποιήσεις όμως εμφανίζονται μόνο στους λευκούς νάνους με μάζα μεγαλύτερη από περίπου 0.2 ηλιακές μάζες. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως, έχουμε έναν λευκό νάνο με αρκετά χαμηλή μάζα που να επιτρέπει μια εκτίμηση σχετικά ανεξάρτητη από τις λεπτομέρειες του μοντέλου. Το αποτέλεσμα είναι η μάζα του λευκού νάνου να υπολογίζεται από την ενεργό θερμοκρασία και την επιφανειακή βαρύτητα σε $$\reverse\opaque\small M_{WD}=0.172\pm 0.003 M_{\odot}$$ και η ακτίνα σε περίπου $$\reverse\opaque\small R_{WD}=0.065 R_{\odot}$$. Τα αποτελέσματα αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα,



Ένα τελευταίο που προκύπτει από τις γραμμές στα φάσματα είναι ότι ο λευκός νάνος δεν φαίνεται να έχει σημαντική περιστροφή.

Αυτόματα η μέτρηση της μάζας του λευκού νάνου δίνει και την μάζα του αστέρα νετρονίων, η οποία προκύπτει να είναι τελικά $$\reverse\opaque\small M_{NS}= 2.01\pm 0.04 M_{\odot}$$. Με την μέτρηση αυτή, ο PSR J0348+0432 γίνεται ακόμα ένας αστέρας νετρονίων με μάζα λίγο μεγαλύτερη ή έστω στην περιοχή των 2 ηλιακών μαζών. Ο εντοπισμός τέτοιων αντικειμένων είναι πολύ σημαντικός για την φυσική των αστέρων νετρονίων, αφού θέτει περιορισμούς στις πιθανές καταστατικές εξισώσεις, καθώς δεν μπορούν όλες οι καταστατικές να δώσουν άστρα νετρονίων με μάζα περίπου ή μεγαλύτερη από 2 ηλιακές μάζες (What a Two Solar Mass Neutron Star Really Means).

Βαρυτική ακτινοβολία (Γενική Σχετικότητα)

Και εδώ ερχόμαστε στον έλεγχο της Γενικής Σχετικότητας. Η Σχετικότητα προβλέπει ότι ένα τέτοιο σύστημα θα πρέπει να εκπέμπει βαρυτική ακτινοβολία, η οποία δεδομένων των τροχιακών χαρακτηριστικών του συστήματος και των μαζών μπορεί να υπολογισθεί. Παρόμοια συστήματα έχουν παρατηρηθεί και στο παρελθόν, με πιο γνωστό το σύστημα Hulse–Taylor binary pulsar (το οποίο έδωσε ένα βραβείο Νόμπελ στους Russell Alan Hulse και Joseph Hooton Taylor), ενώ υπάρχει και το σύστημα του διπλού pulsar PSR J0737-3039A/B, τα οποία έχουν δώσει πολύ καλούς ελέγχους της Σχετικότητας. Τι το ιδιαίτερο έχει λοιπόν το συγκεκριμένο σύστημα; Η ιδιαιτερότητα βρίσκεται στον αστέρα νετρονίων με τις 2 ηλιακές μάζες. Τα δύο προηγούμενα συστήματα που ανέφερα αποτελούνται από αστέρες νετρονίων με μάζες στην περιοχή των 1.3-1.4 ηλιακών μαζών. Περιοχές όπου έχουμε ισχυρά βαρυτικά πεδία, αλλά όχι και όσο ισχυρά θα θέλαμε για να ελέγξουμε περαιτέρω τη βαρύτητα και ειδικά να ελέγξουμε κάποια από τα σενάρια που έχουμε για εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας όπως είναι για παράδειγμα οι θεωρίες που έχουν και βαθμωτά πεδία να αλληλεπιδρούν με το βαρυτικό πεδίο.

Σε πρώτη φάση λοιπόν, μπορεί να ελέγξει κανείς το κατά πόσο οι παρατηρήσεις για το σύστημα των PSR J0348+0432/WD είναι συμβατές με τα αναμενόμενα από την Γενική Σχετικότητα, δηλαδή το κατά πόσο η απώλεια ενέργειας από βαρυτική ακτινοβολία για το συγκεκριμένο σύστημα συμπίπτει με της προβλέψεις της Σχετικότητας. Αυτό μπορεί να το δει κανείς από την μεταβολή στην τροχιακή περίοδο του συστήματος, καθώς ο αστέρας νετρονίων και ο λευκός νάνος πλησιάζουν σε όλο και κοντινότερες τροχιές εξαιτίας των απωλειών από την ακτινοβολία. Και η απάντηση είναι ότι συμπίπτει, με τον λόγο της παρατηρούμενης μεταβολής στην περίοδο του συστήματος προς την μεταβολή που προβλέπει η σχετικότητα να είναι $$\reverse\opaque\small \dot{P}_b/\dot{P}_b^{GR}=1.05\pm0.18$$. το αποτέλεσμα αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου βλέπουμε την καμπύλη για τη μάζα του λευκού νάνου, την καμπύλη για τον λόγο της μάζας του αστέρα νετρονίων προς την μάζα του λευκού νάνου (q) και την καμπύλη που προβλέπει η σχετικότητα για το ρυθμό μεταβολής της περιόδου $$\reverse\opaque\small (\dot{P})$$, να περνάνε από το ίδιο σημείο.



Πέρα όμως από το ότι επιβεβαιώνει όσα προβλέπει η Σχετικότητα για την εκπομπή βαρυτικής ακτινοβολίας, το ερώτημα είναι τι μας λέει για τις εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας;

Εναλλακτικές θεωρίες Βαρύτητας (scalar tensor gravity)

Σχεδόν από την διατύπωση της Γενικής Σχετικότητας, ξεκίνησαν να προτείνονται θεωρίες που ήταν ή επεκτάσεις της Σχετικότητας ή τροποποιήσεις της. Η σχετικότητα θα μπορούσε να πει κανείς ότι έχει δύο βασικά στοιχεία στη δομή της.

Το πρώτο είναι το πως συμπεριφέρεται η ύλη μέσα στο βαρυτικό πεδίο, το οποίο στη γλώσσα της σχετικότητας μεταφράζεται στο πως αλληλεπιδρά η γεωμετρία με την ύλη και το πως οδηγεί η γεωμετρία την κίνησή της ή διαφορετικά, ποια μετρική βλέπει η ύλη για να κινηθεί. Αυτό το κομμάτι της σχετικότητας είναι που εμπεριέχει μέσα του την αρχή της ισοδυναμίας, δηλαδή το ότι κάθε υλικό σώμα κινείται με τον ίδιο τρόπο σε ένα δεδομένο βαρυτικό πεδίο ανεξάρτητα της σύστασής του (όλα τα σώματα πέφτουν με τον ίδιο τρόπο) και το ότι αν ένα σύστημα το βάλω να κινηθεί ακολουθώντας μια γεωδαισιακή τροχιά, τότε τα πειράματα που θα πραγματοποιήσω σε αυτό το σύστημα θα δίνουν αποτελέσματα συμβατά με την ειδική σχετικότητα, δηλαδή θα παρατηρώ συμπεριφορές σαν να βρίσκομαι σε κατάσταση όπου δεν υπάρχει βαρύτητα μέχρι ακρίβεια πρώτης τάξης (σε ανώτερη τάξη η μετρική του χώρου ξεφεύγει από το να είναι αυτή του χώρου Minkowski και οι διορθώσεις εξαρτώνται από τον τανυστή του Riemann και αποτελούν ουσιαστικά την μετουσίωση του ότι ο χωροχρόνος είναι πραγματικά καμπύλος).
Το δεύτερο είναι το πως συμμετέχει η ύλη (ή στη γλώσσα της θεωρίας πεδίου, τα διάφορα πεδία ύλης) στην διαμόρφωση της γεωμετρίας, δηλαδή με ποιο ακριβώς τρόπο συνδέονται στις εξισώσεις πεδίου η γεωμετρία με την ύλη (που προκύπτει από το πως συνδέονται στη δράση από την οποία παράγονται οι εξισώσεις πεδίου). Στην σχετικότητα λοιπόν, η δράση που περιέχει τα πεδία της ύλης μπορεί υπό μία έννοια να "χωριστεί" από την δράση που έχει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της θεωρίας. Τι σημαίνει αυτό όμως; Σημαίνει ότι το κομμάτι της δράσης που έχει τα πεδία της ύλης, περιέχει μόνο όρους που έχουν να κάνουν με το πως συνδέεται η μετρική με τα υλικά πεδία (από όπου προκύπτουν τα σχετικά με την αρχή της ισοδυναμίας που αναφέρω παραπάνω) ενώ το κομμάτι της δράσης που έχει να κάνει με την γεωμετρία έχει μόνο όρους που έχουν να κάνουν με την καμπυλότητα του χωροχρόνου και όχι όρους αλληλεπίδρασης της καμπυλότητας με πεδία.

