Τετάρτη, 5 Σεπτεμβρίου 2012

Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (μέρος γ)

(...συνέχεια από το προηγούμενο)

Και προχωράμε στο τρίτο και τελευταίο κομμάτι της μετάφρασης του άρθρου του Robert Wald σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας. Αυτό το κομμάτι αφορά την διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό και μεταπτυχιακό επίπεδο.


4. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε προπτυχιακό επίπεδο
Ευτυχώς, δεν υπάρχουν ιδιαίτερα προαπαιτούμενα μαθήματα για ένα προπτυχιακό μάθημα γενικής σχετικότητας. Φυσικά είναι απαραίτητο οι φοιτητές να έχουν κάποια επαφή με την ειδική σχετικότητα, γιατί διαφορετικά τα εννοιολογικά εμπόδια που θα πρέπει να ξεπεράσουν ίσως είναι πολύ μεγάλα για κάποιον που δεν έχει καμία επαφή με το αντικείμενο. Παρόλα αυτά, θα ήταν αρκετή η επαφή και μόνο που έχει κανείς με την ειδική σχετικότητα στα πλαίσια ενός μαθήματος βασικής φυσικής του 1ου έτους. Είναι σημαντικό οι φοιτητές να έχουν διδαχτεί κλασική μηχανική και να έχουν επαφή με τις γενικευμένες συντεταγμένες και τον φορμαλισμό και τις μεταβολές των Euler-Lagrange. Θα ήταν ακόμα χρήσιμο (αν και όχι απαραίτητο) να έχουν διδαχτεί οι φοιτητές ηλεκτρομαγνητισμό, αφού κανείς θα πρέπει να έχει πρώτα κατανοήσει το τι είναι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα πριν προσπαθήσει να καταλάβει το τι είναι το βαρυτικό κύμα.
Η διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό επίπεδο κρύβει πολλές προκλήσεις, ειδικά αν το μάθημα έχει διάρκεια ενός εξαμήνου. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα δεν υπάρχει αρκετός χρόνος για να εισαχθούν σωστά τα απαραίτητα μαθηματικά που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Ακόμα και σε ένα ετήσιο μάθημα, δεν θα ήταν καλή ιδέα να προσπαθήσει κανείς να φορτώσει την πρώτη φάση του μαθήματος με όλο αυτό το υλικό από τα μαθηματικά, αφού αν το έκανε κανείς θα κατέληγε με μια τάξη σχεδόν χωρίς φοιτητές την στιγμή που θα έφτανε στις ενδιαφέρουσες φυσικές εφαρμογές της γενικής σχετικότητας.
Προφανώς, το λογικό είναι να ξεκινήσει κανείς ένα προπτυχιακό μάθημα με μια περίληψη της ειδικής σχετικότητας, κατά προτίμηση δίνοντας έμφαση στην γεωμετρική προσέγγιση όπως παρουσιάστηκε στην 2η ενότητα. Ακόμα, θα ήταν καλό να προσπαθήσει να κάνει κανείς μια ποιοτική παρουσίαση των βασικών εννοιών της γενικής σχετικότητας στην αρχή, και πάλι όπως παρουσιάστηκε στη 2η ενότητα. Από εκεί και πέρα, για να προχωρήσει κανείς, θα πρέπει να εισαχθούν κάποια από τα στοιχεία των μαθηματικών που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 3. Κατά την γνώμη μου, τα ελάχιστα μαθηματικά που θα πρέπει να εισαχθούν είναι, (i) Μια σαφής εξήγηση του γεγονότος ότι ο χωροχρόνος δεν έχει τη δομή διανυσματικού χώρου και το ότι οι συντεταγμένες, $$\reverse\opaque \small x^{\mu}$$, δεν έχουν κανένα ιδιαίτερο φυσικό νόημα και αποτελούν απλά "ετικέτες" για τα χωροχρονικά γεγονότα. (ii) Η έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος σε μια καμπύλη, όπως παρουσιάστηκε στην 3η ενότητα. (iii) Η έννοια της μετρικής του χωροχρόνου ως ένα εσωτερικό γινόμενο για εφαπτόμενα διανύσματα και πως χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ιδιόχρονου $$\reverse\opaque \small \tau$$ κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης. (iv) Η έννοια της χρονοειδούς γεωδαισιακής ως μια καμπύλη που έχει ακρότατο $$\reverse\opaque \small \tau$$. Από εκεί και πέρα, η γεωδαισιακή εξίσωση μπορεί να εξαχθεί με την βοήθεια του λογισμού των μεταβολών κατά Euler-Lagrange (οι φωτοειδείς γεωδαισιακές μπορούν να εισαχθούν από τις χρονοειδείς παίρνοντας το κατάλληλο όριο). Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις συμμετρίες και τις διατηρήσιμες ποσότητες που ξέρουμε από την Λαγκρανζιανή μηχανική (δηλαδή τα σχετικά με το θεώρημα Noether) μεταφέρεται και στις ιδιότητες των γεωδαισιακών και άρα σε έναν χωρόχρονο με αρκετή συμμετρία, οι εξισώσεις αυτές μπορούν να λυθούν με την βοήθεια σταθερών της κίνησης.
Τα παραπάνω θα δώσουν στους φοιτητές τα απαραίτητα εργαλεία για να ερμηνεύσουν το τι είναι η μετρική του χωροχρόνου και τι φυσικές συνέπειες έχει, αφού τα βασικά πράγματα που χρειάζεται κανείς είναι (α) να μπορεί να υπολογίσει τον χρόνο που περνά κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης και (β) να μπορεί να υπολογίσει τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές (που συνιστούν τις ελεύθερες τροχιές των σωματιδίων και των φωτονίων αντίστοιχα) σε έναν χωροχρόνο. Πέρα από τα παραπάνω όμως, οι φοιτητές δεν θα μπορούν να αντιληφθούν το νόημα των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν αφού δεν θα έχουν τα απαραίτητα εργαλεία και άρα δεν θα μπορούν να παράξουν κάποια λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τις λύσεις που θα τους παρουσιαστούν και θα μελετήσουν θα πρέπει να τις δεχτούν με καλή πίστη.
Αφού έχει παρουσιαστεί το παραπάνω μαθηματικό υλικό, θα είναι σε θέση κανείς να συζητήσει της λύση του Schwarzschild (που περιγράφει το βαρυτικό πεδίο γύρω από ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα) και τις λύσεις των Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW, που περιγράφουν χωρικά ομογενείς και ισοτροπικές κοσμολογίες). Στην περίπτωση της λύσης του Schwarzschild, μπορεί να υπολογίσει κανείς τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές και άρα να υπολογίσει τις τροχιές των πλανητών και την καμπύλωση της τροχιάς του φωτός. Την λύση FLRW, μπορεί να την εισάγει κανείς βάση των συμμετριών που πρέπει να ικανοποιεί ένας τέτοιος χώρος και να την εκφράσει κανείς συναρτήσει ενός άγνωστου παράγοντα κλίμακας $$\reverse\opaque \small a(t)$$ και να δείξει πως οι αλλαγές σ'αυτόν τον παράγοντα σχετίζονται με την συστολή ή τη διαστολή του σύμπαντος. Επειδή οι εξισώσεις πεδίου δεν έχουν εισαχθεί, δεν μπορεί να υπολογίσει κανείς τις εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιεί ο παράγοντας κλίμακας, αλλά οι εξισώσεις αυτές μπορούν να δοθούν χωρίς απόδειξη και να υπολογιστούν οι διάφορες κοσμολογικές λύσεις.
Ακόμα και στην περίπτωση ενός εξαμηνιαίου μαθήματος, θα πρέπει μετά από όλα αυτά να περισσεύει ακόμα λίγος χρόνος για να συζητηθούν κάποια ακόμα βασικά θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία και η ανίχνευσή της, η ιδέα της μαύρης τρύπας όπως προκύπτει από την επέκταση της λύσης του Schwarzschild, άλλα θέματα της φυσικής των μελανών οπών και κάποια θέματα από την σύγχρονη κοσμολογία. Σε ένα μάθημα δύο εξαμήνων, κανείς θα μπορούσε να συζητήσει αναλυτικά όλα τα παραπάνω, καθώς και να εισάγει και το απαραίτητο μαθηματικό υλικό σχετικό με την καμπυλότητα το οποίο χρειάζεται για να παρουσιαστούν και οι εξισώσεις του Αϊνστάιν.

5. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό επίπεδο
Σε αντίθεση με τους προπτυχιακούς φοιτητές, στους μεταπτυχιακούς φοιτητές δεν γίνεται να μην παρουσιαστεί ο βασικός πυρήνας της θεωρίας της γενικής σχετικότητας. Έτσι, δεν μπορεί να διδαχτεί η γενική σχετικότητα χωρίς να παρουσιαστούν πλήρως οι εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν. Κατά συνέπεια, θα πρέπει να εισαχθεί η έννοια της καμπυλότητας και το σχετικό μαθηματικό υλικό.
Όποτε έχω διδάξει γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό μάθημα, έχω αφιερώσει τις πρώτες δύο εβδομάδες σε μια επανάληψη/συζήτηση της ειδικής σχετικότητας από την γεωμετρική οπτική γωνία και σε μια ποιοτική συζήτηση των θεμελιωδών αρχών που διέπουν την γενική σχετικότητα. Μετά από αυτή την εισαγωγή, προχωράω σε μια πλήρη παρουσίαση όλης της μαθηματικής ύλης που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3 και κλείνω με την εξαγωγή και τη συζήτηση των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν. Αυτό το μαθηματικό κομμάτι του μαθήματος έχει συνήθως διάρκεια περίπου 5 εβδομάδων. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα, μετά τα παραπάνω, υπάρχει χρόνος μόνο για μια επιφανειακή παρουσίαση των παρακάτω σημαντικών θεμάτων: (i) ιδιότητες της γενικής σχετικότητας στην προσέγγιση του ασθενούς πεδίου (Νευτώνειο όριο και βαρυτικά κύματα), (ii) τις FLRW λύσεις και τις βασικές τους ιδιότητες (κοσμολογική ερυθρομετάθεση, θεωρία της μεγάλης έκρηξης, κοσμολογικοί ορίζοντες)και (iii) η λύση του Schwarzschild (πλανητικές τροχιές, καμπύλωση του φωτός, η ιδιότητες της μαύρης τρύπας τύπου Schwarzschild). Πιστεύω ότι ένα μάθημα αυτού του τύπου παρέχει στους φοιτητές μια στέρεα βάση στη γενική σχετικότητα. Παρέχοντας τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία και τις βασικές ιδέες της θεωρίας, επιτρέπει στους φοιτητές να προχωρήσουν περαιτέρω στην μελέτη τους της σχετικότητας. Πάντως, ένα μάθημα αυτού του τύπου έχει το μειονέκτημα ότι ένα μεγάλο μέρος του μαθήματος αφιερώνεται στο μαθηματικό υλικό και αυτό μπορεί να απογοητεύσει κάποιους φοιτητές που θα ήθελαν να δουν περισσότερη φυσική.
Σε ένα μάθημα του ενός εξαμήνου, ο μόνος τρόπος που θα μπορούσε να εισάγει κανείς αρκετό περισσότερο υλικό φυσικής πάνω σε θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία, οι μαύρες τρύπες, η σχετικιστική αστροφυσική και η κοσμολογία, θα ήταν με το να μειώσει σημαντικά τον χρόνο που θα αφιέρωνε στα μαθηματικά. Αν κανείς εισάγει εξαρχής στον φορμαλισμό τις συντεταγμένες και δουλέψει αποκλειστικά με τα στοιχεία των τανυστών σε κάποιο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων, τότε μπορεί κανείς, όπως συζητήθηκε στην ενότητα 3, να προσπεράσει αρκετό από το υλικό σχετικά με τους τανυστές χρησιμοποιώντας απλά τον κανόνα μετασχηματισμού των τανυστών. Τότε μπορεί κανείς να εισάγει την παραγώγιση των τανυστών με τη βοήθεια των συμβόλων Christoffel, τα οποία θα εμφανίζονται ως οι «διορθωτικοί όροι» που θα πρέπει να προστεθούν στην συνήθη παράγωγο ώστε να δουλεύει και για τους τανυστές (και να ικανοποιεί δηλαδή τον μετασχηματισμό των τανυστών σε αλλαγές συντεταγμένων). Μετά μπορεί κανείς να εισάγει τον τανυστή καμπυλότητας του Riemann ως μια ποσότητα που παράγεται από τα Christofell και τις συνήθεις παραγώγους τους με τέτοιο τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να μετασχηματίζεται σαν τανυστής. Το τίμημα που πληρώνει κανείς έτσι είναι ότι χάνει την επαφή με τις βασικές γεωμετρικές ιδέες που βρίσκονται στα θεμέλια της γενικής σχετικότητας – και ειδικότερα τη διαφορά της σε σχέση με όλες τις προηγούμενες θεωρίες σε ότι αφορά την απουσία ενός σταθερού, μη-δυναμικού υποβάθρου στη δομή του χωροχρόνου – αφού αυτές οι βασικές ιδέες είναι δύσκολο να γίνουν αντιληπτές αν η θεωρία δεν διατυπωθεί με τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Επιπλέον οι φοιτητές δεν θα διαθέτουν τα μαθηματικά εργαλεία για να προχωρήσουν την μελέτη τους σε αντικείμενα που περιέχουν μεθόδους που εκμεταλλεύονται την καθολική δομή του χωροχρόνου (global methods) - όπως είναι τα singularity theorems και η γενική θεωρία των μελανών οπών – όπου και πάλι είναι σημαντικό οι διάφορες ιδέες να έχουν διατυπωθεί με ένα τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Παρόλα αυτά, αν κανείς προχωρήσει με αυτόν τον τρόπο , μπορεί να μειώσει τον χρόνο που θα ξοδέψει στα μαθηματικά κατά έναν παράγοντα του 2 ή και περισσότερο, επιτρέποντας έτσι την διάθεση περισσότερου χρόνου σε φυσικές εφαρμογές.

