Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (μέρος β)

(...συνέχεια από το προηγούμενο)

Προχωράμε λοιπόν με την συνέχεια της μετάφρασης του άρθρου του Robert Wald σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας. Αυτό το κομμάτι αφορά την εισαγωγή των βασικών μαθηματικών εννοιών της διαφορικής γεωμετρίας, που είναι απαραίτητες για την κατανόηση της γενικής σχετικότητας.


3. Διαφορική Γεωμετρία
Η γεωμετρία που χρειάζεται για την κατανόηση της γενικής σχετικότητας είναι η γενίκευση της γεωμετρίας του Riemann για μετρικές που δεν είναι θετικά ορισμένες (δικιά μου σημείωση: δηλαδή για μετρικές που η υπογραφή τους δεν είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή αν εκφράσει κανείς την μετρική σε μορφή πίνακα 4x4 και τον διαγωνιοποιήσει αυτόν τον πίνακα, τότε η υπογραφή του πίνακα είναι το πόσα πρόσημα θετικά ή αρνητικά υπάρχουν - που έχει να κάνει με τις ιδιοτιμές του πίνακα - , έτσι αν όλα τα πρόσημα είναι θετικά τότε ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος, αν είναι όλα αρνητικά είναι αρνητικά ορισμένος, ενώ αν είναι κάποια θετικά και κάποια αρνητικά είναι μη-θετικά ορισμένος. Οι γεωμετρίες του Riemann έχουν θετικά ορισμένες μετρικές ενώ οι μετρικές με υπογραφή 1 αρνητικό και 3 θετικά λέγονται Lorentzian). Ευτυχώς, οι σημαντικές αλλαγές στην μαθηματική περιγραφή που προκύπτει από την παραπάνω γενίκευση, είναι λίγες. Κατά συνέπεια, τα περισσότερα διαισθητικά στοιχεία που έχει κανείς από την κατανόηση των δισδιάστατων επιφανειών Riemann από την καθημερινότητα - όπως είναι η επιφάνεια μιας πατάτας - μπορούν συνήθως να επεκταθούν και στην γενική σχετικότητα. Παρόλα αυτά, δύο σημαντικά σημεία πρέπει να προσεχθούν: (1) Τα περισσότερα διαισθητικά στοιχεία που έχουν οι περισσότεροι άνθρωποι γύρω από το θέμα της καμπυλότητας μιας δισδιάστατης επιφάνειας προκύπτουν από τον τρόπο που αυτή η επιφάνεια είναι εμβαπτισμένη μέσα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Αυτή η έννοια της "εξωτερικής καμπυλότητας" πρέπει να διαχωριστεί από την έννοια της "εσωτερικής καμπυλότητας" ενός χώρου που έχει να κάνει με, για παράδειγμα, την αποτυχία δύο αρχικά παράλληλων γεωδαισιακών της επιφάνειας να παραμείνουν παράλληλες. Για την γενική σχετικότητα, η έννοια που μας ενδιαφέρει είναι αυτή της εσωτερικής καμπυλότητας. (2) Ένα νέο χαρακτηριστικό που εμφανίζεται στην περίπτωση των μη-θετικά ορισμένων μετρικών είναι η παρουσία φωτοειδών (null) διανυσμάτων, δηλαδή μη μηδενικών διανυσμάτων των οποίων το "μήκος" (το μέτρο) είναι μηδέν. Η όποια προσπάθεια να εφαρμόσει κανείς την διαίσθησή του σε φωτοειδή διανύσματα ή φωτοειδείς επιφάνειας (δηλαδή επιφάνειες που είναι παντού ορθογώνιες ένα φωτοειδές διάνυσμα) μπορεί να οδηγήσει σε σοβαρά λάθη.