Οι διάφορες εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας έρχονται να αλλάξουν αυτές τις συνθήκες, αλλάζοντας είτε το πως βλέπει η ύλη την γεωμετρία στην κίνησή της, είτε το πως διαμορφώνει η ύλη την γεωμετρία. Μια από τις πιο μεγάλες οικογένειες εναλλακτικών θεωριών είναι οι θεωρίες που έχουν και βαθμωτά πεδία τα οποία αλλάζουν το πως τα υλικά πεδία συνδέονται με την γεωμετρία. Η απλούστερη λοιπόν περίπτωση είναι αυτή όπου έχουμε ένα βαθμωτό πεδίο.
Μια εναλλακτική θεωρία βαρύτητας με ένα βαθμωτό πεδίο μπορεί να γραφεί σε μορφή τέτοια ώστε τελικά η θεωρία μας να συμπεριφέρεται σαν να έχουμε δύο μετρικές, μία μετρική που σχετίζεται με την καμπύλωση του χωροχρόνου και την κίνηση του βαθμωτού πεδίου και μία μετρική η οποία λέει στα υπόλοιπα υλικά πεδία πως να κινηθούν και η οποία εξαρτάται από το βαθμωτό πεδίο. Αν πούμε την μετρική που σχετίζεται με τη γεωμετρία $$\reverse\opaque\small g_{\mu\nu}^*$$ και την μετρική που λέει στην ύλη πως να κινηθεί $$\reverse\opaque\small g_{\mu\nu}$$, τότε οι δύο μετρικές σχετίζονται μέσω της εξίσωσης $$\reverse\opaque\small g_{\mu\nu}=A(\phi)^2g_{\mu\nu}^*$$, όπου το $$\reverse\opaque\small \phi$$ είναι το βαθμωτό πεδίο και $$\reverse\opaque\small A(\phi)$$ μια συνάρτηση αυτού του πεδίου που ονομάζεται συνάρτηση σύζευξης, η οποία σε γενικές γραμμές μπορεί να αναπτυχθεί ως $$\reverse\opaque\small \ln A(\phi)=\ln A(\phi_0)+\alpha_0 (\phi-\phi_0)+\frac{1}{2}\beta_0(\phi-\phi_0)^2+\ldots$$, όπου $$\reverse\opaque\small \phi_0$$ είναι κάποια ασυμπτωτική τιμή του βαθμωτού πεδίου και οι $$\reverse\opaque\small \alpha_0,\;\beta_0$$ είναι η σταθερά της γραμμικής και της τετραγωνικής σύζευξης αντιστοίχως του βαθμωτού πεδίου με την ύλη. Χρησιμοποιώντας λοιπόν αυτή την παραμετροποίηση μπορεί κανείς να περιγράψει όλα τα φαινόμενα που προκαλεί η θεωρία.

Μια τέτοια θεωρία μπορεί να εισάγει διαφοροποιήσεις στην κίνηση των σωμάτων σε σχέση με αυτά που προβλέπει η σχετικότητα, όπως είναι για παράδειγμα η μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή στο βαρυτικό πεδίο του Ήλιου ή η εκτροπή του φωτός σε ένα δεδομένο βαρυτικό πεδίο ή ακόμα μπορεί να έχει και effectively παραβιάσεις της αρχής της ισοδυναμίας ανάλογα με το πόσο ισχυρή είναι η ιδιοβαρύτητα ενός σώματος. Τα φαινόμενα αυτά μπορούν να ποσοτικοποιηθούν ως αποκλίσεις από την σχετικότητα με τη βοήθεια δύο μετα-νευτώνειων παραμέτρων όπως λέγονται, τα $$\reverse\opaque\small \gamma^{PPN}$$ και $$\reverse\opaque\small \beta^{PPN}$$, τα οποία στη σχετικότητα έχουν την τιμή $$\reverse\opaque\small \gamma^{PPN}=\beta^{PPN}=1$$. Αυτές οι μετα-νευτώνειες παράμετροι έχουν αρκετά ισχυρούς περιορισμούς από τα πειράματα στο ηλιακό σύστημα που επιβάλλουν οι αποκλίσεις τους από την μονάδα να είναι μικρότερες από 0.00001 για το $$\reverse\opaque\small \gamma^{PPN}$$ και μικρότερες από 0.001 για το $$\reverse\opaque\small \beta^{PPN}$$. Ο πρώτος περιορισμός περιορίζει αρκετά την παράμετρο $$\reverse\opaque\small \alpha_0$$ των θεωριών με ένα βαθμωτό πεδίο επειδή έχουμε τη σχέση $$\reverse\opaque\small \gamma^{PPN}-1=-2\frac{\alpha_0^2}{1+\alpha_0^2}$$, αλλά ο δεύτερος περιορισμός δεν μπορεί να περιορίσει το $$\reverse\opaque\small \beta_0$$ αφού έχουμε $$\reverse\opaque\small \beta^{PPN}-1=\frac{1}{2}\frac{\alpha_0\beta_0\alpha_0}{(1+\alpha_0^2)^2}$$. Με λίγα λόγια τα πειράματα στο ηλιακό σύστημα (στο ασθενές βαρυτικό πεδίο δηλαδή) περιορίζουν την γραμμική σύζευξη του βαθμωτού πεδίου με την ύλη αλλά όχι την τετραγωνική σύζευξη. Για να βάλει κανείς περιορισμούς και στην τετραγωνική σύζευξη θα πρέπει να πάει σε πιο ισχυρά βαρυτικά πεδία και εδώ έρχονται οι παρατηρήσεις των διπλών συστημάτων με αστέρες νετρονίων.

Στα διπλά συστήματα από συμπαγή αντικείμενα μπορούμε να έχουμε δύο ακόμα φαινόμενα που σχετίζονται με το βαθμωτό πεδίο. Το πρώτο φαινόμενο έχει να κάνει με την εκπομπή βαρυτικής ακτινοβολίας και την απώλεια ενέργειας στο διπλό σύστημα. Στη γενική σχετικότητα, η ενέργεια χάνεται ξεκινώντας με την εκπομπή τετραπολικής βαρυτικής ακτινοβολίας. Δεν υπάρχει ακτινοβολία σε χαμηλότερης τάξης πολύπολο, όπως έχουμε για παράδειγμα με τον ηλεκτρομαγνητισμό όπου υπάρχει και διπολική ακτινοβολία. Αν όμως έχουμε και ένα βαθμωτό πεδίο, τότε αυτό μπορεί να εκπέμψει και διπολική ακτινοβολία, με αποτέλεσμα το διπλό σύστημα να χάνει περισσότερη ενέργεια από ότι θα έχανε μόνο με την βαρυτική ακτινοβολία. Η εκπεμπόμενη διπολική ακτινοβολία εξαρτάται από την ενεργό γραμμική σύζευξη του βαθμωτού πεδίου με κάθε ένα από τα δύο σώματα που υπάρχουν στο διπλό σύστημα. Έτσι αν έχουμε τα σώματα Α και Β, για αυτά θα έχουμε τις ενεργές γραμμικές συζεύξεις $$\reverse\opaque\small \alpha_A$$ και $$\reverse\opaque\small \alpha_B$$ και η διπολική ακτινοβολία θα εξαρτάται από τη διαφορά τους στο τετράγωνο, $$\reverse\opaque\small (\alpha_A-\alpha_B)^2$$. Η τιμή όμως των ενεργών γραμμικών συζεύξεων $$\reverse\opaque\small \alpha_A$$ και $$\reverse\opaque\small \alpha_B$$ εξαρτάται από την ιδιοβαρύτητα του κάθε σώματος. Έτσι, ένα σώμα με πολύ ασθενή ιδιοβαρύτητα (όπως ο Ήλιος ή ένας πλανήτης) θα έχει $$\reverse\opaque\small \alpha_A=\alpha_0$$ που είναι η τιμή που έχουμε περιορίσει από τα πειράματα στο ηλιακό σύστημα. Αν από την άλλη το σώμα έχει ισχυρή ιδιοβαρύτητα, τότε η ενεργός γραμμική σύζευξη μπορεί να είναι $$\reverse\opaque\small \alpha_A\sim 1$$ και αυτό ακριβώς είναι το δεύτερο φαινόμενο που σχετίζεται με τα βαθμωτά πεδία και στην ουσία παραβιάζει την αρχή της ισοδυναμίας αφού οδηγεί σε διαφορετική συμπεριφορά ένα σώμα που έχει ισχυρή ιδιοβαρύτητα από ένα σώμα που έχει ασθενή ιδιοβαρύτητα. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται spontaneous scalarization και επιτρέπει στις θεωρίες βαρύτητας με βαθμωτά πεδία να έχουν συμπεριφορά κοντά στη Γενική Σχετικότητα σε ασθενή πεδία, αλλά να διαφέρουν δραματικά σε ισχυρά πεδία.

Και τώρα μπορεί να γίνει εμφανής η ιδιαιτερότητα που έχει το συγκεκριμένο διπλό σύστημα με τον PSR J0348+0432 και τον λευκό νάνο. Η πρώτη ιδιαιτερότητα αφορά το spontaneous scalarization το οποίο έχει προβλεφθεί για τους αστέρες νετρονίων. Το φαινόμενο αυτό συμβαίνει όταν η ιδιοβαρύτητα ξεπερνά κάποια τιμή, που για τους αστέρες νετρονίων εκτιμάται ότι βρίσκεται στην περιοχή των μαζών γύρω από τις $$\reverse\opaque\small 1.3 M_{\odot}$$. Τα διπλά συστήματα που αναφέρω παραπάνω, αποτελούνται όμως από αστέρες νετρονίων με μάζες κοντά σε αυτό το όριο οι οποίες εκτός αυτού είναι και συγκρίσιμες μεταξύ τους (τα δύο μέλη των συστημάτων αυτών είναι αστέρες νετρονίων με σχεδόν ίδιες μάζες). Αυτό σημαίνει ότι καταρχήν μπορεί το φαινόμενο του spontaneous scalarization να μην συμβαίνει σε αυτά τα συστήματα, οπότε να μην έχουμε τιμές για την γραμμική σύζευξη κοντά στην τιμή $$\reverse\opaque\small \alpha_0$$ ή ακόμα μπορεί να συμβαίνει σε κάποιο βαθμό, αλλά επειδή τα δύο σώματα του συστήματος έχουν παρόμοιες ιδιοβαρύτητες μπορεί οι ενεργές γραμμικές συζεύξεις να είναι οι ίδιες, το οποίο θα σήμαινε ότι τελικά δεν θα μπορούσαμε να έχουμε κάποιο παρατηρήσιμο αποτέλεσμα από διπολική ακτινοβολία για παράδειγμα, αφού αυτή εξαρτάται από την ποσότητα $$\reverse\opaque\small (\alpha_A-\alpha_B)^2$$. Με λίγα λόγια, το γεγονός ότι τα άλλα διπλά συστήματα αποτελούνται από μέλη με μικρή σχετικά μάζα και με ίδιες ιδιοβαρύτητες μας επέτρεπε μόνο περιορισμένο έλεγχο των εναλλακτικών θεωριών με βαθμωτά πεδία.
Αυτό το σύστημα όμως έχει την ιδιαιτερότητες καταρχήν να αποτελείται από έναν αστέρα νετρονίων και ένα λευκό νάνο των οποίων οι ιδιοβαρύτητες είναι πολύ διαφορετικές (του λευκού νάνου είναι ασήμαντη), πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να περιορίσει την διπολική ακτινοβολία η οποία στην συγκεκριμένη περίπτωση θα εξαρτάται από την ποσότητα $$\reverse\opaque\small (\alpha_{PSR}-\alpha_0)^2$$. Και πράγματι όπως είδαμε παραπάνω, η διπολική ακτινοβολία πρέπει να είναι σχεδόν μηδενική αφού η απώλεια ενέργειας συμπίπτει με την πρόβλεψη της σχετικότητας. Αυτόματα, αυτό σημαίνει ότι πρέπει $$\reverse\opaque\small \alpha_{PSR}\simeq\alpha_0$$, που σημαίνει ότι για τον αστέρα νετρονίων των 2 ηλιακών μαζών το spontaneous scalarization είναι ασήμαντο, που με τη σειρά του βάζει περιορισμούς στην άλλη παράμετρο της θεωρίας, την τετραγωνική σταθερά σύζευξης $$\reverse\opaque\small \beta_0$$. Αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, όπου αριστερά βλέπουμε το πως συγκρίνεται η ιδιοβαρύτητα του PSR J0348+0432 σε σχέση με τα μέλη άλλων διπλών συστημάτων και δεξιά βλέπουμε τον περιορισμό στην ενεργό γραμμική σύζευξη $$\reverse\opaque\small \alpha_{PSR}$$ και τον περιορισμό στην τετραγωνική σταθερά σύζευξης $$\reverse\opaque\small \beta_0$$ (δες την λεζάντα στο λινκ του σχήματος).



Τα παραπάνω είναι σημαντικά και για την ανίχνευση των βαρυτικών κυμάτων. Η τεχνική της ανίχνευσης στηρίζεται πάνω στην απαίτηση κανείς να μπορεί να μοντελοποιήσει ένα σύστημα που εκπέμπει βαρυτική ακτινοβολία έτσι ώστε παρακολουθώντας την εξέλιξή του να μπορεί να προβλέψει την φάση του βαρυτικού κύματος χωρίς να χάνει περισσότερους από 1 κύκλο κάθε 10,000 κύκλους. Αν μια τέτοια ακρίβεια δεν είναι δυνατό να επιτευχθεί, τότε θα είναι αδύνατη η εξαγωγή του σήματος του βαρυτικού κύματος από τον θόρυβο του ανιχνευτή για τέτοια συστήματα. Αυτή την ακρίβεια οι εναλλακτικές θεωρίες με βαθμωτά πεδία, εξαιτίας του scalarization, έχουν την δυνατότητα να την σκοτώσουν και μαζί της και την αστρονομία βαρυτικών κυμάτων (αν μου επιτρέπεται η δραματοποίηση της κατάστασης). Τα παραπάνω αποτελέσματα όμως σώζουν υπό μία έννοια την αστρονομία βαρυτικών κυμάτων, αφού ο περιορισμός που βάζει στο φαινόμενο ο PSR J0348+0432, ρίχνει τις πιθανές απώλειες σε κύκλους στο επιτρεπτό όριο.

Εξέλιξη διπλών συστημάτων (Αστροφυσική)

Το τελευταίο θέμα που συζητάει το άρθρο στο Science, αφορά την εξέλιξη αυτού του διπλού συστήματος. Στο θέμα λοιπόν της εξέλιξης το συγκεκριμένο διπλό σύστημα δημιουργεί ενδιαφέροντα ερωτήματα, αφού τα χαρακτηριστικά του συστήματος είναι κάπως ιδιαίτερα. Αναφερθήκαμε για παράδειγμα παραπάνω στο γεγονός ότι ο λευκός νάνος έχει πυρήνα ηλίου και είναι χαμηλής μάζας, πράγμα το οποίο δεν προκύπτει συνήθως από την φυσιολογική εξέλιξη ενός άστρου, εκτός και αν με κάποιο τρόπο χάσει το εξωτερικό του κέλυφος. Ακόμα το σύστημα έχει αρκετά μικρή τροχιακή περίοδο, που σημαίνει ότι είναι αρκετά κοντά ο αστέρας νετρονίων στο λευκό νάνο. Από την άλλη ο pulsar δεν φαίνεται να έχει αρκετά γρήγορη περιστροφή που θα μπορούσε να προκύψει από την μεταφορά ύλης από τον συνοδό του στον ίδιο (που θα οδηγούσε και σε αύξηση της στροφορμής του και άρα της περιστροφής του καθώς και σε αύξηση της μάζας του μέχρι τις 2 ηλιακές μάζες). Η ουσία είναι ότι η περαιτέρω μελέτη του συγκεκριμένου συστήματος πιθανών να κρύβει απαντήσεις και για το πρόβλημα της εξέλιξης των διπλών συστημάτων. Πάντως στην εργασία παρουσιάζονται δύο πιθανά σενάρια για την εξέλιξη του συστήματος, τα οποία φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Και στα δύο σενάρια, κάποια στιγμή ο αστέρας νετρονίων που προέκυψε από τον μεγαλύτερο αστέρα του συστήματος πρέπει να μπήκε μέσα στον εξελιγμένο σε γίγαντα μικρότερο αστέρα διαταράσσοντας έτσι την φυσιολογική του εξέλιξη δημιουργόντας τελικά τον λευκό νάνο που βλέπουμε σήμερα.



Το σχήμα δείχνει και την μελλοντική εξέλιξη του συστήματος, το οποίο κάποια στιγμή θα μετατραπεί ή σε μια μαύρη τρύπα μετά την σύγκρουση των δύο αντικειμένων ή σε ένα σύστημα που θα αποτελείται από έναν pulsar και πιθανών έναν πλανήτη.


Αυτά λοιπόν με το πολύ ενδιαφέρον αυτό άρθρο που αγγίζει αυτό το σύνολο από ενδιαφέροντα αστροφυσικά θέματα και θέματα βαρύτητας.

Not Even Wrong (σκέψεις στην Ειδική Σχετικότητα)

Η Ένωση Ελλήνων Φυσικών έχει ξεκινήσει εδώ και λίγο καιρό την έκδοση ενός περιοδικού (στη θέση του Φυσικού Κόσμου φαντάζομαι) με τίτλο "Physics News". Θα μπορούσε να πει κανείς διάφορα πράγματα για το συγκεκριμένο περιοδικό. Κατά τη γνώμη μου η έκδοση του Φυσικού Κόσμου που κυκλοφορούσε όταν εγώ ήμουν στο λύκειο ήταν μάλλον αρκετά ανώτερη και ήταν γεμάτη με ενδιαφέροντα προβλήματα και ασκήσεις, εκτός από τα κύρια άρθρα. Το θέμα μας πάντως δεν είναι η συγκεκριμένη έκδοση.

Στο δεύτερο τεύχος του συγκεκριμένου περιοδικού μπορεί να βρει κανείς στη σελίδα 10 ένα άρθρο του Επίκουρου Καθηγητή Μάνου Δανέζη με τίτλο, "Σκέψεις πάνω στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας".

Ένα σύντομο σχόλιο για το άρθρο θα ήταν, "Ούτε καν Λάθος".

Δηλαδή, δεν ξέρει κανείς από που να ξεκινήσει. Τι να πιάσει και τι να αφήσει από το άρθρο. Σε γενικές γραμμές θα έλεγε κανείς ότι υπάρχει μια διάχυτη παρανόηση και ένα μπέρδεμα ανάμεσα σε έννοιες που εμφανίζονται στην Ειδική Σχετικότητα και σε έννοιες που εμφανίζονται στη Γενική Σχετικότητα (το άρθρο υποτίθεται ότι αναφέρεται στην Ειδική Σχετικότητα). Υπάρχουν παρανοήσεις σε σχέση με έννοιες που εμφανίζονται στην Ειδική Σχετικότητα, υπάρχει μεταφορά εννοιών από τη Γενική Σχετικότητα στην Ειδική Σχετικότητα εντελώς εκτός πλαισίου, με το επιστέγασμα όλων αυτών να είναι η τελευταία ενότητα με τίτλο, "Η σχέση ταχύτητας και καμπυλότητας", όπου μπλέκονται με την Ειδική Σχετικότητα πράγματα από την Κοσμολογία. Αχταρμάς μεγάλος.

Ας τα πάρουμε όμως λίγο με μια σειρά, αν και δεν υπάρχει καμία σειρά, σε βαθμό που το άρθρο να μην επιδέχεται πιο συγκεκριμένου σχολιασμού πέρα από το not even wrong.

Ξεκινάμε λοιπόν με την πρώτη ενότητα και την εισαγωγή του άρθρου, όπου διατυπώνεται η διαπίστωση ότι,

"Σύμφωνα με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, το μήκος ενός αντικειμένου μικραίνει, όσο μεγαλώνει η ταχύτητά του, και θα γίνει πρακτικά "μηδέν", όταν η ταχύτητά του φτάσει θεωρητικά την τιμή της ταχύτητας του φωτός.
Κατά τη διάρκεια όμως της χρονικής περιόδου που το μήκος του αντικειμένου "ζαρώνει" λόγω της αύξησης της ταχύτητάς του, η μάζα του όλο και μεγαλώνει, μέχρι να γίνει άπειρη, όταν το μήκος του θα έχει γίνει μηδέν.
Μέσα σ'αυτόν τον μαγικό χορό των βαθμιαίων μεταμορφώσεων των σωμάτων, όπου τα οδηγεί η αύξησης της ταχύτητάς τους, η ανθρώπινη λογική επιζήτησε να ελέγξει τη σταθερότητα της έννοιας του χρόνου. Μάταια όμως! Ο χρόνος διαστέλλεται, όπως και η μάζα ενός σώματος, όταν αυξάνεται η ταχύτητά του."

Με λίγα λόγια, το παραπάνω απόσπασμα μας λέει ότι καθώς ένα σώμα κινείται, μεταμορφώνεται έχοντας μικρότερο μήκος και μεγαλύτερη μάζα, ενώ για αυτό το σώμα ο χρόνος διαστέλλεται. Αυτό όμως είναι λάθος. Η Ειδική Σχετικότητα, αν λέει κάτι αυτό είναι ότι ένα σώμα ή ένας παρατηρητής δεν μπορεί να προσδιορίσει ο ίδιος αν είναι σε κίνηση ή είναι ακίνητος, δηλαδή ο ίδιος δεν βιώνει καμία διαφορά εξαιτίας της κινητικής του κατάστασης. Αυτό που μας λέει, και εδώ αστοχεί ως προς την περιγραφή η παραπάνω παράγραφος, είναι ότι κάποιος άλλος παρατηρητής, ως προς τον οποίο ο αρχικός παρατηρητής κινείται, θα βλέπει το μήκος μιας ράβδου που είναι προσανατολισμένη στη διεύθυνση της κίνησης του πρώτου παρατηρητή να είναι πιο μικρό ή αν κάνει μια παρατήρηση θα εκτιμήσει ότι η μάζα της ράβδου είναι μεγαλύτερη ή αν κοιτάξει το ρολόι του πρώτου παρατηρητή θα το δει να χτυπάει τα δευτερόλεπτα πιο αργά από το δικό του ρολόι. Κάποιος θα μπορούσε να πει ότι η διαφορά είναι απλά στη διατύπωση, αλλά η ουσία είναι ότι αν κανείς θέλει να πει κάποια βασικά πράγματα για την Ειδική Σχετικότητα προκειμένου να βοηθήσει κάποιον να την καταλάβει, δεν μπορεί να μην είναι σαφής σε αυτά τα θέματα και πέρα από αυτό η διαφορά και η παρανόηση που παρουσιάζει το απόσπασμα είναι ουσιαστική όπως προκύπτει από τη σύνδεση με τα επόμενα.
Ένα ακόμα σημείο στο οποίο θα πρέπει να σταθώ είναι το ότι τα όσα αναφέρει το απόσπασμα ότι τα λέει η Ειδική Σχετικότητα, είναι αληθή στον ίδιο βαθμό κατά τον οποίο είναι αληθές το ότι η Νευτώνεια Θεωρία της βαρύτητας λέει ότι όλα τα σώματα πέφτουν στη Γη το ίδιο γρήγορα ανεξάρτητα της μάζας τους ή το ότι οι πλανήτες γυρίζουν γύρω από τον Ήλιο σε κλειστές τροχιές οι οποίες είναι ελλείψεις. Προφανώς η Νευτώνεια θεωρία της βαρύτητας αυτό που λέει είναι ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης έχει αυτή τη μορφή και οι νόμοι της κίνησης είναι έτσι και αν εσύ θέλεις να υπολογίσεις το πως θα κινηθεί ένα σώμα, πας και λύνεις το συγκεκριμένο πρόβλημα και θα σου δώσει ότι αποτέλεσμα σου δώσει. Στη Νευτώνεια βαρύτητα για παράδειγμα αν πάρει κανείς υπόψιν του το ότι ο Ήλιος δεν είναι τέλεια σφαίρα, τότε θα πάρει τροχιές που δεν είναι ακριβώς κλειστές ελλείψεις ή αν πάρει το πλήρες πρόβλημα της ακτινικής κίνησης της Γης μαζί με μια άλλη μάζα, θα δει ότι το πόσο γρήγορα πλησιάζουν η Γη και η άλλη μάζα εξαρτάται από την συνολική μάζα του συστήματος (συγκεκριμένα από την ανηγμένη μάζα) ή αν υπολογίσει και την αντίσταση από την παρουσία του αέρα θα πάρει πάλι κάποιο άλλο αποτέλεσμα. Ομοίως και στην Ειδική Σχετικότητα, οι προτάσεις που περιγράφει το απόσπασμα δεν είναι "αυτό που λέει η θεωρία", αλλά το αποτέλεσμα μιας ειδικής εφαρμογής της θεωρίας. Η ουσία της Ειδικής Σχετικότητας είναι άλλη.

Η δεύτερη ενότητα ξεκινά με μια οντολογική πρόταση σχετικά με το τι κάνει και τι δεν κάνει μια οποιαδήποτε θεωρία, στην οποία θα μπορούσα να σταθώ παραπάνω, αλλά δεν με ενδιαφέρει να το κάνω εδώ. Γενικά θα αποφύγω να σχολιάσω τα φιλοσοφικά θέματα όπου προκύπτουν.