6. Βιβλιογραφία (Resources)
Σημείωση: Β = βασικού επιπέδου, Μ = μεσαίου επιπέδου, Π = προχωρημένου επιπέδου

6.1 Πηγές για εισαγωγική παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Relativity: The Special and the General Theory, The Masterpiece Science Edition, A. Einstein (Pi Press, New York 2005). Είναι η ανατύπωση μίας από τις πρώτες μη-τεχνικές παρουσιάσεις της ειδικής και της γενικής σχετικότητας και περιέχει και μια εισαγωγή γραμμένη από τον Penrose και σχολιασμό από τους R. Geroch και D. Cassidy. (Β)

Flat and Curved Space-Times (second edition), G.F.R. Ellis and R. Williams (Cambridge University Press, Cambridge, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει την ειδική σχετικότητα από την γεωμετρική σκοπιά και κάνει μια εισαγωγή στην γενική σχετικότητα. (Β)

General Relativity from A to B, R. Geroch (University of Chicago Press, Chicago, 1978). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εξαιρετική εισαγωγή στις βασικές ιδέες της γενική σχετικότητας από γεωμετρική σκοπιά. (Β) (δικό μου σχόλιο: το βιβλίο αυτό είναι καταπληκτικό για να εισαχθεί κανείς στην γεωμετρική εικόνα της σχετικότητας)

Gravity from the Ground Up, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 2003). Αυτό το βιβλίο έχει μια ενδιαφέρουσα συζήτηση γύρω από τη φύση της βαρύτητας στην γενική σχετικότητα και τις συνέπειες που έχει για την αστροφυσική και την κοσμολογία. (Β)

Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, E.F. Taylor and J.A. Wheeler (Addison Wesley Longman, San Francisco, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εισαγωγή στη γενική σχετικότητα και τις μαύρες τρύπες δίνοντας μεγαλύτερη βάση στην φυσική. (Β)

Black Holes and TimeWarps: Einstein’s Outrageous Legacy, K.S. Thorne (W.W. Norton, New York, 1994). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει κάποιες από τις πιο εντυπωσιακές ιδέες που έχουν προκύψει στα πλαίσια της γενικής σχετικότητας. Το βιβλίο αυτό είναι μεταφρασμένο και στα Ελληνικά. (Β)

Space, Time, and Gravity: The Theory of the Big Bang and Black Holes (second edition), R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1992). (Β)

Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test (second edition) C.M. Will (Basic Books, New York, 1993). Αυτό το βιβλίο δίνει μια αναλυτική παρουσίαση της πειραματικής και της παρατηρησιακής επαλήθευσης της γενικής σχετικότητας. Και αυτό το βιβλίο υπάρχει μεταφρασμένο στα Ελληνικά και το προτείνω ως ένα πολύ καλό ανάγνωσμα. (Β)

6.2 Πηγές για διαφορική γεωμετρία

Geometry of Manifolds, R.L. Bishop and R.J. Crittenden (American Mathematical Society, Providence, 2001). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)

Tensor Analysis on Manifolds, R.L. Bishop and S. Goldberg (Dover Publications, New York, 1987). (Μ)

Riemannian Geometry, L.P. Eisenhart (Princeton University Press, Princeton, 1997). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει την διαφορική γεωμετρία από την οπτική της επιλογής συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων. (Μ,Π)