Όταν διδάσκω γενική σχετικότητα είτε σε προπτυχιακό είτε σε μεταπτυχιακό επίπεδο, τονίζω στους φοιτητές ότι μία από τις κύριες προκλήσεις που έχουν να αντιμετωπίσουν είναι να "ξε-μάθουν" κάποιες από τις βασικές λάθος αντιλήψεις που έχουν για την φύση του χώρου και του χρόνου που έχουν μάθει σχεδόν από την εποχή που πήγαιναν σχολείο ή ακόμα και νωρίτερα. Συζητήσαμε πιο πριν μια τέτοια λάθος αντίληψη (στην προηγούμενη ανάρτηση), την έννοια του απόλυτου ταυτόχρονου. Γενικά, οι φοιτητές που παρακολουθούν μαθήματα γενικής σχετικότητας έχουν μια προηγούμενη επαφή με την ειδική σχετικότητα και άρα γνωρίζουν, μέχρι ένα σημείο, ότι δεν υπάρχει η έννοια αυτή στην ειδική σχετικότητα. Από την άλλη όμως, πολύ λίγοι φοιτητές έχουν επαφή με την ιδέα ότι στην φύση τα σημεία στο χώρο ή τα γεγονότα στον χωροχρόνο δεν διαθέτουν κάποια φυσική δομή διανυσματικού χώρου. Πράγματι, η έννοια του διανύσματος εισάγετε πολύ νωρίς κατά την εκπαίδευση των φοιτητών μέσω της έννοιας του "διανύσματος θέσης" το οποίο αποτελεί μια αναπαράσταση κάποιου σημείου στο χώρο. Οι φοιτητές διδάσκονται ότι αν θεωρήσουμε ένα σημείο ως "αρχή", τότε έχει νόημα να προσθέτει κανείς και να πολλαπλασιάζει με αριθμούς σημεία στο χώρο (μέσω διανυσμάτων θέσης). Η μόνη σημαντική διαφορά που εισάγει η ειδική σχετικότητα είναι η γενίκευση αυτής της δομής από χώρο σε χωροχρόνο: στην ειδική σχετικότητα το διάνυσμα θέσης $$\reverse\opaque \small \vec{x}$$ που αναπαριστά ένα σημείο στο χώρο, αντικαθίσταται από το τετράνυσμα $$\reverse\opaque \small x^{\mu}$$ που αναπαριστά ένα γεγονός στο χωροχρόνο. Κανείς μπορεί να προσθέτει και να πολλαπλασιάζει με αριθμούς τετρανύσματα στην ειδική σχετικότητα με τον ίδιο τρόπο που μπορεί να το κάνει και στην προ-σχετικιστική φυσική.
Αυτή η κατάσταση αλλάζει δραματικά στην γενική σχετικότητα, αφού η ιδιότητα του χώρου ή του χωροχρόνου να έχουν τη δομή διανυσματικού χώρου εξαρτάται απόλυτα από το αν ο χώρος ή ο χωροχρόνος έχει επίπεδη γεωμετρία. Στην γενική σχετικότητα, έχει τόσο νόημα το να προσθέσει κανείς δύο σημεία του χωροχρόνου όσο νόημα έχει να προσπαθήσει να προσθέσει δύο σημεία στην επιφάνεια μιας πατάτας.
Πως προχωράει λοιπόν κανείς στο να ορίσει με μαθηματική ακρίβεια τη γεωμετρία ενός χωροχρόνου στη γενική σχετικότητα - ή την γεωμετρία της επιφάνειας μιας πατάτας; Η έννοια της "συνάρτησης απόστασης" ανάμεσα σε δύο διαφορετικά σημεία μπορεί να ορισθεί για την επιφάνεια μιας πατάτας, όπως μπορεί να ορισθεί και η έννοια του "χωροχρονικού διαστήματος" ανάμεσα σε δύο γεγονότα του χωροχρόνου (που έχουν πεπερασμένη απόσταση, αλλά δεν είναι και πολύ μακρυά - σημείωση δικιά μου: υπάρχει λόγος που δεν θέλεις γενικά να είναι και πολύ μακρυά, αλλά το θέμα είναι τεχνικό) στη γενική σχετικότητα, αλλά θα ήταν αρκετά περίπλοκο να βασίσει κανείς μια γεωμετρική περιγραφή αυτών των οντοτήτων σε τέτοιες έννοιες. Μια πολύ καλύτερη ιδέα είναι να δουλέψει κανείς με απειροστά διαστήματα, εκμεταλλευόμενος την ιδέα ότι σε αρκετά μικρές κλίμακες μια καμπυλωμένη γεωμετρία μοιάζει σχεδόν επίπεδη. Έτσι, οι αποκλίσεις από την επιπεδότητα μπορούν να περιγραφούν με την βοήθεια του διαφορικού λογισμού. Για να προχωρήσει λοιπόν κανείς, ορίζει αρχικά την έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος για να περιγράψει την απειροστή απομάκρυνση από ένα σημείο $$\reverse\opaque p$$. Το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων στο $$\reverse\opaque p$$ μπορεί να έχει τη δομή ενός διανυσματικού χώρου, αλλά στην καμπυλωμένη γεωμετρία, ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο $$\reverse\opaque p$$ δεν μπορεί να συγκριθεί απευθείας με ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα άλλο σημείο $$\reverse\opaque q$$. Αφού έχει μιλήσει κανείς για τα εφαπτόμενα διανύσματα στο $$\reverse\opaque p$$, μπορεί να χρησιμοποιήσει τεχνικές από την γραμμική άλγεβρα για να ορίσει την πιο γενική έννοια του τανυστή στο $$\reverse\opaque p$$. Ένα ιδιαίτερα σημαντικό παράδειγμα τανυστικού πεδίου (δηλαδή ενός τανυστή που ορίζεται για κάθε σημείο $$\reverse\opaque p$$) είναι ο μετρικός τανυστής, που ορίζει απλά το (όχι απαραίτητα θετικά ορισμένο) εσωτερικό γινόμενο των εφαπτόμενων διανυσμάτων (όπως θα δούμε παρακάτω). Όταν ένας μετρικός τανυστής υπάρχει, δίνει μια "φυσική" έννοια διαφόρισης (παραγώγου) των τανυστικών πεδίων. Αυτή η έννοια της παραγώγου επιτρέπει τον ορισμό της έννοιας της γεωδαισιακής (ως η καμπύλη που είναι όσο πιο "ίσια" γίνεται) και της καμπυλότητας - που μπορεί να ορισθεί ως η αποτυχία των παράλληλων γεωδαισιακών να παραμείνουν παράλληλες ή πιο άμεσα ως η αποτυχία των διαδοχικών παραγωγίσεων των τανυστικών πεδίων να μετατίθενται.
Ας εξηγήσουμε τώρα πιο αναλυτικά τι χρειάζεται για να εισάγει κανείς τις παραπάνω βασικές έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας με μαθηματικά ακριβή τρόπο. Αρχικά, χρειαζόμαστε έναν μαθηματικά ακριβή ορισμό της έννοιας του "συνόλου των σημείων" από τα οποία αποτελείται ο χωροχρόνος (ή μια επιφάνεια στην γεωμετρία). Η κατάλληλη έννοια είναι αυτή της πολλαπλότητας, δηλαδή η έννοια ενός συνόλου που "μοιάζει" στον $$\reverse\opaque R^n$$ σε ότι αφορά τις ιδιότητες διαφορισημότητας που έχει, αλλά δεν έχει μετρική ή άλλη δομή. Άρα τα σημεία μιας n-διάστατης πολλαπλότητας μπορούν να ταυτοποιηθούν τοπικά με τις συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small (x^1,\ldots,x^n)$$, αλλά αυτές οι συντεταγμένες είναι αυθαίρετες και μπορούν να αντικατασταθούν από οποιεσδήποτε άλλες συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small (x'^1,\ldots,x'^n)$$ που σχετίζονται όμως με τις συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small (x^1,\ldots,x^n)$$ με ομαλό τρόπο (χωρίς ανωμαλίες). Ένας πιο ακριβής ορισμός μιας n-διάστατης πολλαπλότητας είναι το να την ορίσει κανείς ως ένα σύνολο που μπορεί τοπικά να καλυφθεί από συστήματα συντεταγμένων όπως τα παραπάνω που ικανοποιούν κατάλληλες συνθήκες συμβατότητας στις περιοχές που επικαλύπτονται (δικό μου σχόλιο: δηλαδή, πολλαπλότητα είναι ένα σύνολο για το οποίο υπάρχουν τοπικά απεικονίσεις - ομομορφισμοί- που απεικονίζουν κάθε σημείο μιας περιοχής του συνόλου σε κάποιο σημείο μιας περιοχής του $$\reverse\opaque R^n$$, οι απεικονίσεις αυτές ονομάζονται χάρτες και αποτελούν ουσιαστικά τα συστήματα που ορίζουν οι παρατηρητές, το σύνολο των χαρτών που καλύπτει όλη την πολλαπλότητα λέγεται Άτλας, αν στις περιοχές που επικαλύπτονται δύο χάρτες υπάρχουν απεικονίσεις που πάνε από τα σημεία της περιοχής $$\reverse\opaque V^1$$ της πρώτης απεικόνισης στον $$\reverse\opaque R^n$$ στην περιοχή $$\reverse\opaque V^2$$ της δεύτερης απεικόνισης στον $$\reverse\opaque R^n$$ και οι απεικονίσεις αυτές είναι διαφορίσιμες τότε λέμε ότι έχουμε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα).
Δυστυχώς δεν είναι τόσο εύκολο όσο θα νόμιζε κανείς να δοθεί ένας μαθηματικά ακριβής ορισμός του "εφαπτόμενου διανύσματος". Ο πιο κομψός τρόπος για να το ορίσει κανείς είναι αν το ορίσει ως έναν τελεστή κατευθυνόμενης παραγώγου που δρα πάνω σε συναρτήσεις. Αυτός ο ορισμός έχει το πλεονέκτημα ότι δηλώνει καθαρά το τι είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα χωρίς να χρειάζεται να ορίσει έξτρα έννοιες όπως είναι μια βάση ενός συστήματος συντεταγμένων. Ουσιαστικά, όλα τα σύγχρονα βιβλία μαθηματικών ορίζουν τα εφαπτόμενα διανύσματα με αυτό τον τρόπο. Πάντως, οι περισσότεροι φοιτητές δεν βρίσκουν αυτόν τον ορισμό ιδιαίτερα διαισθητικό.
Ένας πιο διαισθητικός τρόπος να ορισθούν αυτά τα πράγματα είναι να θεωρήσει αρχικά κανείς μια καμπύλη, η οποία προσδιορίζεται από τις συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small x^{\mu}(t)$$ των σημείων της ως συναρτήσεις την παραμέτρου t. Τότε, στο σημείο $$\reverse\opaque \small x^{\mu}(t)$$ της καμπύλης για κάποιο συγκεκριμένο t, μπορεί να ορίσει κανείς το εφαπτόμενο διάνυσμα ως την συλλογή των n αριθμών $$\reverse\opaque \small (dx^1/dt,\ldots,dx^n/dt)$$. Οι γραμμές των συντεταγμένων (οι καμπύλες όπου όλες οι συντεταγμένες εκτός από μία είναι σταθερές δηλαδή) είναι και αυτές καμπύλες και η εφαπτόμενη στην μ-οστή συντεταγμένη θα δίνεται από το $$\reverse\opaque \small (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$$, όπου το 1 είναι στην μ-οστή θέση. Με αυτό τον τρόπο μπορεί να δει κανείς τις εφαπτόμενες στις γραμμές των συντεταγμένων σε κάθε σημείο ως μια βάση για τα εφαπτόμενα διανύσματα στο ίδιο σημείο. Άρα, για μια τυχαία καμπύλη $$\reverse\opaque \small x^{\mu}(t)$$, μπορεί κανείς να θεωρήσει το $$\reverse\opaque \small (dx^1/dt,\ldots,dx^n/dt)$$ ως τις συνιστώσες του εφαπτόμενου διανύσματος όπως εκφράζονται στη συγκεκριμένη βάση. Φυσικά αν επιλέξει κανείς ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων, οι συνιστώσες αυτές θα μετασχηματιστούν σύμφωνα με τον νόμο του μετασχηματισμού των διανυσμάτων που μπορεί εύκολα να προκύψει από τον κανόνα της αλυσίδας στις παραγωγίσεις.
Ένας πιο ευθύς τρόπος να ορίσει κανείς το εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο, που συνάδει με όσα αναφέρθηκαν προηγουμένως, είναι να το ορίσει κατευθείαν ως μια συλλογή από n αριθμούς που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων και μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον μετασχηματισμό των διανυσμάτων όταν έχουμε αλλαγή του συστήματος των συντεταγμένων (δικό μου σχόλιο: κάτι που είναι ο συνήθης τρόπος ορισμού στα βιβλία και στη διδασκαλία του μαθήματος στην Αθήνα). Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει τον ορισμό του εφαπτόμενου σε μια πρόταση και έτσι μπορεί κανείς να προχωρήσει σε άλλα θέματα. Αυτός ο ορισμός υπάρχει στα περισσότερα βιβλία μαθηματικών που έχουν γραφεί πριν τα μέσα του 20ου αιώνα καθώς και στα περισσότερα βιβλία γενικής σχετικότητας που έχουν γραφεί από φυσικούς. Ο ορισμός αυτός όμως, δεν είναι ιδιαίτερα διαισθητικός. Επιπλέον, με το να συνδέει κανείς την έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος με ένα σύστημα συντεταγμένων κάνει πιο δύσκολο για τους φοιτητές το να βλέπουν τα εφαπτόμενα διανύσματα με πιο γεωμετρικό και ανεξάρτητο των συντεταγμένων τρόπο.
Αφού έχουν ορισθεί τα εφαπτόμενα διανύσματα, το επόμενο βήμα είναι να ορισθούν οι τανυστές οποιασδήποτε τάξης. Αυτό γίνεται κατασκευαστικά με την βοήθεια της γραμμικής άλγεβρας. Η γραμμική άλγεβρα είναι σχετικά εύκολη σε σύγκριση με διάφορα άλλα αντικείμενα των μαθηματικών και οι φοιτητές που παρακολουθούν γενική σχετικότητα λογικά θα έχουν διδαχτεί κάποιο μάθημα γραμμικής άλγεβρας ή έστω θα έχουν κάποια επαφή με το αντικείμενο. Δυστυχώς όμως ο τρόπος που διδάσκονται οι φοιτητές το αντικείμενο αυτό δεν ταιριάζει με αυτό που χρειάζονται για την γενική σχετικότητα. Το πρόβλημα είναι ότι με τον τρόπο που διδάσκεται η γραμμική άλγεβρα, συνήθως υποβόσκει πάντα ένα θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο. Σε αυτή την περίπτωση, κανείς δουλεύει με τις συνιστώσες ενός τανυστή σύμφωνα με μια ορθοκανονική βάση. Έτσι κανείς κρύβει ουσιαστικά τον ρόλο που παίζει το εσωτερικό γινόμενο, μέσα σε άλλες κατασκευές. Ομοίως κρύβεται και η σημαντική διαφορά ανάμεσα στα διανύσματα και τα δυικά τους διανύσματα. Στην γενική σχετικότητα, η άγνωστη ποσότητα που ψάχνουμε να προσδιορίσουμε είναι ο μετρικός τανυστής, ο οποίος εμπλέκεται στο εσωτερικό γινόμενο των εφαπτόμενων διανυσμάτων. Έτσι, είναι σημαντικό να μην έχει εισαχθεί το εσωτερικό γινόμενο από πριν στις διάφορες βασικές κατασκευές από τη γραμμική άλγεβρα που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε, έτσι ώστε ο ρόλος της μετρικής στις μετέπειτα κατασκευές που θα φτιάξουμε να φαίνεται καθαρά.
Για να προχωρήσουμε, δεδομένου ενός διανυσματικού χώρου $$\reverse\opaque V$$ πεπερασμένης διάστασης - που στην περίπτωσή μας είναι ο εφαπτόμενος χώρος στο σημείο $$\reverse\opaque p$$ - ορίζουμε τον δυικό του χώρο, $$\reverse\opaque V^*$$ ως μια συλλογή από γραμμικές απεικονίσεις από τον $$\reverse\opaque V$$ στο $$\reverse\opaque \mathbb{R}$$. Αυτό που προκύπτει είναι ότι ο $$\reverse\opaque V^*$$ είναι ένας διανυσματικός χώρος με την ίδια διάσταση με τον $$\reverse\opaque V$$, αλλά χωρίς κάποιο εσωτερικό γινόμενο, δεν υπάρχει κάποιος φυσικός τρόπος να ταυτοποιηθούν οι $$\reverse\opaque V$$ και $$\reverse\opaque V^*$$. Παρόλα αυτά, αν θεωρήσουμε μία βάση στον $$\reverse\opaque V$$, υπάρχει η αντίστοιχη βάση στον $$\reverse\opaque V^*$$. Από την στιγμή που ο $$\reverse\opaque V^*$$ είναι διανυσματικός χώρος, μπορούμε και πάλι να θεωρήσουμε τον δυικό του χώρο, παράγοντας έτσι το "διπλά δυικό" χώρο, $$\reverse\opaque V^{**}$$, του $$\reverse\opaque V$$. Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι υπάρχει φυσικός τρόπος να ταυτιστεί ο $$\reverse\opaque V^{**}$$ με τον $$\reverse\opaque V$$.
Μετά τους παραπάνω ορισμούς, ένας τανυστής τύπου (k,l) μπορεί να ορισθεί ως μία πολυ-γραμμική (multilinear) απεικόνιση η οποία απεικονίζει k-στοιχεία του $$\reverse\opaque V^*$$ και l-στοιχεία του $$\reverse\opaque V$$ στο $$\reverse\opaque \mathbb{R}$$. Εξαιτίας του ισομορφισμού που υπάρχει ανάμεσα στον $$\reverse\opaque V$$ και τον $$\reverse\opaque V^*$$, οι τανυστές κάποιου συγκεκριμένου τύπου μπορούν να ειδωθούν και με άλλους ισοδύναμους τρόπους. Για παράδειγμα, οι τανυστές τύπου (1,1) είναι ισόμορφοι με τον διανυσματικό χώρο των γραμμικών απεικονίσεων από τον $$\reverse\opaque V$$ στον $$\reverse\opaque V$$ και είναι και ισόμορφοι με τον διανυσματικό χώρο των γραμμικών απεικονίσεων από τον $$\reverse\opaque V^*$$ στον $$\reverse\opaque V^*$$. Υπάρχουν δύο βασικές πράξεις που μπορεί να κάνει κανείς με τους τανυστές: η "συστολή" και το "τανυστικό γινόμενο". Όλες οι γνωστές πράξεις μπορούν να εκφραστούν ως συνδυασμοί αυτών των δύο. Για παράδειγμα, η σύνθεση δύο γραμμικών απεικονίσεων μπορεί να εκφραστεί ως "τανυστικό γινόμενο" των αντίστοιχων τανυστών και μιας "συστολής" (δικό μου σχόλιο: στο συμβολισμό με τους δείκτες, ένας τανυστής τύπου (1,1) που αναφέρθηκε και παραπάνω, μπορεί να γραφεί ως $$\reverse\opaque \small \delta_b^a$$. Αυτός ο τανυστής είναι μια γραμμική απεικόνιση σαν αυτές που αναφέρονται παραπάνω. Η σύνθεση δύο τέτοιων απεικονίσεων θα εκφραζόταν ως, ένα τανυστικό γινόμενο $$\reverse\opaque \small \delta_c^a \delta_b^d$$ που είναι τύπου (2,2) και ως μία συστολή στους δείκτες c και d, δηλαδή $$\reverse\opaque \small \delta_c^a \delta_b^c$$ που είναι πάλι τανυστής τύπου (1,1)).
Όλες οι παραπάνω κατασκευές και οι ιδιότητές τους μπορούν να στηθούν και να επαληθευτούν απευθείας. Οι περισσότεροι όμως φοιτητές δεν είναι συνηθισμένοι να ξεχωρίζουν τα δυικά διανύσματα από τα διανύσματα. Πράγματι, στα συνήθη πλαίσια, όπου κανείς έχει μια θετικά ορισμένη μετρική, όχι μόνο μπορεί κανείς να ταυτίσει τον $$\reverse\opaque V$$ με τον $$\reverse\opaque V^*$$, αλλά προκύπτει και ότι για μία δεδομένη ορθοκανονική βάση, οι συνιστώσες ενός διανύσματος είναι ίσες με τις αντίστοιχες συνιστώσες του δυικού του διανύσματος στην αντίστοιχη δυική βάση. Οι φοιτητές νιώθουν ότι γνωρίζουν γραμμική άλγεβρα και βαριούνται και γίνονται ανυπόμονοι αν κανείς προσπαθήσει να εισάγει τα παραπάνω αναλυτικά. Σε τελική ανάλυση πήραν το μάθημα για να μάθουν για τις επαναστατικές ιδέες του Αϊνστάιν για τον χώρο, τον χρόνο και την βαρύτητα και όχι για να μάθουν γιατί ένας διανυσματικός χώρος είναι ισομορφικός στον διπλά-δυικό του χώρο. Αλλά, αν οι παραπάνω ιδέες δεν εξηγηθούν προσεκτικά, οι φοιτητές είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα μπερδευτούν στη συνέχεια. Στα 30 χρόνια που διδάσκω γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό επίπεδο, δεν έχω καταφέρει να βρω μια ικανοποιητική λύση σ'αυτό το πρόβλημα και πάντα η συζήτηση γύρω από τους τανυστές ήταν το "ναδίρ" του μαθήματος.
Πολλές φορές η πρακτική που ακολουθείται είναι να προσπερνά κανείς την παραπάνω συζήτηση για τους τανυστές δουλεύοντας κατευθείαν με τα στοιχεία ενός τανυστή σε κάποια βάση που σχετίζεται με κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Αν ορίσει κανείς τον νόμο του μετασχηματισμού των συνιστωσών ενός διανύσματος κάτω από μετασχηματισμούς συντεταγμένων, μπορεί να παράγει τον νόμο μετασχηματισμού των δυικών διανυσμάτων και από εκεί να ορίσει τον νόμο μετασχηματισμού γενικών τανυστών τύπου (k,l). Τότε μπορεί κανείς να ορίσει έναν τανυστή τύπου (k,l) ως ένα αντικείμενο σε μία n-διάστατη πολλαπλότητα του οποίου τα $$\reverse\opaque \small n^{k+l}$$ στοιχεία είναι αριθμοί που σχετίζονται με μια συγκεκριμένη βάση και τα οποία μετασχηματίζονται κάτω από αλλαγές συντεταγμένων σύμφωνα με τον μετασχηματισμού γενικών τανυστών. Αυτή η προσέγγιση ακολουθείται σε πολλά βιβλία μαθηματικών γραμμένα πριν τα μέσα του 20ου αιώνα και σε αρκετά σημερινά βιβλία γενικής σχετικότητας. Έχει το πλεονέκτημα ότι έτσι μπορεί κανείς να προχωρήσει γρήγορα σε άλλα θέματα, χωρίς να πρέπει να αφιερώσει πολύ χρόνο στους τανυστές. Έχει όμως το προφανές μειονέκτημα, ότι αν και οι φοιτητές μπορεί να εκπαιδευτούν να χρησιμοποιούν σωστά τους τανυστές, τελικά καταλήγουν να μην έχουν καταλάβει τι ακριβώς είναι.
Μια μετρική,$$\reverse\opaque g$$, σε έναν διανυσματικό χώρο $$\reverse\opaque V$$ μπορεί να ορισθεί ως ένας τανυστής τύπου (0,2) που δεν είναι εκφυλισμένος, με την έννοια ότι το μόνο διάνυσμα $$\reverse\opaque \upsilon \in V$$ που ικανοποιεί την $$\reverse\opaque \small g(\upsilon,w)=0$$ για κάθε $$\reverse\opaque w \in V$$ είναι το μηδενικό διάνυσμα. Έτσι ορισμένη, μια μετρική μπορεί να ιδωθεί ως ένας ισομορφισμός από τον $$\reverse\opaque V$$ στον $$\reverse\opaque V^*$$. Αν η μετρική είναι θετικά ορισμένη, τότε λέγεται Riemannian, ενώ όταν είναι αρνητικά ορισμένη σε έναν μονοδιάστατο υπόχωρο και θετικά ορισμένη στον τρισδιάστατο υπόχωρο που είναι ορθογώνιος στον προηγούμενο μονοδιάστατο υπόχωρο, τότε λέγεται Lorentzian. Οι Riemannian μετρικές περιγράφουν τις συνηθισμένες καμπύλες γεωμετρίες, όπως η επιφάνεια μιας πατάτας (ή μιας σφαίρας), ενώ οι Lorentzian μετρικές περιγράφουν τους καμπύλους χωροχρόνους της γενικής σχετικότητας.
Κατά τα τελευταία 50 χρόνια, ένα μεγάλο πολιτισμικό χάσμα έχει ανοίξει ανάμεσα στους μαθηματικούς και τους φυσικούς σε ότι αφορά τον συμβολισμό που χρησιμοποιείται για τους τανυστές. Ο παραδοσιακός συμβολισμός - που χρησιμοποιείται ακόμα από τους φυσικούς - απεικονίζει έναν τανυστή, $$\reverse\opaque T$$, τύπου (k,l) χρησιμοποιώντας τα στοιχεία του $$\reverse\opaque T^{\mu_1\ldots\mu_k}_{\nu_1\ldots\nu_l}$$, όπου οι πάνω δείκτες αντιστοιχούν σε διανυσματικούς δείκτες (ανταλλοίωτοι δείκτες) και οι κάτω δείκτες αντιστοιχούν σε δυικούς δείκτες (συναλλοίωτους δείκτες). Αυτός ο συμβολισμός έχει το πλεονέκτημα ότι οι βασικές πράξεις με τανυστές - όπως είναι τα τανυστικά γινόμενα και η συστολή δεικτών - γίνονται πολύ εύκολα και καθαρά. Ο ισομορφισμός ανάμεσα σε διανύσματα και δυικά διανύσματα που ορίζεται με την βοήθεια της μετρικής μπορεί επίσης να παρουσιαστεί πολύ όμορφα με αυτό το συμβολισμό ανεβάζοντας και κατεβάζοντας δείκτες με την μετρική. Παρόλα αυτά, ο συγκεκριμένος συμβολισμός αναγκάζει κανέναν να σκέφτεται τους τανυστές με όρους συνιστωσών παρά ως γεωμετρικά αντικείμενα που δεν χρειάζονται κάποιο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Για αυτό το λόγο, ουσιαστικά όλα τα μοντέρνα βιβλία μαθηματικών ακολουθούν μια παρουσίαση των τανυστών χωρίς δείκτες. Αυτός ο συμβολισμός αναδεικνύει την ανεξάρτητη των συντεταγμένων φύση των τανυστών, αλλά κάνει αρκετά περίπλοκη την παρουσίαση ακόμα και μετρίως περίπλοκων πράξεων. Κατά την γνώμη μου, ένας πολύ καλός συμβιβασμός ανάμεσα στις δύο οπτικές είναι να εφαρμόσει κανείς έναν "αφηρημένο συμβολισμό με δείκτες", ο οποίος διατηρεί τις ευκολίες του συμβολισμού με τους δείκτες, αλλά ένα σύμβολο της μορφής $$\reverse\opaque T^{\mu_1\ldots\mu_k}_{\nu_1\ldots\nu_l}$$ θεωρείται ότι απεικονίζει τον τανυστή και όχι τα στοιχεία του.
Αφού έχουμε ορίσει τους τανυστές σε κάποιο γενικό διανυσματικό χώρο, μπορουμε να επιστρέψουμε στα πλαίσια της πολλαπλότητας και να ορίσουμε ένα τανυστικό πεδίο τύπου (k,l) ως την ανάθεση ενός τανυστή τύπου (k,l) στον εφαπτόμενο χώρο κάθε σημείου της πολλαπλότητας. Το επόμενο σημείο κλειδί είναι να ορίσουμε μία έννοια διαφόρισης των τανυστικών πεδίων. Η έννοια της διαφόρισης των τανυστικών πεδίων είναι μη τετριμμένη γιατί σε μια πολλαπλότητα $$\reverse\opaque M$$ δεν υπάρχει κάποιος φυσικός τρόπος για να ταυτοποιήσουμε τον εφαπτόμενο χώρο σε ένα σημείο $$\reverse\opaque p$$ με τον εφαπτόμενο χώρο σε ένα σημείο σε ένα διαφορετικό σημείο $$\reverse\opaque q$$ και έτσι, δεν μπορεί να πάρει κανείς απλά τη διαφορά ανάμεσα σε δύο τανυστές στα $$\reverse\opaque p$$ και $$\reverse\opaque q$$ και μετά να πάρει το όριο καθώς το $$\reverse\opaque q$$ πλησιάζει στο $$\reverse\opaque p$$. Για την ακρίβεια, αν δεν είχαμε και άλλη δομή εκτός από αυτή της πολλαπλότητας, τότε δεν θα υπήρχε μοναδικός τρόπος να ορισθεί η διαφόριση. Για την ακρίβεια θα υπήρχε μια ολόκληρη κλάση από τρόπους για να ορίσει κανείς την παράγωγο των τανυστικών πεδίων. Αυτές οι διαφορετικές παραγωγίσεις μπορούν να περιγραφούν απευθείας εισάγοντας αξιώματα για την έννοια του τελεστή της παραγώγου, ή ισοδύναμα, εισάγοντας μια έννοια "παράλληλης μετατόπισης" κατά μήκος μιας καμπύλης. Στις μαθηματικές παρουσιάσεις του αντικειμένου, η έννοια της παράλληλης μετατόπισης εισάγεται σε ένα πιο γενικό πλαίσιο όπου έχεις μια "συνοχή" σε μια "εφαπτόμενη δέσμη". Η γενικές έννοιες των εφαπτόμενων δεσμών και των συνοχών έχουν πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά και τη φυσική (ειδικότερα στην περιγραφή των θεωριών βαθμίδας), αλλά θα απαιτούσε μια αρκετά πιο εκτεταμένη μαθηματική εισαγωγή προκειμένου να κάνει κανείς μια γενική συζήτηση αυτών των θεμάτων σε ένα μάθημα γενικής σχετικότητας, ακόμα και σε μεταπτυχιακό επίπεδο.
Αν και δεν υπάρχει λοιπόν κάποιος μοναδικός ορισμός της παραγώγου ενός τανυστή σε κάποιο γενικό πλαίσιο, όταν υπάρχει κάποια μετρική μια μοναδική έννοια παραγώγισης αναδεικνύεται αν κανείς απαιτήσει επιπλέον η παράγωγος της μετρικής να κάνει μηδέν. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία (ή στην ειδική σχετικότητα) αυτή η έννοια της παραγώγισης των τανυστών αντιστοιχεί στην μερική παραγώγιση των συνιστωσών του τανυστή στις καρτεσιανές συντεταγμένες (ή σε καθολικά αδρανειακές συντεταγμένες). Σε μη επίπεδες γεωμετρίες όμως, αυτή η έννοια της παραγώγου - που αποκαλείται συναλλοίωτη παράγωγος - δεν αντιστοιχεί στην μερική παραγώγιση των συνιστωσών (στοιχείων) των τανυστών σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων.
Από την στιγμή που έχει ορισθεί η παραγώγιση των τανυστών, μια γεωδαισιακή μπορεί να ορισθεί ως μία καμπύλη της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα μεταφέρεται παράλληλα κατά μήκος της καμπύλης, δηλαδή η συναλλοίωτη παράγωγος του εφαπτόμενου διανύσματος κατά μήκος του ίδιου του εφαπτόμενου διανύσματος μηδενίζεται (δηλαδή, $$\reverse\opaque u^a\nabla_au^b=0$$). Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς στην Riemannian γεωμετρία ότι μια καμπύλη με δεδομένα άκρα είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν έχει ακρότατο μήκος (μέγιστο ή ελάχιστο) σε σχέση με μεταβολές της καμπύλης που κρατάνε σταθερά όμως τα ακραία σημεία. Αντιστοίχως, σε Lorentzian γεωμετρία, μια χρονοειδής γεωδαισιακή (δηλαδή μια γεωδαισιακή της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα έχει παντού αρνητικό μέτρο με βάση την μετρική του χωροχρόνου) μπορεί να χαρακτηριστεί ως ακρότατο του ιδιόχρονου $$\reverse\opaque \tau$$ που έχει διανυθεί κατά μήκος της καμπύλης. Αν η καμπύλη δίνεται στις συντεταγμένες $$\reverse\opaque x^{\mu}$$ από τις εκφράσεις $$\reverse\opaque x^{\mu}(t)$$, τότε ο ιδιόχρονος $$\reverse\opaque \tau$$ δίνεται από την έκφραση:
$$\reverse\opaque \small \tau=\int^a_b\sqrt{-\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dx^{\nu}}{dt}}dt$$. (2)
Αφού έχουν εισαχθεί οι παραπάνω έννοιες, η καμπυλότητα μπορεί να ορισθεί με τους τρεις παρακάτω ισοδύναμους τρόπους: (1) Το πόσο αποτυγχάνουν οι διαδοχικές συναλλοίωτες παραγωγίσεις των τανυστικών πεδίων να μετατύθενται, (2) Το πόσο αποτυγχάνει ένα διάνυσμα, που με παράλληλη μετατόπιση κινείται κατά μήκος μια απειροστής κλειστής καμπύλης, να συμπίπτει με την αρχική του τιμή, (3) Το πόσο αποτυγχάνουν αρχικά παράλληλες γεωδαισιακές, που έχουν απειροστή απόσταση μεταξύ τους, να παραμένουν παράλληλες. Η καμπυλότητα περιγράφεται από ένα τανυστικό πεδίο τύπου (1,3), που ονομάζεται τανυστής καμπυλότητας του Riemann. Αφού έχει ορισθεί και ο τανυστής του Riemann, έχουμε πια διαθέσιμα όλα τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία για να διατυπώσουμε την θεωρία της γενικής σχετικότητας.


(συνέχεια στο επόμενο...)