Ξεκινάμε λοιπόν με το πρώτο σημάδι βαριάς παρανόησης. Σύμφωνα με αυτά που μας λέει ο Δανέζης, η Ειδική Σχετικότητα στηρίζεται στο γεγονός ότι ο κοσμικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος 3ων διαστάσεων, αλλά τετραδιάστατος χώρος Riemann, τον οποίο λέμε χωροχρόνο, ο οποίος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε κομμάτια, δηλαδή δεν μπορούμε να τον διαιρέσουμε σε χώρο και σε χρόνο, αλλά ούτε και να ορίσουμε ανεξάρτητα διαστήματα χώρου και χρόνου και άρα δεν μπορούμε να κάνουμε καμία μέτρηση. Σύμφωνα με τον Δανέζη όμως, οι χώροι Riemann έχουν την ιδιότητα αν κόψεις ένα ελαχιστότατο κομμάτι τους, το κομμάτι αυτό να συμπεριφέρεται σαν ένας Ευκλείδειος χώρος. Σύμφωνα με τον Δανέζη πάντα, ο Minkowski εκμεταλλεύτηκε την παραπάνω ιδιότητα έτσι ώστε, αφού δεν μπορούσε να κάνει φυσική στον χώρο Riemann (τον χωροχρόνο), έφερε στο σημείο του χωροχρόνου όπου βρισκόταν ένας παρατηρητής έναν εφαπτόμενο τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο - ο οποίος ονομάστηκε σύμφωνα με τον Δανέζη ψευδοευκλείδειος χώρος Minkowski - ο οποίος είχε πολύ μικρή έκταση και πάνω στον οποίο προέβαλε τα γεγονότα του τετραδιάστατου χωροχρόνου, προκειμένου να κάνει ο παρατηρητής φυσική σε αυτόν τον Ευκελιδειο τρισδιάστατο χώρο.
Για κάποιον που ξέρει λίγα πράγματα από διαφορική γεωμετρία και ειδική/γενική σχετικότητα, μπορεί να διακρίνει την σούπα που έχει μαγειρευτεί εδώ.
Τα σχετικά θέματα τα έχουμε συζητήσει εδώ σε διάφορα σημεία (πχ. α, β, γ). Οι χώροι Riemann είναι αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας και είναι ουσιαστικά γενικεύσεις των Ευκλείδειων χώρων, είναι δηλαδή γενικά καμπύλοι χώροι (σε αντίθεση με τους Ευκλείδειους που είναι επίπεδοι, έχουν δηλαδή μηδενική καμπυλότητα) με θετικά ορισμένη μετρική. Ένα παράδειγμα τέτοιου χώρου είναι η επιφάνεια μιας σφαίρας. Στη Γενική Σχετικότητα ασχολούμαστε με μια γενίκευση των χώρων Riemann οι οποίοι έχουν μη θετικά ορισμένη μετρική και η οποία έχει υπογραφή 1 αρνητικό και 3 θετικά, έχουν δηλαδή Lorentzian μετρικές. Ένας τέτοιος χώρος με μηδενική όμως καμπυλότητα (δηλαδή επίπεδος) είναι και ο τετραδιάστατος χωροχρόνος της Ειδικής Σχετικότητας. Αυτός ο χώρος λέγεται χώρος Minkowski. Επειδή η υπογραφή της μετρικής του χώρου Minkowski είναι $$\reverse\opaque(-1,1,1,1)$$ και άρα το στοιχειώδες μήκος σε αυτό το χώρο έχει τη μορφή $$\reverse\opaque ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$, όπως συμβαίνει και με το Πυθαγόρειο θεώρημα με τη διαφορά ότι έχουμε αυτό το "-" μπροστά από το dt, ο χώρος αυτός ονομάστηκε ψευδο-ευκλείδειος (αφού έχει ευκλείδειο μέτρο με μοναδική διαφορά το ένα "-"). Άρα, ο χωροχρόνος της Ειδικής Σχετικότητας είναι ένας επίπεδος (και όχι καμπύλος) χώρος 4ων διαστάσεων με Lorentzian μετρική και λέγεται χώρος Minkowski. Στην Γενική Σχετικότητα, οι χώροι που έχουμε είναι γενικά χώροι που έχουν μη μηδενική καμπυλότητα και οι οποίοι σε κάποια μικρή περιοχή τους γύρω από κάποιο σημείο μπορούν να προσεγγιστούν από έναν επίπεδο χώρο Minkowski, πράγμα το οποίο είναι μία έκφραση της αρχής της ισοδυναμίας, που λέει ότι ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση σε ένα βαρυτικό πεδίο (ακολουθεί δηλαδή μια γεωδαισιακή τροχιά) μπορεί να θεωρήσει μια μικρή τετραδιάστατη περιοχή του χωροχρόνου γύρω του στην οποία ο χώρος θα είναι κατά προσέγγιση ο χώρος Minkowski της Ειδικής Σχετικότητας. Τα παραπάνω υποδεικνύουν κάπως το από που έχουν προέλθει οι διάφορες έννοιες που συνδυάζονται και μπερδεύονται στην παρουσίαση που δίνει ο Δανέζης για τον χωροχρόνο και τον χώρο Minkowski. Πέρα από την σαφή αναφορά στο ότι ο χώρος Minkowski είναι ένας 3D Ευκλείδειος χώρος, δεν υπάρχει κάποιο συγκεκριμένο σημείο στο οποίο να μπορεί να πει κανείς ότι εδώ κάνει λάθος, αφού στο σύνολό της η εικόνα που χτίζει είναι λάθος. Ακόμα και τα όσα λέει για την αδυναμία της ανεξάρτητης μέτρησης διαστημάτων χώρου ή χρόνου δεν έχουν και πολύ νόημα, αφού αυτό ακριβώς είναι που κάνουμε στην Ειδική Σχετικότητα, δηλαδή μετράμε διαστήματα χώρου και χρόνου μέσα στον χωροχρόνο του Minkowski (δες την κουβέντα εδώ). Για την ακρίβεια κάθε παρατηρητής ή κάθε σωματίδιο που ακολουθεί μια χρονοειδή τροχιά χωρίζει με απόλυτα φυσιολογικό τρόπο τον χωροχρόνο σε χρόνο, που είναι ο χρόνος που μετρά το ίδιο του το ρολόι και είναι το μήκος της τροχιάς που διανύει στον χωροχρόνο και έχει διεύθυνση κατά μήκος της τετραταχύτητάς του, και σε χώρο, που ορίζεται από τις 3 ορθογώνιες διευθύνσεις στο τετράνυσμα της τετραταχύτητάς του. Φυσικά κάθε διαφορετικός παρατηρητής με διαφορετική τετραταχύτητα ορίζει τον δικό του άξονα του χρόνου και τον δικό του χώρο, που είναι και το βασικό σημείο στο οποίο διαφέρει η Ειδική Σχετικότητα από την Νευτώνεια Φυσική για την οποία αυτό το χώρισμα σε χώρο και χρόνο είναι παγκόσμιο και κοινό για όλους τους παρατηρητές. Το γεγονός λοιπόν ότι ο κάθε παρατηρητής που κινείται μέσα στον χωροχρόνο ορίζει τον προσωπικό του χρόνο και χώρο μας οδηγεί στο να εγκαταλείψουμε την απόλυτη φύση του χώρου και του χρόνου της Νευτώνειας θεωρίας και να εισάγουμε μια άλλη απόλυτη οντότητα, αυτή του χωροχρόνου. Δηλαδή, για την Ειδική Σχετικότητα τα μεμονωμένα χωρικά ή χρονικά διαστήματα δεν έχουν πια αναλλοίωτο χαρακτήρα (είναι γενικά διαφορετικά για διαφορετικούς παρατηρητές) και την θέση τους παίρνει το χωροχρονικό διάστημα, το οποίο είναι αναλλοίωτο και κοινό για όλους τους παρατηρητές (και σ'αυτό το πράγμα αναφέρεται ο Minkowski στη γνωστή του ρήση).

Από εκεί και πέρα όλα τα υπόλοιπα που λέει η συγκεκριμένη ενότητα σχετικά με τις προβολές στον 3D εφαπτόμενο Ευκλείδειο χώρο και τους μαγικούς καθρέφτες και τις ανθρώπινες αισθήσεις δεν έχουν καμία σχέση με την πραγματικότητα και την Ειδική Σχετικότητα.

Αξίζει όμως ακόμα μία επισήμανση στα σχετικά με το σχήμα 1. Το σχήμα δείχνει πως υποτίθεται ότι αλλάζει κάποιο μήκος ανάλογα με την ταχύτητα και για να το εξηγήσει χρησιμοποιεί την έννοια της προβολής. Αυτή η αναλογία αν έμπαινε στο σωστό πλαίσιο θα μπορούσε να είναι καλή, αν και μάλλον κάπως αχρείαστη. Έτσι όπως παρουσιάζεται πάντως είναι εντελώς λάθος. Η ιδέα που παρουσιάζει το σχήμα 1 είναι ότι αυτό που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής δεν είναι το διάστημα ΑΒ αλλά είναι η προβολή του διαστήματος αυτού σε κάποια εφαπτόμενη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, επειδή η πραγματική καμπύλη πάνω στην οποία θεωρούμε το ΑΒ είναι αυτή του σχήματος, καθώς απομακρυνόμαστε από το σημείο που εφάπτεται η καμπύλη με την εφαπτόμενη (πράγμα το οποίο στα πλαίσια της αναλογίας έχει να κάνει με την αύξηση της ταχύτητας) η προβολή του ΑΒ έχει όλο και μικρότερο μήκος.
Έτσι όπως παρουσιάζεται αυτή η ιδέα και μέσα στο προηγούμενο πλαίσιο, είναι εντελώς παραπλανητική και λάθος. Στην πραγματικότητα, το μήκος ενός αντικειμένου είναι η "προβολή" του στον χώρο μέσα στον χωροχρόνο, αφού για να μετρήσει ένας παρατηρητής ένα μήκος πρέπει να κάνει μια ταυτόχρονη μέτρηση της θέσης των άκρων του αντικειμένου. Έτσι στην ουσία προβάλει το αντικείμενο στον χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, δηλαδή στον χώρο που είναι κάθετος στον άξονα του χρόνου του παρατηρητή. Αυτή η εικόνα φαίνεται πάρα πολύ όμορφα σε ένα χωροχρονικό διάγραμμα, τα οποία χωροχρονικά διαγράμματα τα εισήγαγε ο Minkowski.
Τα βασικά στοιχεία ενός διαγράμματος Minkowski φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, όπου βλέπουμε πως ο άξονας του χρόνου είναι στην ουσία η κοσμική γραμμή (η χωροχρονική τροχιά) του παρατηρητή που βρίσκεται στο κέντρο του αδρανειακού συστήματος, βλέπουμε τον κώνο φωτός που ορίζεται από τις τροχιές των φωτονίων και βλέπουμε και τον χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων που είναι κάθετος στην κοσμική γραμμή του αδρανειακού παρατηρητή και ορίζει το χωρικό κομμάτι του χωροχρόνου. Για την ακρίβεια, για κάθε σημείο πάνω στην τροχιά του παρατηρητή ορίζεται ένας τέτοιος χώρος από ταυτόχρονα γεγονότα.

        
                 άξονας χρόνου 
                       ή
             κοσμική γραμμή παρατηρητή  
                       t 
                       Λ              
 \_ κώνος φωτός        |         κώνος φωτός_/  
   \_                  |                  _/
     \_                |                _/
       \_     μέλλον   |              _/
         \_            |            _/
           \_          |          _/          
             \_        |        _/τροχιές   
               \_      |      _/     φωτονίων  
                 \_    |    _/     
                   \_  |  _/   
χώρος των ταυτόχρονων\ | /     αιτιακά μη
-----------------------O-----------------------> x
γεγονότων με το Ο   _/ | \_    συσχετισμένη 
                  _/   |   \_      περιοχή
                _/     |     \_
              _/       |       \_
            _/         |         \_
          _/  παρελθόν |           \_
        _/             |             \_
      _/               |               \_
    _/                 |                 \_  
   /                   |      κώνος φωτός  \   

Σε ένα τέτοιο χωροχρονικό διάγραμμα μπορούμε να απεικονίσουμε και έναν δεύτερο παρατηρητή ο οποίος κινείται σε σχέση με τον πρώτο με κάποια ταχύτητα και ο οποίος ορίζει ένα άλλο αδρανειακό σύστημα. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

                    χρονοειδείς τροχιές
                      t    /   \   t' 
                      Λ   /     \ Λ   κώνος φωτός
\_ κώνος φωτός        |  /τροχιά /         _/ 
  \_           τροχιά | /   2ου / παρατ. _/
    \_       ακίνητου |/       /       _/
      \_       παρατ. |       /      _/
        \_            |      /     _/           x'
          \_          |     /    _/          _,>  
            \_        |    /   _/        _,-΄   
              \_      |   /  _/      _,-΄
                \_    |  / _/    _,-΄ταυτόχρονες
                  \_  | /_/  _,-΄ 2ου παρατηρητή
                    \ |//_,-' 
----------------------O------------------------> x
                _,-_//| \_   ταυτόχρονες 1ου 
            _,-΄ _/ / |   \_        παρατηρητή 
        _,-΄   _/  /  |     \_
    _,-΄     _/   /   |       \_
_,-΄       _/    /    |         \_
         _/     /     |           \_
       _/      /      |             \_
     _/       /       |               \_
   _/        /        |                 \_  
  /         /         |       κώνος φωτός \ 

Αν έχουμε τώρα μια ράβδο στο σύστημα ενός παρατηρητή, τότε το μήκος της ράβδου θα δίνεται από το μήκος της ισόχρονης για τον παρατηρητή καμπύλης που ενώνει τις κοσμικές τροχιές των άκρων της ράβδου. Δηλαδή, αν για παράδειγμα ένας ακίνητος παρατηρητής έχει μια ράβδο μήκους $$\reverse\opaque l$$ η οποία είναι ακίνητη στο σύστημά του, τότε το μήκος της θα αντιστοιχεί στο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ (ή ΓΔ ) του παρακάτω σχήματος που ορίζεται από την τομή των κοσμικών τροχιών των άκρων της ράβδου με τις ισόχρονες του ακίνητου παρατηρητή που είναι οι οριζόντιες γραμμές παράλληλες στο άξονα x.

             χρονοειδείς τροχιές των παρατηρητών
                           /   \
                      t   /     \    t' 
                      Λ  /       \   Λ
                      | /         \ /            
                      |/           / _|Ζ       _/
  κώνος φωτός         |     l'   _;="/|      _/
\_                    |      _;="^    |    _/
  \_                  |  _;="^  /     |  _/
    \_ προβολή της   Ε|/"^     /      |_/
      \_ ράβδου στο   | /     /      _|
        \_ σύστημα του|/     /     _/ |         x'
          \_ 2ου      |\    /    _/   |      _,>  
            \_ παρατ. | \  /   _/     |B _,-΄   
              \_      |  \/  _/      _|-΄
                \_    |  /\_/    _;="/|
                  \_  | /_/\ _;="^    |
                    \ |//_;="^  l'    |A
----------------------O<=============>|--------> x
                _,-_//| \_    l       |
            _,-΄ _/ / |   \_          | 
        _,-΄   _/  /  |     \_        |
    _,-΄     _/   /   |       \_      |
_,-΄       _/    /    | προβολή \_    |
         _/     /    Γ|<=============>|Δ
       _/      /      | ράβδου  στο \_|
     _/       /       | σύστημα του   |_
   _/        /        | 1ου παρατηρ.  | \_  
  /         /         |\             /    \ 
                      | \           /    
                   τροχιές των άκρων της 
                           ράβδου          

Αν τώρα θεωρήσουμε έναν 2ο παρατηρητή κινούμενο ως προς τον 1ο, τότε η κοσμική τροχιά του (και άρα ο άξονας του χρόνου του) θα δίνετε από τον άξονα t' και οι ισόχρονες για αυτόν τον παρατηρητή θα είναι οι γραμμές που είναι παράλληλες στον άξονα x'. Έτσι για τον 2ο παρατηρητή το μήκος της ράβδου $$\reverse\opaque l'$$ θα δίνεται από το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΒ (ή ΕΖ ) που είναι η το τμήμα της ισόχρονης γραμμής του 2ου παρατηρητή που τέμνει τις κοσμικές τροχιές των άκρων της ράβδου. Το μήκος αυτό λοιπόν θα είναι το χωροχρονικό διάστημα $$\reverse\opaque \small (l')^2 =(OB)^2=-(AB)^2+(OA)^2 = -(AB)^2+ l^2$$. Εδώ για τον υπολογισμό του ΟΒ έχουμε εφαρμόσει το Πυθαγόρειο θεώρημα για τον χώρο Minkowski όπου το τμήμα ΑΒ επειδή είναι ένα χρονικό διάστημα (αφού είναι η κοσμική γραμμή ενός παρατηρητή που είναι ακίνητος ως προς το αδρανειακό μας σύστημα και κάθετε στο ένα άκρο της ράβδου και άρα είναι ένα διάστημα παράλληλο στον άξονα του χρόνου) το τετράγωνό του αφαιρείται από το συνολικό μήκος. Έτσι αν ακόμα πάρουμε υπόψιν μας το γεγονός ότι η εφαπτομένη της γωνίας του άξονα x' σε σχέση με τον άξονα x είναι ίση με τον λόγο της ταχύτητας του 2ου παρατηρητή προς την ταχύτητα του φωτός, δηλαδή είναι $$\reverse\opaque \tan\phi=u/c=\beta$$, θα έχουμε τελικά για το διάστημα l', $$\reverse\opaque \small (l')^2 = -l^2 \beta^2+ l^2=l^2(1-\beta^2)=\left(\frac{l}{\gamma}\right)^2$$, που περιγράφει το γεγονός ότι ο κινούμενος παρατηρητής θα βλέπει την ράβδο του ακίνητου παρατηρητή μικρότερη σε μήκος (το γ είναι μεγαλύτερο της μονάδας), το οποίο σημαίνει ότι για τον 2ο παρατηρητή, η ράβδος του 1ου, η οποία κινείται μαζί με τον 1ο, φαίνεται μικρότερη. Το ίδιο αποτέλεσμα φυσικά θα πάρει κανείς αν κάνει τον υπολογισμό και για μια ράβδο που κινείται μαζί με τον 2ο παρατηρητή, οπότε και θα διαπιστώσει ότι ο 1ος παρατηρητής θα την βλέπει και πάλι πιο μικρή. Το αποτέλεσμα αυτό, της συστολής του μήκους, γίνεται πιο έντονο όσο πλησιάζει η ταχύτητα του κινούμενου παρατηρητή στην ταχύτητα του φωτός, γιατί τότε τόσο ο άξονας του χρόνου όσο και ο άξονας του χώρου του παρατηρητή πλησιάζουν προς τη διαγώνιο που δίνει τις τροχιές των φωτονίων με αποτέλεσμα το μήκος ΑΒ να πλησιάζει να γίνει ίσο με το μήκος ΟΑ, πράγμα που οδηγεί σε μηδενισμό του μέτρου $$\reverse\opaque \small (l')^2 =-(AB)^2+(OA)^2$$ το οποίο τότε γίνεται φωτοειδές όπως λέμε.
Αυτά λοιπόν συμβαίνουν στην Ειδική Σχετικότητα με τα μήκη των ράβδων και υπό αυτή την έννοια τα όσα μετρά ο κάθε παρατηρητής είναι προβολές και όλα αυτά έχουν πολύ συγκεκριμένο γεωμετρικό νόημα, που δεν είναι αυτό που προσπαθεί να περάσει το σχήμα 1 του άρθρου του Δανέζη. Και φυσικά όλα αυτά δεν έχουν καμία σχέση με καμπύλους χώρους, καμπυλότητες ή οτιδήποτε τέτοιο, αφού όλα τα παραπάνω διαδραματίζονται μέσα στον επίπεδο χωροχρόνο του Minkowski ο οποίος στο μόνο που διαφέρει από τον Ευκλείδειο χώρο είναι ότι τα χρονικά διαστήματα έχουν την ιδιαιτερότητα να αφαιρούνται κατά τον υπολογισμό του χωροχρονικού μήκους με το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Η δεύτερη ενότητα του άρθρου κλείνει με μια αναφορά στα αξιώματα της Ειδικής Σχετικότητας, το αξίωμα του αναλλοίωτου των φυσικών νόμων και το αξίωμα της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός, τα οποία και αυτά καταφέρνει να μην τα παρουσιάσει καλά χρησιμοποιώντας το άστοχο παράδειγμα με το μήκος του τραπεζιού ως παράδειγμα του αναλλοίωτου των φυσικών νόμων.

Τα όσα αναφέρονται στην επόμενη ενότητα του άρθρου σχετικά με την σύνδεση της ταχύτητας με το μέγεθος μιας περιοχής που πρέπει να αποκόψει κανείς από τον χωροχρόνο για να γίνεται αντιληπτή από έναν παρατηρητή ως Ευκλείδειος χώρος είναι σαφές μετά την προηγούμενη συζήτηση ότι δεν έχουν κανένα απολύτως νόημα, αφού ο χωροχρόνος στην Ειδική Σχετικότητα είναι πάντα επίπεδος και ποτέ Ευκλείδειος, ενώ το χωρικό κομμάτι του χωροχρόνου είναι πάντα Ευκλείδειο. Αλλά ακόμα και στη Γενική Σχετικότητα όπου κανείς έχει έναν καμπύλο χωροχρόνο και μπορεί να τον ενδιαφέρει να προσεγγίσει την περιοχή γύρω από έναν αδρανειακό παρατηρητή με έναν επίπεδο χωροχρόνο Minkowski, τότε το κριτήριο για τις διαστάσεις του κομματιού του χωροχρόνου που θα επιλέξουμε δεν είναι η ταχύτητα αλλά η καμπυλότητα του χωροχρόνου, που έχει σχέση φυσικά με τον τανυστή καμπυλότητας του Riemann του οποίου το φυσικό περιεχόμενο σχετίζεται με την απόκλιση των γεωδαισιακών ή πιο φυσικά τις παλιρροϊκές δυνάμεις. Με λίγα λόγια, η ενότητα με τίτλο, "Η έννοια της ταχύτητας του φωτός", δεν έχει απολύτως κανένα νόημα. Έχοντας πει τα παραπάνω, μπαίνω στον πειρασμό να επισημάνω ότι αφού ο Δανέζης επιλέγει γεωμετρικές μονάδες για το χρόνο, δηλαδή μονάδες όπου η ταχύτητα του φωτός είναι $$\reverse\opaque c=1$$ και ο χρόνος μετράτε σε μονάδες μήκος, τότε οι ανισότητες θα έπρεπε να γράφουν πχ. $$\reverse\opaque dx/dt \leq 1$$ και όχι 300,000, όπου το 300,000 δεν έχει και νόημα αφού είναι η τιμή της ταχύτητας του φωτός όταν την μετράμε σε μονάδες χιλιόμετρα/δευτερόλεπτο και θα ήταν διαφορετικό αν την μετράγαμε σε cm/s.

Όμως, το πιο ασυνάρτητο και χωρίς νόημα κομμάτι του άρθρου είναι η τελευταία ενότητα περί της σχέσης μεταξύ της ταχύτητας και της καμπυλότητας.

Η ενότητα είναι "πανδαισία".

Από που να ξεκινήσει κανείς; Καταρχήν, από εκεί που μιλάγαμε για Ειδική Σχετικότητα, δηλαδή απουσία βαρύτητας, ξαφνικά μιλάμε για κοσμολογία και διαστολή του σύμπαντος και νόμο του Hubble. Άσχετο.
Μετά υπάρχει μια ξεκάρφωτη πρόταση για την σχέση κλίσης και καμπυλότητας στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Άσχετο.
Και μετά, επιχείρημα σε επίπεδο σοφιστείας του τύπου ο αστυνόμος είναι όργανο, το μπουζούκι είναι όργανο, άρα ο αστυνόμος είναι μπουζούκι. Ο νόμος του Hubble λέει ότι η ταχύτητα αυξάνει με την απόσταση, αλλά όσο μεγαλώνει η απόσταση μεγαλώνει και η πυκνότητα ενέργειας του Σύμπαντος, αλλά όσο μεγαλώνει η πυκνότητα ενέργειας τόσο μεγαλύτερη είναι και η καμπυλότητα. Άρα όσο μεγαλύτερη ταχύτητα τόσο μεγαλύτερη καμπυλότητα...



Από που να το πιάσει κανείς και που να το αφήσει. Άλμα από την Ειδική Σχετικότητα στην κοσμολογική διαστολή. Σύνδεση της κοσμολογικής ταχύτητας απομάκρυνσης των γαλαξιών, που δεν είναι πραγματική ταχύτητα κίνησης μέσα στον χωροχρόνο, αλλά η ταχύτητα με την οποία διαστέλλεται ο χώρος ανάμεσα σε δύο γαλαξίες οι οποίοι είναι όμως σε σταθερές συντεταγμένες θέσης, με την ταχύτητα ενός αντικειμένου στην Ειδική Σχετικότητα. Σύνδεση αυτής της κοσμολογικής ταχύτητας απομάκρυνσης εντελώς εκτός πλαισίου με την πυκνότητα του σύμπαντος σε προηγούμενες εποχές. Ασύνδετα πράγματα. Άσχετα μεταξύ τους. Τόσο άσχετα που δεν επιδέχονται σχολιασμό. Ούτε καν λάθος.

Και όλα αυτά, σε σχέση με την Ειδική Σχετικότητα.

Καμία σχέση... Κρίμα πάντως.



------------------------------------------------
Update (11/3/2013): Όπως με ενημέρωσε ο Δρ. Βασίλης Καράβολας, που είναι Υπεύθυνος Ύλης του Περιοδικού της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών: "PhysicsNews", το περιοδικό δεν βγαίνει στη θέση του Φυσικού Κόσμου και δεν έχει ως στόχο να αντικαταστήσει τον Φυσικό Κόσμο. Το όραμα του περιοδικού είναι "να γίνει ένα βήμα στο οποίο θα παρουσιάζεται η έρευνα που γίνεται στην Ελλάδα ή από Έλληνες στο εξωτερικό καθώς και τα τελευταία νέα από το χώρο της Φυσικής όπως αυτά παρουσιάζονται στα καλύτερα περιοδικά της διεθνούς βιβλιογραφίας".