Foundations of Differential Geometry, volumes 1 and 2, S. Kobayashi and K. Nomizu (John Wiley and Sons, New York, 1996). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)

Riemannian Manifolds : An Introduction to Curvature, J.H. Lee (Springer-Verlag, New York, 1997). (Μ)

Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, D. Lovelock and H. Rund (Dover Publications, New York, 1989). (Μ)

A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, volumes 1-5, third edition, M. Spivak (Publish or Perish Inc., Houston, 1999). (Μ)

Tensors and Manifolds: With Applications to Mechanics and Relativity, R.H. Wasserman (Oxford University Press, Oxford, 1992). Εισαγωγή στους τανυστές σε πολλαπλότητες. (Μ)

6.3 Πηγές για προπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, J.B. Hartle (Addison Wesley, San Francisco, 2003). Η φιλοσοφία στη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας στους προπτυχιακούς, που παρουσιάστηκε παραπάνω, είναι παρμένη από αυτό το βιβλίο. (Μ)

General Relativity: A Geometric Approach, M. Ludvigsen (Cambridge University Press, Cambridge, 1999). (Μ)

Relativity: Special, General, and Cosmological, W. Rindler (Oxford University Press, Oxford, 2001). (Μ)

A First Course in General Relativity, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 1985). Το βιβλίο αυτό υπάρχει και στα Ελληνικά και είναι μια αρκετά καλή εισαγωγή στη γενική σχετικότητα.(Μ)

Relativity : An Introduction to Special and General Relativity third edition, H. Stephani (Cambridge University Press, Cambridge, 2004). (Μ)

6.4 Πηγές για μεταπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, S. Carroll (Addison Wesley, San Francisco, 2004). Μια πολύ καλή και παιδαγωγική εισαγωγή στη γενική σχετικότητα. (Μ)

The Large Scale Structure of Space-time, S.W. Hawking and G.F.R. Ellis (Cambridge University Press, Cambridge, 1973). Το βιβλίο αυτό αποτελεί την πιο πλήρη παρουσίαση των βασικότερων θεωρημάτων της γενικής σχετικότητας γενικά και ειδικά σε ότι αφορά τις μαύρες τρύπες. (Π)

Relativity on CurvedManifolds, F. de Felice and C.J.S. Clarke (Cambridge University Press, Cambridge, 1990). (Μ,Π)

The Classical Theory of Fields, L.D. Landau and E.M. Lifshitz, (Elsevier, Amsterdam, 1997). Μια πολύ καθαρή παρουσίαση της γενικής σχετικότητας από την οπτική της συγκεκριμένης βάσης συντεταγμένων. (Μ,Π)

Gravitation, K.S. Thorne, C.W. Misner, and J.A. Wheeler (W.H. Freeman, San Francisco, 1973). Αυτό το βιβλίο αποτελεί την πρώτη μοντέρνα παρουσίαση της γενικής σχετικότητας (αλλά παρουσιάζει σε κάποια σημεία συγκριτικά και την οπτική από τις συγκεκριμένες συντεταγμένες). Το βιβλίο δίνει βάρος στην φυσική πίσω από τη θεωρία. (Μ,Π)

Advanced General Relativity, J. Stewart, (Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1991). (Π)

General Relativity, R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1984). (Μ,Π)

Gravitation and Cosmology : Principles and Applications of the General Theory of Relativity, S. Weinberg (Wiley, New York, 1972). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει μια αντί-γεωμετρική προσέγγιση στη γενική σχετικότητα, ενώ κάποια από τα στοιχεία που παρουσιάζει στην κοσμολογία είναι απαρχαιωμένα, αλλά παραμένει μαι από τις καλύτερες αναφορές στις εφαρμογές και τους υπολογισμούς που προκύπτουν στη γενική σχετικότητα. (Μ,Π)

7. Διαλέξεις στο διαδίκτυο

7.1 Από το Perimeter Institute
Relativity (Neil Turok)
Advanced General Relativity (E. Poisson)

7.2 Από Stanford University
Course | Modern Physics: Special Relativity (Leonard Susskind)
Course | Modern Physics: Einstein's Theory (Leonard Susskind)

7.3 Από MIT
Exploring Black Holes: General Relativity & Astrophysics (Edmund Bertschinger και Edwin F. Taylor, homepage του μαθήματος)

Δεν υπάρχουν σχόλια: