Decay (2012) - The LHC Zombie Movie

Perimeter Scholars International, Master's Program in Theoretical Physics

Subject: Applications now being accepted for Perimeter Scholars International, Master's Program in Theoretical Physics


Dear Colleague,


I am writing to ask for your assistance in drawing the attention of exceptional, highly motivated students to Perimeter Scholars International (PSI), the innovative Master’s program taught at the Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada. We are now in the process of recruiting our fifth class of students, who will commence their studies in August 2013.

We hope you will share this information by:

* Forwarding this email to interested students and groups
* Printing and hanging the downloadable poster that is available here
* Adding the following short description to your newsletter, website and blogs

Canada’s Perimeter Institute for Theoretical Physics (PI), in partnership with the University of Waterloo, welcomes applications to the Master’s level course, Perimeter Scholars International (PSI). Exceptional students with an undergraduate honours degree in Physics, possibly combined with Math, Engineering or Computer Science, are encouraged to apply. Students must have a minimum of 3 advanced undergraduate or graduate courses in physics. PSI recruits a diverse group of students and especially encourages applications from qualified women candidates. The due date for applications to PSI is February 1st, 2013. Complete details are available at www.perimeterscholars.org.

Additional information appears below in this email. Thank you in advance for sharing this news with students who may benefit from this opportunity.

With best regards,

John Berlinsky
PSI Director
Perimeter Institute
31 Caroline St. N.
Waterloo, ON, N2L 1C2
519-569-7600
www.perimeterinstitute.ca
PSI Privacy Policy
psi AT perimeterinstitute.ca

Additional Information:

Perimeter Scholars International (PSI) is a 10-month intensive Master’s level course held at Perimeter Institute for Theoretical Physics, a leading international research centre in Waterloo, Ontario, Canada. PSI is designed to prepare outstanding students from around the world for cutting edge research. Graduates receive a Master’s Degree in Physics from the University of Waterloo and a Perimeter Scholars International Certificate from Perimeter Institute.

Students completing PSI are prepared to pursue PhD studies in theoretical physics. Some stay at Perimeter and do their PhD with Perimeter faculty. Others enter PhD programs at other universities. Students applying to PSI, who have received offers for PhD programs elsewhere, sometimes defer starting their PhD to spend one year at PSI.

The 2012-2013 Faculty include:

Dmitry Abanin, Perimeter Institute
Assa Auerbach, Technion University
Latham Boyle, Perimeter Institute
Andrew Childs, University of Waterloo
David Cory, Institute for Quantum Computing, Waterloo
Bianca Dittrich, Perimeter Institute
Michael Duff, Imperial College
Joseph Emerson, Institute for Quantum Computing, Waterloo
Francois David, Institut de Physique Theorique CEA-Saclay
Ruth Gregory, Durham University
Matt Johnson, York University, Perimeter Institute
David Morrissey, TRIUMF
Robert Spekkens, Perimeter Institute
Natalia Toro, Perimeter Institute
Guifre Vidal, Perimeter Institute
Pedro Vieira, Perimeter Institute
Xiao-Gang Wen, Perimeter Institute
Mark Wise, Caltech
Konstantin Zarembo, NORDITA
Barton Zwiebach, MIT

Full scholarships are available. Applications should be submitted by February 1st, 2013. Complete details are online at www.perimeterscholars.org.

Contact Information

PSI Program inquiries can be directed to John Berlinsky, PSI Director, at psi AT perimeterinstitute.ca

A Petition to protect research funding in EU for 2014-2020 (EU summit 22-23 November 2012)

A Petition for the attention of the EU Heads of State or Government:

A top priority for Europe: secure the EU research and innovation budget!

We* are convinced that
# Europe's future depends on making optimal use of its scientific talent for the benefit of science and society;
# creative environments and research infrastructures are needed in which talent can flourish and innovations emerge;
# reliable financial support must be provided for long-term, often risky, fundamental research. Only then will the grand challenges be addressed in a sustainable way.

Therefore, we strongly support the letter signed by Nobel Prize and Fields Medal winners and urge you to act:
#cuts in the EU budget for research, innovation and education are counter-productive as they will aggravate the problems Europe faces instead of finding solutions;
#the European Research Council, ERC, is an undeniable success story for Europe. The ERC has demonstrated its ability to find, fund and empower the best researchers and has changed the future outlook of the younger generation. It needs to be strengthened to achieve more scientific-technological breakthroughs leading to future innovation.
#We urge you to provide a clear signal that investment in research, innovation and education is a top political priority, especially in times of crisis. Europe has been the cradle of modern science and the role accorded to science will shape Europe's future.

Sign the petition!


* The original statement was: "we, the researchers in Europe". However, it is not only the research community who is concerned about the current developments. Cuts in research affect the society as a whole. Without modification of the content of the petition text, we therefore enlarged the scope and we welcome the support of all concerned citizens.

Background

PSR J0737-3039A/B (testing general relativity)

Φανταστικό timing... Και ενώ σκεφτόμουν τα σχετικά με τον διπλό pulsar PSR J0737-3039A/B, ο οποίος αποτελεί ένα φανταστικό τεστ της γενικής σχετικότητας τόσο στην περιοχή του ασθενούς βαρυτικού πεδίο όσο και σε περιοχές που πλησιάζουν στο ισχυρό πεδίο, και μάζευα κάποια σχετικά links δεδομένου και του ότι σήμερα ανέβηκε στο arXiv και το άρθρο, The Double Pulsar System in its 8th anniversary, κοιτάζω τα e-mails μου και μόλις μου έχει έρθει ένα από την Ακαδημία όπου ανακοινώνεται το παρακάτω σεμινάριο:

The Research Center for Astronomy and Applied Mathematics of the Academy of Athens invites you to the Seminar:

Date: Tuesday 9 October 2012

Time: 12:00

Location: RCAAM Seminars Room (Soranou Efesiou 4, Athens; see map)

Speaker: Maxim Lyutikov (Purdue University & INAF Osservatorio Astrofisico di Arcetri)

Title: The Double Pulsar as a Probe of Fundamental Physics

Abstract:
The discovery of the double radio pulsar system, PSR J0737-3039A/B, surpassed most expectations, both theoretical and observational, as a tool to probe general relativity, stellar evolution and pulsar theories. I will describe rich observational properties of the system, like eclipses, orbital variations in magnetospheric activity, evidence for relativistic reconnection, trapped magnetospheric particles. The system allows a measurement of the relativistic spin precession and offers a new test of theories of gravity in strong regime. We can also pin-point the location and the shape of the region producing enigmatic coherent radio emission.

-------------------------------------------
Research Center for Astronomy and Applied Mathematics of the Academy of Athens
Soranou Efesiou 4, Athens, GR-11527
E-mail: keaem AT academyofathens.gr
Web: http://astro.academyofathens.gr/

Το φανταστικό της υπόθεσης είναι ότι θυμόμουν ότι είχε γίνει μια σχετική διάλεξη και στο Perimeter Institute πριν ένα χρόνο πάνω στον συγκεκριμένο διπλό pulsar την οποία είχα δει, οπότε μόλις είχα κοιτάξει για να βρω το παρακάτω link,

Διάλεξη στο Perimeter Institute:
The Double Pulsar: testing GR in strong regime
Speaker(s): Maxim Lyutikov
Abstract: The long awaited discovery of the double radio pulsar system, PSR J0737-3039A/B, surpassed most expectations, both theoretical and observational, as a tool to probe general relativity, stellar evolution and pulsar theories. The Double Pulsar provides a unique and the most complete and clean test of theories of gravity in a regime sensitive to possible strong-gravitational self-field effects. All six post-Keplerian parameters have been measured (including the measurement of the relativistic spin precession), some parameters to a precision of 10^{-4}.


Απίστευτο timing έτσι...

Τα παρατηρησιακά constraints στα οποία αναφέρεται το Abstract της διάλεξης απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα από την εργασία στο περιοδικό Science των Kramer et al., Science 314, 97 (2006),

Fig. 1. Graphical summary of tests of GR parameters. Constraints on the masses of the two stars (A and B) in the PSR J0737-3039A/B binary system are shown; the inset is an expanded view of the region of principal interest. Shaded regions are forbidden by the individual mass functions of A and B because sin i must be ≤1. Other constraining parameters are shown as pairs of lines, where the separation of the lines indicates the measurement uncertainty. For the diagonal pair of lines labeled as R, representing the mass ratio derived from the measured semimajor axes of the A and B orbits, the measurement precision is so good that the line separation becomes apparent only in the inset. The other constraints shown are based on the measured PK parameters interpreted within the framework of general relativity. The PK parameter describes the relativistic precession of the orbit, γ combines gravitational redshift and time dilation, and Ṗb represents the measured decrease in orbital period due to the emission of gravitational waves. The two PK parameters s and r reflect the observed Shapiro delay, describing a delay that is added to the pulse arrival times when propagating through the curved space-time near the companion. The intersection of all line pairs is consistent with a single point that corresponds to the masses of A and B. The current uncertainties in the observed parameters determine the size of this intersection area, which is marked in blue and reflects the achieved precision of this test of GR and the mass determination for A and B.


Συνιστώ σε όποιον ενδιαφέρεται να πάει να την παρακολουθήσει την ομιλία γιατί θα έχει πολύ ενδιαφέρον.


Και ένα review άρθρο πάνω στο θέμα γενικά: Testing General Relativity with Pulsar Timing

Ανδρομέδα

Ο γαλαξίας της Ανδρομέδας...



Artist: Sokratis Malamas & Thanasis Papakonstantinou




See also...

Ο Νιμπίρου στο SOHO...

Δεν ξέρω αν το ακούσατε, αλλά έχει βουίξει το ιντερνέτι με την είδηση: Ο ήλιος χάθηκε από τηλεσκόπιο της NASA για μία ώρα.

Συγκεκριμένα η είδηση αναφέρει:

Το ηλιακό τηλεσκόπιο SOHO, για μία ολόκληρη ώρα (06:24am έως 07:24am) έχασε από τα μάτια του τον Ήλιο,στις 11/9/2012, καθώς κάτι πολύ μεγάλο πέρασε από μπροστά του και τον έκρυψε με τη σκιά του. Μήπως ήταν ο πλανήτης Nibiru ή κάτι άλλο;

Την απάντηση δεν την γνωρίζει κανείς, ενώ όπως διευκρινίζουν οι επιστήμονες της NASA, δεν υπήρχε κάποιο στάσιμο αντικείμενο στην ατμόσφαιρα της γης, ενώ διαβεβαιώνουν πως δεν ήταν κάποιος διαστημικός σταθμός...

"επίμαχο βίντεο"

Το παραπάνω βίντεο ανέβηκε στο επίσημο κανάλι στο youtube της ιστοσελίδας http://helioviewer.org ,όπως φαίνετε και κάτω δεξιά στο βίντεο, η οποία αποτελέι επίσημο πρόγραμμα της NASA και είναι η πηγή μας, όποιος θέλει μπορεί να το δεί ξεκάθαρα στην ιστοσελίδα τους στο About οτι πρόκειτε για επίσημη σελίδα της ΝASA. Αυτό εξασφαλίζει και την εγκυρότητα του βίντεο το οποίο είναι πέρα για πέρα αληθινό.

Τι έγινε ρε παιδιά; Έχει έρθει ο Νιμπίρου και πάει τσάρκα στο SOHO σαν τον Μαρξ ένα πράγμα;

Ας τα πάρουμε με τη σειρά.

Τι είναι το SOHO; Το SOHO είναι στα ελληνικά το Solar and Heliospheric Observatory (SOHO), το οποίο είναι ένα διαστημόπλοιο που έχει ως αποστολή να παρατηρεί τον Ήλιο και το οποίο βρίσκεται στην περιοχή του σημείου Λαγκράνζ L1 του συστήματος Γης-Ήλιος. Και που είναι αυτό το L1 όμως; Στο κυκλικό πρόβλημα των 3ων σωμάτων, όπου έχεις 2 σώματα μεγάλης μάζας που εκτελούν κυκλική τροχιά το ένα γύρω από το άλλο και έχεις και ένα 3ο σώμα το οποίο έχει πολύ μικρή μάζα για να επηρεάσει τα άλλα δύο σώματα, η κίνηση αυτού του 3ου σώματος έχει κάποιες θέσεις ισορροπίας οι οποίες κινούνται σε σταθερές αποστάσεις από τα δύο πρώτα σώματα. Αυτές οι θέσεις είναι 5 και λέγονται σημεία Λαγκράνζ. Τα σημεία αυτά φαίνονται στο σχήμα:

Όπως βλέπουμε στο σχήμα το L1 είναι ανάμεσα στη Γη και τον Ήλιο, κάπου μακρυά από τις τροχιές των γήινων δορυφόρων, ουσιαστικά σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο.
Από αυτό που γράφει όμως η είδηση, καταλαβαίνουμε ότι όποιος την έγραψε ίσως να νομίζει ότι το ηλιακό αυτό παρατηρητήριο είναι κάπου πάνω στη Γη; (δεν υπήρχε κάποιο στάσιμο αντικείμενο στην ατμόσφαιρα της γης, ενώ διαβεβαιώνουν πως δεν ήταν κάποιος διαστημικός σταθμός...) ή έστω σε τροχιά γύρω από αυτή; Κάτι τέτοιο πάντως και σίγουρα αυτά που λέει, δεν τα λένε οι επιστήμονες της NASAς.

Ας πάμε παρακάτω όμως. Η σελίδα στην οποία παραπέμπει είναι πραγματική και αξιόπιστη και πράγματι δείχνει φωτογραφίες και βίντεο από ηλιακά παρατηρητήρια όπως το SOHO. Αν πάει λοιπόν κανείς να δει τι έβλεπε το SOHO την επίμαχη ώρα και μέρα... δεν θα δει τίποτα... Και για του λόγου το αληθές,

Αν ακολουθήσει κανείς το link στην εικόνα θα βρεθεί στη σελίδα του Helioviewer και εκεί μπορεί να παίξει με τις ρυθμίσεις της ώρας και τα σχετικά και θα το διαπιστώσει και μόνος του.
Και φυσικά δεν θα μπορούσε να είναι και πολύ διαφορετικά, γιατί αν κάτι πέρναγε μπροστά από το SOHO και έκανε και μία ώρα να περάσει, τότε πιθανότατα θα ήταν αρκετά μεγάλο ώστε να είναι ορατό μπροστά στον Ηλιακό δίσκο και από τη Γη, οπότε θα το είχαν δει οι πάντες και θα τρέχανε όλοι γυμνοί στους δρόμους και θα φωνάζανε, "ήρθε το τέλος, ήρθε το τέλος", και στην Ελλάδα θα γινόταν συνωμοσία για πραξικόπημα την οποία και θα αποκάλυπτε το ΒλΗΜΑ και ο Στουρνάρας θα βριζόταν στην ψύχρα σαν νταλικέρης με τον Τόμσεν και θα πιανόντουσαν μαλλί με μαλλί και δεν θα έμενε ούτε μπούκλα, κλπ... Αλλά αυτό δεν έγινε.

Αλλά αν προσέξει κανείς λίγο καλύτερα στη σελίδα του Helioviewer, θα δει ότι υπάρχει η δυνατότητα να επιλέξει κανείς και άλλα ηλιακά παρατηρητήρια, εκτός από το SOHO. Για παράδειγμα μπορεί να επιλέξει κανείς το SDO ή κατά το ελληνικότερον, Solar Dynamics Observatory (SDO). Και τι είναι λοιπόν το SDO; Είναι ένας δορυφόρος που ως αποστολή έχει την παρατήρηση της δυναμικής του Ήλιου, δηλαδή τις μεταβολές που συμβαίνουν σ' αυτόν γρήγορες και αργές, και μία από τις δουλειές που κάνει είναι να κάνει και ηλιο-σεισμολογία που μας δίνει τεράστια πληροφορία για το εσωτερικό του Ήλιου. Και που βρίσκεται αυτό το ρημάδι το SDO; Βρίσκεται σε γεωσύγχρονη τροχιά γύρω από τη Γη, σε ύψος περίπου 36000 km και το επίπεδό της σχηματίζει γωνία με τον ισημερινό. Την θέση του SDO ως προς την επιφάνεια της Γης μπορεί να την δει κανείς σε αυτή τη σελίδα, όπου φαίνεται ότι ουσιαστικά κάθεται πάνω από μια συγκεκριμένη περιοχή και αυτό το 8άρι που διαγράφει η τροχιά του (φαίνεται με ένα zoom-out) είναι επειδή έχει το επίπεδο της τροχιάς αυτή την κλίση (περίπου 28 μοίρες) ως προς τον ισημερινό.

Και τι μας νοιάζει εμάς όμως το SDO θα αναρωτηθεί κάποιος. Αφού το SOHO είδε τον Νιμπίρου (ή το μητρικό σκάφος κατά άλλους). Προφανώς αυτοί που έχουν κάποια σχέση με αυτά τα πράγματα θα έχουν καταλάβει που πάει η ιστορία. Αν επιλέξει λοιπόν κανείς αντί για το SOHO, το SDO στο παραπάνω link που έδωσα με τη φωτογραφία, ξαφνικά θα πέσει πάνω σε έναν μισοκρυμμένο Ήλιο

Αμάν αμάν... Δίκαιο είχαν τελικά. Μας την έπεσε ο Νιμπίρου και μπήκε μπροστά στο SDO...

Ψυχραιμία. Ούτε ο Νιμπίρου είναι αυτό που μπαίνει μπροστά στον Ήλιο, ούτε κανένα UFO, αν και κουβαλάει πολλά ούφο. Αυτό που μπαίνει στο οπτικό πεδίο του SDO, το οποίο βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη Γη, ομολογουμένως αρκετά μακριά - περίπου 3 φορές τη διάμετρό της, και κοιτάει συνέχεια προς τον Ήλιο, είναι προφανώς η Γη.

Και φυσικά το εξηγεί και η NASA που κατά τα άλλα δεν είχε ιδέα τι έγινε...


SDO Semiannual Eclipse - Fall 2012

NASA's Solar Dynamics Observatory (SDO) has moved into its second eclipse season of 2012. This movie from SDO shows Earth moving across the sun from 2:25 to 3:25 a.m. EDT on Sept. 6, 2012. The boundaries of the shadow of Earth on the sun are not perfectly sharp since SDO can see some light from the sun coming through Earth's atmosphere.

Και φυσικά αυτό το φαινόμενο είναι περιοδικό. Συμβαίνει δύο φορές το χρόνο κοντά στις ισημερίες, όπως μπορεί να διαβάσει κανείς και στις περιγραφές με τα ένα κάρο βίντεο που κυκλοφορούν για το συγκεκριμένο θέμα. Για παράδειγμα, να ένα βίντεο από το 2011,



Και το σχετικό σχόλιο από ένα άλλο παρόμοιο βίντεο με κάποια έκλειψη του SDO,
NASA's Solar Dynamics Observatory has eclipse seasons twice a year near each equinox. For three weeks about 0700 UTC our orbit has the Earth pass between SDO and the Sun. These eclipses can last up to 72 minutes in the middle of an eclipse season..

Με λίγα λόγια, ούτε ο Νιμπίρου έρχεται, ούτε τα μητρικά σκάφη για να μας πάρουν, ούτε οποιαδήποτε άλλη βλακεία μπορεί να σκαρφίζονται "διάφοροι"...

Το μόνο που παίζει είναι ένα ακόμα ενδιαφέρον, όμορφο και θεαματικό φαινόμενο.

Καλό Μήνα.


--------------------
Update: Ας βάλω και το λινκ για τη σελίδα του SDO. Btw, αυτή η σεζόν των εκλείψεων τέλειωσε με το τέλος του Σεπτέμβρη.

Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (πρελούδιο)

---- Υπάρχει και ένα μικρό update (15/9) με σημειώσεις σχετικότητας στα Ελληνικά, το οποίο αναγκαστικά προσθέτω τώρα, γιατί πιο πριν υπήρχε πρόβλημα με τις σχετικές σελίδες και δεν μπορούσα να βρω το υλικό. ----

Μπορεί αυτή η ανάρτηση να είναι η τελευταία της σειράς, αλλά επί της ουσίας είναι η πρώτη, αφού θα δώσω εδώ το motivation για τις προηγούμενες αναρτήσεις σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας καθώς και κάποιες αναφορές και links για υλικό που θα ήταν χρήσιμο για την μελέτη του αντικειμένου.

Ας ξεκινήσω λοιπόν με το motivation. Προφανώς, ο λόγος που μετέφρασα το κείμενο του Wald δεν είναι το ότι θα ήθελα να προτείνω από εδώ στον οποιονδήποτε θα ήθελε να διδάξει ένα πανεπιστημιακό μάθημα γενικής σχετικότητας, μια μεθοδολογία διδασκαλίας. Κάτι τέτοιο νομίζω ότι δεν θα είχε και πολύ νόημα. Σίγουρα, αν ήταν να προτείνω σε κάποιον μια ενδεικτική δομή για έναν τέτοιο μάθημα, κάτι τέτοιο θα του πρότεινα αφού είναι πολύ κοντά στη δικιά μου λογική, αλλά δεν είναι αυτός ο στόχος.
Τα προηγούμενα απευθύνονται στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να μελετήσουν το αντικείμενο και η πρόθεσή μου είναι να υποδείξω έναν μπούσουλα που θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει κανείς προκειμένου να κάνει μια στοχευμένη μελέτη του αντικειμένου της γενικής σχετικότητας, δίνοντας βάρος στα θέματα που είναι πραγματικά σημαντικά για την εμπέδωση του αντικειμένου. Μέσα από την προηγούμενη παρουσίαση, μπορεί να προγραμματίσει κανείς το πως και το τι θα πρέπει να μελετήσει, έστω και μόνος του (πράγμα το οποίο είναι ο κανόνας πρακτικά για τα περισσότερα φυσικά εκτός ίσως από της Θεσσαλονίκης). Το να ξέρεις πως να οργανώσεις την μελέτη σου και που να ρίξεις το βάρος είναι τόσο σημαντικό, ίσως και περισσότερο, όσο σημαντικό είναι και το να έχεις ένα καλό σύγγραμα.

Με λίγα λόγια λοιπόν, αν και οι προηγούμενες αναρτήσεις (α, β, γ) περιγράφουν το πως πρέπει κανείς να διδάξει τη γενική σχετικότητα, είναι ταυτόχρονα και ένα χρήσιμο εργαλείο για το πως μπορεί κανείς να μάθει μόνος του σχετικότητα και ελπίζω κάποιοι φοιτητές να το βρουν χρήσιμο.

Σχετικά τώρα με την βιβλιογραφία, οι αναφορές που δίνονται στο μέρος γ είναι εξαιρετικές, όπως πολύ καλές είναι και οι on-line διαλέξεις, για τις οποίες έχω δώσει τα links.
Εδώ θα συμπληρώσω τις αναφορές αυτές με κάποια links προς on-line σημειώσεις και άλλες on-line πηγές.

Για αρχή, το βιβλίο Relativity: The Special and the General Theory, του A. Einstein, μπορεί να το βρει κανείς ολόκληρο σε αυτή τη σελίδα. Όποιος ενδιαφέρεται μπορεί να κοιτάξει και τις πρωτότυπες εργασίες του Einstein, ON THE ELECTRODYNAMICS OF MOVING BODIES και DOES THE INERTIA OF A BODY DEPEND UPON ITS ENERGY-CONTENT? οι οποίες έχουν ενδιαφέρον.

Το βιβλίο Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, των E.F. Taylor και J.A. Wheeler, έχει μια σελίδα αφιερωμένη σ' αυτό με χρήσιμο υλικό. Εκεί μπορεί να βρει κανείς αντίστοιχες σελίδες και για άλλα ενδιαφέροντα βιβλία του Taylor, όπως αυτό της ειδικής σχετικότητας που είναι και αυτό καταπληκτικό. Από τον Taylor και το MIT είναι και οι on-line διαλέξεις Exploring Black Holes: General Relativity & Astrophysics (Edmund Bertschinger και Edwin F. Taylor, homepage του μαθήματος).

Ομοίως έχει αφιερωμένη σελίδα και το βιβλίο Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity του J.B. Hartle, όπου μπορεί να βρει κανείς τη σελίδα του συγγραφέα με αρκετό χρήσιμο υλικό (όπως είναι διάφορα αρχεία του mathematica με υπολογισμούς και συμπληρωματικό υλικό σε διάφορα κεφάλαια). Εκεί υπάρχει και το πως μπορεί να φτιάξει κανείς ένα πλάνο μαθήματος με βάση το βιβλίο και ακολουθώντας την προσέγγιση "Physics first!", η οποία παρουσιάζεται και στο άρθρο, General Relativity in the Undergraduate Physics Curriculum.

(update) Στο σημείο αυτό να προσθέσω και τη σελίδα του μαθήματος του Κώστα Κόκκοτα στο ΑΠΘ, όπου μπορεί να βρει κανείς προτεινόμενη βιβλιογραφία και σημειώσεις γενικής σχετικότητας στα Ελληνικά (και ασκήσεις). Αξίζει να κοιτάξει κανείς και τη σελίδα του Κώστα, όπου κάτω από την ενότητα "Διδασκαλία" θα βρει links για τα διάφορα μαθήματα που διδάσκει, όπου υπάρχουν και οι σχετικές σημειώσεις.

Στο arXiv μπορεί να βρει κανείς τις σημειώσεις του Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity, οι οποίες αποτελούν ουσιαστικά την βάση του βιβλίου Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Εκτός από αυτές τις σημειώσεις μπορεί να δει κανείς και κάποιες επιπλέον πηγές από τον Carroll σε αυτή τη σελίδα, όπου υπάρχουν και οι διαλέξεις χωρισμένες ανά κεφάλαιο, καθώς και χρήσιμα links (όπως το link για τη διαφορική γεωμετρία).

Ακόμα μπορεί να κοιτάξει κανείς και τις σημειώσεις πάνω στη γενική σχετικότητα, Lectures on General Relativity 2012, του G. 't Hooft.

Στη σελίδα του George F. R. Ellis, μπορεί να βρει κανείς και κάποιες δικές του σημειώσεις σχετικότητας, καθώς και πολύ ακόμα ενδιαφέρον υλικό για διάφορα θέματα και πέρα από την σχετικότητα και τη βαρύτητα (ο Ellis, εκτός από τα πολύ καλά συγγράμματα σχετικότητας που έχει συγγράψει και αναφέρονται στην βιβλιογραφία στο μέρος γ, έχει ερευνητικό έργο σε σύγχρονους τομείς της θεωρητικής φυσικής, καθώς και στην φιλοσοφία της φυσικής και ειδικότερα στη φύση του χωροχρόνου και ειδικότερα του χρόνου, όπου τελευταία ανέβασε ένα αρκετά ενδιαφέρον άρθρο στο arXiv με τίτλο, Space time and the passage of time, όπου μπορεί να δει κανείς πως αναλύει αυτά τα θέματα κάποιος ο οποίος ξέρει για τι πράγμα μιλάει και δεν αμπελοφιλοσοφεί σαν κάποιους άλλους των οποίων οι αισθήσεις πλανώνται).

Στο μέρος γ αναφέραμε και τις διαλέξεις στο PI του Eric Poisson, Advanced General Relativity (που θα μπορούσε να κοιτάξει κανείς σε συνδυασμό με τις διαλέξεις του Neil Turok). Οι διαλέξεις αυτές βασίζονται σε σχετικό σύγγραμα του Poisson, το οποίο μπορεί να βρει κανείς στη σελίδα του (μαζί με σημειώσεις και για άλλα μαθήματα) και συγκεκριμένα σε αυτό το λινκ. Τόσο οι on-line διαλέξεις όσο και οι σημειώσεις του Poisson, αποτελούν εξαιρετικό υλικό.

Συμπληρωματικά στα παραπάνω, αναφέρω και τις σημειώσεις:
Black Holes του Townsend,
Gravitational Waves and Black Holes: an Introduction to General Relativity του van Holten,
Selected solutions of Einstein's field equations: their role in general relativity and astrophysics του Jiri Bicak,
3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity του Eric Gourgoulhon.
Φυσικά υπάρχει πολύ υλικό ακόμα στο διαδίκτυο το οποίο μπορεί να χρησιμοποιήσει κανείς, όπως είναι για παράδειγμα οι διαλέξεις του Leonard Susskind στο Stanford University, Modern Physics: Special Relativity και Modern Physics: Einstein's Theory, αλλά θέλει προσοχή στις πηγές που εμπιστεύεται κανείς, αφού υπάρχει και πολύ σαβούρα.

Θα κλείσω με κάποιες αναφορές στην πειραματική επαλήθευση της θεωρίας της σχετικότητας, αφού θεωρώ ότι η παρουσίαση αυτών των δεδομένων θα πρέπει να είναι ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της θεμελίωσης και της τεκμηρίωσης της θεωρίας για κάποιον φοιτητή. Είναι σημαντικό να ξέρει κανείς γενικά σε ότι αφορά τη φυσική το τι ακριβώς γνωρίζουμε και πόσο καλά το γνωρίζουμε και ποια είναι η επαφή της κάθε θεωρίας με τα πειραματικά και παρατηρησιακά δεδομένα, αφού η φυσική είναι σε τελική ανάλυση μια πειραματική επιστήμη που ενδιαφέρεται για την επαφή με τον φυσικό κόσμο.

Στο μέρος γ γίνεται αναφορά στο βιβλίο Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test του C.M. Will. Το βιβλίο αυτό είναι μια εκλαϊκευμένη παρουσίαση της ιστορίας και των πειραματικών δεδομένων γύρω από την γενική σχετικότητα. Το βιβλίο αυτό υπάρχει και στα Ελληνικά από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης και το προτείνω ανεπιφύλακτα. Το βιβλίο αυτό ουσιαστικά αποτελεί την εκλαΐκευση του συγγράμματος Theory and Experiment in Gravitational Physics του ιδίου από τις εκδόσεις Cambridge University Press, το οποίο είναι αρκετά προχωρημένου επιπέδου. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο συγκεκριμένο βιβλίο μπορεί να τα βρει κανείς και στις διαλέξεις, The Confrontation between General Relativity and Experiment: A 1998 Update ή στην πιο πρόσφατη και ενημερωμένη εκδοχή του άρθρου στο Living Reviews in Relativity, The Confrontation between General Relativity and Experiment. Το Living Reviews in Relativity είναι εξαιρετική πηγή, όπου μπορεί να βρει κανείς πολύ χρήσιμο υλικό για όλα τα θέματα που αφορούν τη σχετικότητα. Συγκεκριμένα σε ότι αφορά την πειραματική επαλήθευση της σχετικότητας υπάρχουν ακόμα τα άρθρα: Tests of Gravity Using Lunar Laser Ranging, Testing General Relativity with Pulsar Timing και Relativity in the Global Positioning System, τα οποία θεωρώ πολύ ενδιαφέροντα. Εκεί μπορεί να βρει κανείς και το άρθρο για το Pioneer Anomaly στο οποίο έχω αναφερθεί και παλαιότερα στο blog, καθώς και αρκετά άλλα πολύ ενδιαφέροντα άρθρα. Δυστυχώς, σε ότι αφορά το GPS υπάρχει αρκετή σύγχυση, αφού υπάρχουν και οι πολέμιοι της σχετικότητας που εναντιώνονται στην όποια σχέση του με την θεωρία (αφού κάτι τέτοιο θα την έβαζα στα πλαίσια του πρακτικά χρήσιμου και θα ξέφευγε από το εντελώς θεωρητικό και απόμακρο) και συνήθως επικαλούνται το άρθρο, GPS AND RELATIVITY: AN ENGINEERING OVERVIEW, το οποίο πιστεύουν ότι αποδεικνύει ότι η σχετικότητα δεν παίζει κανένα ρόλο στο GPS (ίσως να πιστεύουν και ότι την βγάζει λάθος το συγκεκριμένο). Ο καθένας φυσικά μπορεί να διαβάσει τι λέει και να κρίνει και να το αντιπαραβάλει και με το σχετικό άρθρο από το Living Reviews.
Στις γενικές αναφορές πάνω στην πειραματική επαλήθευση της σχετικότητας, μπορούμε να βάλουμε ακόμα το άρθρο Experimental Tests of General Relativity: Recent Progress and Future Directions του Turyshev (ο οποίος είναι μέσα και στην πρόσφατη δουλειά για το Pioneer Anomaly), το άρθρο Planetary ephemerides and gravity tests in the solar system που είναι κάπως πιο πρόσφατο, το επετειακό άρθρο του Will, Was Einstein Right? Testing Relativity at the Centenary, και μπορούμε να κλείσουμε με το Resource Letter του Will, Resource Letter PTG-1: Precision Tests of Gravity, το οποίο είναι και αυτό γεμάτο αναφορές. Φυσικά σε πολλά από τα παραπάνω υπάρχει αρκετή αλληλοεπικάλυψη, αλλά αυτό που αξίζει να δει κανείς είναι το πως ενημερώνονται τα δεδομένα με τον χρόνο και τις σχετικές αναφορές με τις νέες μετρήσεις (για παράδειγμα έχει ενδιαφέρον η εξέλιξη της ιστορίας με το τετράπολο του Ήλιου και τη μετάπτωση στο περιήλιο του Ερμή).
Ένα τελευταίο κομμάτι σχετικά με την επαλήθευση της γενικής σχετικότητας αφορά το καθαρά σχετικιστικό φαινόμενο του frame-dragging. Πάνω σ' αυτό το θέμα μπορεί να κοιτάξει κανείς τις παρακάτω αναφορές:
Test of general relativity: 1995-2002 measurement of frame-dragging,
Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test General Relativity,
Finally, results from Gravity Probe-B,
Accurate Measurement in the Field of the Earth of the General-Relativistic Precession of the LAGEOS II Pericenter and New Constraints on Non-Newtonian Gravity.

Τέλος, για λόγους πληρότητας, αξίζει να αναφέρουμε και μερικά links σχετικά με την πειραματική επαλήθευση της ειδικής σχετικότητας. Μια πολύ καλή παρουσίαση και αρκετά μεγάλη συλλογή από αναφορές πάνω στο θέμα, υπάρχει στη σελίδα, What is the experimental basis of Special Relativity?, την οποία προτείνω να κοιτάξει κανείς διεξοδικά. Σε αυτό το πλαίσιο είναι και το άρθρο από το Living Reviews, Modern Tests of Lorentz Invariance. Τέλος, μπορεί να κοιτάξει κανείς το επετειακό και πάλι άρθρο του Will, Special Relativity: A Centenary Perspective, όπου κάνει μια συνολική παρουσίαση της σημερινής κατάστασης. Από το άρθρο αυτό θέλω απλά να παραθέσω μερικές γραμμές και να κλείσω:

On the 100th anniversary of special relativity, we see that the theory has been so thoroughly integrated into the fabric of modern physics that its validity is rarely challenged, except by cranks and crackpots. It is ironic then, that during the past several years, a vigorous theoretical and experimental effort has been launched, on an international scale, to find violations of special relativity. The motivation for this effort is not a desire to repudiate Einstein, but to look for evidence of new physics “beyond” Einstein, such as apparent violations of Lorentz invariance that might result from certain models of quantum gravity. So far, special relativity has passed all these new high-precision tests, but the possibility of detecting a signature of quantum gravity, stringiness, or extra dimensions will keep this effort alive for some time to come.

Η φυσική είναι πειραματική επιστήμη που ψάχνει την επαφή με την φυσική πραγματικότητα. Κανένας δεν ξέρει καλύτερα τους περιορισμούς των φυσικών θεωριών από τους ίδιους τους φυσικούς (ή τουλάχιστον έτσι θα έπρεπε να είναι), οι οποίοι ψάχνουν συνεχώς να ελέγξουν και να επεκτείνουν τις θεωρίες τους. Δεν υπάρχουν και δεν πρέπει να υπάρχουν δόγματα στην επιστήμη. Αυτή η κουλτούρα λοιπόν θα πρέπει να περνάει στους φοιτητές και η επαφή με τις βάσεις και τα πειράματα μιας θεωρίας θα πρέπει να είναι ένα σημαντικό κομμάτι της διδασκαλίας.

Καλή μελέτη.


--------------------------
Update (13/2/15): Να αναφέρω εδώ και κάτι που έμαθα πρόσφατα και αξίζει να προστεθεί στην βιβλιογραφία για την μελέτη της Σχετικότητας. Οι εκδόσεις του Princeton University έχουν βάλει πια online το πολύ καλό βιβλίο ασκήσεων, "Problem Book in Relativity and Gravitation" (Lightman, Press, Price, & Teukolsky). Ακολουθώντας τον προηγούμενο σύνδεσμο μπορεί να έχει κανείς απευθείας online πρόσβαση στο βιβλίο.

Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (μέρος γ)

(...συνέχεια από το προηγούμενο)

Και προχωράμε στο τρίτο και τελευταίο κομμάτι της μετάφρασης του άρθρου του Robert Wald σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας. Αυτό το κομμάτι αφορά την διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό και μεταπτυχιακό επίπεδο.


4. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε προπτυχιακό επίπεδο
Ευτυχώς, δεν υπάρχουν ιδιαίτερα προαπαιτούμενα μαθήματα για ένα προπτυχιακό μάθημα γενικής σχετικότητας. Φυσικά είναι απαραίτητο οι φοιτητές να έχουν κάποια επαφή με την ειδική σχετικότητα, γιατί διαφορετικά τα εννοιολογικά εμπόδια που θα πρέπει να ξεπεράσουν ίσως είναι πολύ μεγάλα για κάποιον που δεν έχει καμία επαφή με το αντικείμενο. Παρόλα αυτά, θα ήταν αρκετή η επαφή και μόνο που έχει κανείς με την ειδική σχετικότητα στα πλαίσια ενός μαθήματος βασικής φυσικής του 1ου έτους. Είναι σημαντικό οι φοιτητές να έχουν διδαχτεί κλασική μηχανική και να έχουν επαφή με τις γενικευμένες συντεταγμένες και τον φορμαλισμό και τις μεταβολές των Euler-Lagrange. Θα ήταν ακόμα χρήσιμο (αν και όχι απαραίτητο) να έχουν διδαχτεί οι φοιτητές ηλεκτρομαγνητισμό, αφού κανείς θα πρέπει να έχει πρώτα κατανοήσει το τι είναι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα πριν προσπαθήσει να καταλάβει το τι είναι το βαρυτικό κύμα.
Η διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό επίπεδο κρύβει πολλές προκλήσεις, ειδικά αν το μάθημα έχει διάρκεια ενός εξαμήνου. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα δεν υπάρχει αρκετός χρόνος για να εισαχθούν σωστά τα απαραίτητα μαθηματικά που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Ακόμα και σε ένα ετήσιο μάθημα, δεν θα ήταν καλή ιδέα να προσπαθήσει κανείς να φορτώσει την πρώτη φάση του μαθήματος με όλο αυτό το υλικό από τα μαθηματικά, αφού αν το έκανε κανείς θα κατέληγε με μια τάξη σχεδόν χωρίς φοιτητές την στιγμή που θα έφτανε στις ενδιαφέρουσες φυσικές εφαρμογές της γενικής σχετικότητας.
Προφανώς, το λογικό είναι να ξεκινήσει κανείς ένα προπτυχιακό μάθημα με μια περίληψη της ειδικής σχετικότητας, κατά προτίμηση δίνοντας έμφαση στην γεωμετρική προσέγγιση όπως παρουσιάστηκε στην 2η ενότητα. Ακόμα, θα ήταν καλό να προσπαθήσει να κάνει κανείς μια ποιοτική παρουσίαση των βασικών εννοιών της γενικής σχετικότητας στην αρχή, και πάλι όπως παρουσιάστηκε στη 2η ενότητα. Από εκεί και πέρα, για να προχωρήσει κανείς, θα πρέπει να εισαχθούν κάποια από τα στοιχεία των μαθηματικών που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 3. Κατά την γνώμη μου, τα ελάχιστα μαθηματικά που θα πρέπει να εισαχθούν είναι, (i) Μια σαφής εξήγηση του γεγονότος ότι ο χωροχρόνος δεν έχει τη δομή διανυσματικού χώρου και το ότι οι συντεταγμένες, $$\reverse\opaque \small x^{\mu}$$, δεν έχουν κανένα ιδιαίτερο φυσικό νόημα και αποτελούν απλά "ετικέτες" για τα χωροχρονικά γεγονότα. (ii) Η έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος σε μια καμπύλη, όπως παρουσιάστηκε στην 3η ενότητα. (iii) Η έννοια της μετρικής του χωροχρόνου ως ένα εσωτερικό γινόμενο για εφαπτόμενα διανύσματα και πως χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ιδιόχρονου $$\reverse\opaque \small \tau$$ κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης. (iv) Η έννοια της χρονοειδούς γεωδαισιακής ως μια καμπύλη που έχει ακρότατο $$\reverse\opaque \small \tau$$. Από εκεί και πέρα, η γεωδαισιακή εξίσωση μπορεί να εξαχθεί με την βοήθεια του λογισμού των μεταβολών κατά Euler-Lagrange (οι φωτοειδείς γεωδαισιακές μπορούν να εισαχθούν από τις χρονοειδείς παίρνοντας το κατάλληλο όριο). Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις συμμετρίες και τις διατηρήσιμες ποσότητες που ξέρουμε από την Λαγκρανζιανή μηχανική (δηλαδή τα σχετικά με το θεώρημα Noether) μεταφέρεται και στις ιδιότητες των γεωδαισιακών και άρα σε έναν χωρόχρονο με αρκετή συμμετρία, οι εξισώσεις αυτές μπορούν να λυθούν με την βοήθεια σταθερών της κίνησης.
Τα παραπάνω θα δώσουν στους φοιτητές τα απαραίτητα εργαλεία για να ερμηνεύσουν το τι είναι η μετρική του χωροχρόνου και τι φυσικές συνέπειες έχει, αφού τα βασικά πράγματα που χρειάζεται κανείς είναι (α) να μπορεί να υπολογίσει τον χρόνο που περνά κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης και (β) να μπορεί να υπολογίσει τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές (που συνιστούν τις ελεύθερες τροχιές των σωματιδίων και των φωτονίων αντίστοιχα) σε έναν χωροχρόνο. Πέρα από τα παραπάνω όμως, οι φοιτητές δεν θα μπορούν να αντιληφθούν το νόημα των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν αφού δεν θα έχουν τα απαραίτητα εργαλεία και άρα δεν θα μπορούν να παράξουν κάποια λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τις λύσεις που θα τους παρουσιαστούν και θα μελετήσουν θα πρέπει να τις δεχτούν με καλή πίστη.
Αφού έχει παρουσιαστεί το παραπάνω μαθηματικό υλικό, θα είναι σε θέση κανείς να συζητήσει της λύση του Schwarzschild (που περιγράφει το βαρυτικό πεδίο γύρω από ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα) και τις λύσεις των Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW, που περιγράφουν χωρικά ομογενείς και ισοτροπικές κοσμολογίες). Στην περίπτωση της λύσης του Schwarzschild, μπορεί να υπολογίσει κανείς τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές και άρα να υπολογίσει τις τροχιές των πλανητών και την καμπύλωση της τροχιάς του φωτός. Την λύση FLRW, μπορεί να την εισάγει κανείς βάση των συμμετριών που πρέπει να ικανοποιεί ένας τέτοιος χώρος και να την εκφράσει κανείς συναρτήσει ενός άγνωστου παράγοντα κλίμακας $$\reverse\opaque \small a(t)$$ και να δείξει πως οι αλλαγές σ'αυτόν τον παράγοντα σχετίζονται με την συστολή ή τη διαστολή του σύμπαντος. Επειδή οι εξισώσεις πεδίου δεν έχουν εισαχθεί, δεν μπορεί να υπολογίσει κανείς τις εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιεί ο παράγοντας κλίμακας, αλλά οι εξισώσεις αυτές μπορούν να δοθούν χωρίς απόδειξη και να υπολογιστούν οι διάφορες κοσμολογικές λύσεις.
Ακόμα και στην περίπτωση ενός εξαμηνιαίου μαθήματος, θα πρέπει μετά από όλα αυτά να περισσεύει ακόμα λίγος χρόνος για να συζητηθούν κάποια ακόμα βασικά θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία και η ανίχνευσή της, η ιδέα της μαύρης τρύπας όπως προκύπτει από την επέκταση της λύσης του Schwarzschild, άλλα θέματα της φυσικής των μελανών οπών και κάποια θέματα από την σύγχρονη κοσμολογία. Σε ένα μάθημα δύο εξαμήνων, κανείς θα μπορούσε να συζητήσει αναλυτικά όλα τα παραπάνω, καθώς και να εισάγει και το απαραίτητο μαθηματικό υλικό σχετικό με την καμπυλότητα το οποίο χρειάζεται για να παρουσιαστούν και οι εξισώσεις του Αϊνστάιν.

5. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό επίπεδο
Σε αντίθεση με τους προπτυχιακούς φοιτητές, στους μεταπτυχιακούς φοιτητές δεν γίνεται να μην παρουσιαστεί ο βασικός πυρήνας της θεωρίας της γενικής σχετικότητας. Έτσι, δεν μπορεί να διδαχτεί η γενική σχετικότητα χωρίς να παρουσιαστούν πλήρως οι εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν. Κατά συνέπεια, θα πρέπει να εισαχθεί η έννοια της καμπυλότητας και το σχετικό μαθηματικό υλικό.
Όποτε έχω διδάξει γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό μάθημα, έχω αφιερώσει τις πρώτες δύο εβδομάδες σε μια επανάληψη/συζήτηση της ειδικής σχετικότητας από την γεωμετρική οπτική γωνία και σε μια ποιοτική συζήτηση των θεμελιωδών αρχών που διέπουν την γενική σχετικότητα. Μετά από αυτή την εισαγωγή, προχωράω σε μια πλήρη παρουσίαση όλης της μαθηματικής ύλης που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3 και κλείνω με την εξαγωγή και τη συζήτηση των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν. Αυτό το μαθηματικό κομμάτι του μαθήματος έχει συνήθως διάρκεια περίπου 5 εβδομάδων. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα, μετά τα παραπάνω, υπάρχει χρόνος μόνο για μια επιφανειακή παρουσίαση των παρακάτω σημαντικών θεμάτων: (i) ιδιότητες της γενικής σχετικότητας στην προσέγγιση του ασθενούς πεδίου (Νευτώνειο όριο και βαρυτικά κύματα), (ii) τις FLRW λύσεις και τις βασικές τους ιδιότητες (κοσμολογική ερυθρομετάθεση, θεωρία της μεγάλης έκρηξης, κοσμολογικοί ορίζοντες)και (iii) η λύση του Schwarzschild (πλανητικές τροχιές, καμπύλωση του φωτός, η ιδιότητες της μαύρης τρύπας τύπου Schwarzschild). Πιστεύω ότι ένα μάθημα αυτού του τύπου παρέχει στους φοιτητές μια στέρεα βάση στη γενική σχετικότητα. Παρέχοντας τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία και τις βασικές ιδέες της θεωρίας, επιτρέπει στους φοιτητές να προχωρήσουν περαιτέρω στην μελέτη τους της σχετικότητας. Πάντως, ένα μάθημα αυτού του τύπου έχει το μειονέκτημα ότι ένα μεγάλο μέρος του μαθήματος αφιερώνεται στο μαθηματικό υλικό και αυτό μπορεί να απογοητεύσει κάποιους φοιτητές που θα ήθελαν να δουν περισσότερη φυσική.
Σε ένα μάθημα του ενός εξαμήνου, ο μόνος τρόπος που θα μπορούσε να εισάγει κανείς αρκετό περισσότερο υλικό φυσικής πάνω σε θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία, οι μαύρες τρύπες, η σχετικιστική αστροφυσική και η κοσμολογία, θα ήταν με το να μειώσει σημαντικά τον χρόνο που θα αφιέρωνε στα μαθηματικά. Αν κανείς εισάγει εξαρχής στον φορμαλισμό τις συντεταγμένες και δουλέψει αποκλειστικά με τα στοιχεία των τανυστών σε κάποιο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων, τότε μπορεί κανείς, όπως συζητήθηκε στην ενότητα 3, να προσπεράσει αρκετό από το υλικό σχετικά με τους τανυστές χρησιμοποιώντας απλά τον κανόνα μετασχηματισμού των τανυστών. Τότε μπορεί κανείς να εισάγει την παραγώγιση των τανυστών με τη βοήθεια των συμβόλων Christoffel, τα οποία θα εμφανίζονται ως οι «διορθωτικοί όροι» που θα πρέπει να προστεθούν στην συνήθη παράγωγο ώστε να δουλεύει και για τους τανυστές (και να ικανοποιεί δηλαδή τον μετασχηματισμό των τανυστών σε αλλαγές συντεταγμένων). Μετά μπορεί κανείς να εισάγει τον τανυστή καμπυλότητας του Riemann ως μια ποσότητα που παράγεται από τα Christofell και τις συνήθεις παραγώγους τους με τέτοιο τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να μετασχηματίζεται σαν τανυστής. Το τίμημα που πληρώνει κανείς έτσι είναι ότι χάνει την επαφή με τις βασικές γεωμετρικές ιδέες που βρίσκονται στα θεμέλια της γενικής σχετικότητας – και ειδικότερα τη διαφορά της σε σχέση με όλες τις προηγούμενες θεωρίες σε ότι αφορά την απουσία ενός σταθερού, μη-δυναμικού υποβάθρου στη δομή του χωροχρόνου – αφού αυτές οι βασικές ιδέες είναι δύσκολο να γίνουν αντιληπτές αν η θεωρία δεν διατυπωθεί με τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Επιπλέον οι φοιτητές δεν θα διαθέτουν τα μαθηματικά εργαλεία για να προχωρήσουν την μελέτη τους σε αντικείμενα που περιέχουν μεθόδους που εκμεταλλεύονται την καθολική δομή του χωροχρόνου (global methods) - όπως είναι τα singularity theorems και η γενική θεωρία των μελανών οπών – όπου και πάλι είναι σημαντικό οι διάφορες ιδέες να έχουν διατυπωθεί με ένα τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Παρόλα αυτά, αν κανείς προχωρήσει με αυτόν τον τρόπο , μπορεί να μειώσει τον χρόνο που θα ξοδέψει στα μαθηματικά κατά έναν παράγοντα του 2 ή και περισσότερο, επιτρέποντας έτσι την διάθεση περισσότερου χρόνου σε φυσικές εφαρμογές.

6. Βιβλιογραφία (Resources)
Σημείωση: Β = βασικού επιπέδου, Μ = μεσαίου επιπέδου, Π = προχωρημένου επιπέδου

6.1 Πηγές για εισαγωγική παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Relativity: The Special and the General Theory, The Masterpiece Science Edition, A. Einstein (Pi Press, New York 2005). Είναι η ανατύπωση μίας από τις πρώτες μη-τεχνικές παρουσιάσεις της ειδικής και της γενικής σχετικότητας και περιέχει και μια εισαγωγή γραμμένη από τον Penrose και σχολιασμό από τους R. Geroch και D. Cassidy. (Β)

Flat and Curved Space-Times (second edition), G.F.R. Ellis and R. Williams (Cambridge University Press, Cambridge, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει την ειδική σχετικότητα από την γεωμετρική σκοπιά και κάνει μια εισαγωγή στην γενική σχετικότητα. (Β)

General Relativity from A to B, R. Geroch (University of Chicago Press, Chicago, 1978). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εξαιρετική εισαγωγή στις βασικές ιδέες της γενική σχετικότητας από γεωμετρική σκοπιά. (Β) (δικό μου σχόλιο: το βιβλίο αυτό είναι καταπληκτικό για να εισαχθεί κανείς στην γεωμετρική εικόνα της σχετικότητας)

Gravity from the Ground Up, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 2003). Αυτό το βιβλίο έχει μια ενδιαφέρουσα συζήτηση γύρω από τη φύση της βαρύτητας στην γενική σχετικότητα και τις συνέπειες που έχει για την αστροφυσική και την κοσμολογία. (Β)

Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, E.F. Taylor and J.A. Wheeler (Addison Wesley Longman, San Francisco, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εισαγωγή στη γενική σχετικότητα και τις μαύρες τρύπες δίνοντας μεγαλύτερη βάση στην φυσική. (Β)

Black Holes and TimeWarps: Einstein’s Outrageous Legacy, K.S. Thorne (W.W. Norton, New York, 1994). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει κάποιες από τις πιο εντυπωσιακές ιδέες που έχουν προκύψει στα πλαίσια της γενικής σχετικότητας. Το βιβλίο αυτό είναι μεταφρασμένο και στα Ελληνικά. (Β)

Space, Time, and Gravity: The Theory of the Big Bang and Black Holes (second edition), R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1992). (Β)

Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test (second edition) C.M. Will (Basic Books, New York, 1993). Αυτό το βιβλίο δίνει μια αναλυτική παρουσίαση της πειραματικής και της παρατηρησιακής επαλήθευσης της γενικής σχετικότητας. Και αυτό το βιβλίο υπάρχει μεταφρασμένο στα Ελληνικά και το προτείνω ως ένα πολύ καλό ανάγνωσμα. (Β)

6.2 Πηγές για διαφορική γεωμετρία

Geometry of Manifolds, R.L. Bishop and R.J. Crittenden (American Mathematical Society, Providence, 2001). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)

Tensor Analysis on Manifolds, R.L. Bishop and S. Goldberg (Dover Publications, New York, 1987). (Μ)

Riemannian Geometry, L.P. Eisenhart (Princeton University Press, Princeton, 1997). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει την διαφορική γεωμετρία από την οπτική της επιλογής συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων. (Μ,Π)

Foundations of Differential Geometry, volumes 1 and 2, S. Kobayashi and K. Nomizu (John Wiley and Sons, New York, 1996). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)

Riemannian Manifolds : An Introduction to Curvature, J.H. Lee (Springer-Verlag, New York, 1997). (Μ)

Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, D. Lovelock and H. Rund (Dover Publications, New York, 1989). (Μ)

A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, volumes 1-5, third edition, M. Spivak (Publish or Perish Inc., Houston, 1999). (Μ)

Tensors and Manifolds: With Applications to Mechanics and Relativity, R.H. Wasserman (Oxford University Press, Oxford, 1992). Εισαγωγή στους τανυστές σε πολλαπλότητες. (Μ)

6.3 Πηγές για προπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, J.B. Hartle (Addison Wesley, San Francisco, 2003). Η φιλοσοφία στη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας στους προπτυχιακούς, που παρουσιάστηκε παραπάνω, είναι παρμένη από αυτό το βιβλίο. (Μ)

General Relativity: A Geometric Approach, M. Ludvigsen (Cambridge University Press, Cambridge, 1999). (Μ)

Relativity: Special, General, and Cosmological, W. Rindler (Oxford University Press, Oxford, 2001). (Μ)

A First Course in General Relativity, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 1985). Το βιβλίο αυτό υπάρχει και στα Ελληνικά και είναι μια αρκετά καλή εισαγωγή στη γενική σχετικότητα.(Μ)

Relativity : An Introduction to Special and General Relativity third edition, H. Stephani (Cambridge University Press, Cambridge, 2004). (Μ)

6.4 Πηγές για μεταπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, S. Carroll (Addison Wesley, San Francisco, 2004). Μια πολύ καλή και παιδαγωγική εισαγωγή στη γενική σχετικότητα. (Μ)

The Large Scale Structure of Space-time, S.W. Hawking and G.F.R. Ellis (Cambridge University Press, Cambridge, 1973). Το βιβλίο αυτό αποτελεί την πιο πλήρη παρουσίαση των βασικότερων θεωρημάτων της γενικής σχετικότητας γενικά και ειδικά σε ότι αφορά τις μαύρες τρύπες. (Π)

Relativity on CurvedManifolds, F. de Felice and C.J.S. Clarke (Cambridge University Press, Cambridge, 1990). (Μ,Π)

The Classical Theory of Fields, L.D. Landau and E.M. Lifshitz, (Elsevier, Amsterdam, 1997). Μια πολύ καθαρή παρουσίαση της γενικής σχετικότητας από την οπτική της συγκεκριμένης βάσης συντεταγμένων. (Μ,Π)

Gravitation, K.S. Thorne, C.W. Misner, and J.A. Wheeler (W.H. Freeman, San Francisco, 1973). Αυτό το βιβλίο αποτελεί την πρώτη μοντέρνα παρουσίαση της γενικής σχετικότητας (αλλά παρουσιάζει σε κάποια σημεία συγκριτικά και την οπτική από τις συγκεκριμένες συντεταγμένες). Το βιβλίο δίνει βάρος στην φυσική πίσω από τη θεωρία. (Μ,Π)

Advanced General Relativity, J. Stewart, (Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1991). (Π)

General Relativity, R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1984). (Μ,Π)

Gravitation and Cosmology : Principles and Applications of the General Theory of Relativity, S. Weinberg (Wiley, New York, 1972). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει μια αντί-γεωμετρική προσέγγιση στη γενική σχετικότητα, ενώ κάποια από τα στοιχεία που παρουσιάζει στην κοσμολογία είναι απαρχαιωμένα, αλλά παραμένει μαι από τις καλύτερες αναφορές στις εφαρμογές και τους υπολογισμούς που προκύπτουν στη γενική σχετικότητα. (Μ,Π)

7. Διαλέξεις στο διαδίκτυο

7.1 Από το Perimeter Institute
Relativity (Neil Turok)
Advanced General Relativity (E. Poisson)

7.2 Από Stanford University
Course | Modern Physics: Special Relativity (Leonard Susskind)
Course | Modern Physics: Einstein's Theory (Leonard Susskind)

7.3 Από MIT
Exploring Black Holes: General Relativity & Astrophysics (Edmund Bertschinger και Edwin F. Taylor, homepage του μαθήματος)

Neil Alden Armstrong (August 5, 1930 – August 25, 2012) R.I.P.

Χθες, στις 25 Αυγούστου του 2012, πέθανε σε ηλικία 82 ετών ο αστροναύτης Neil Armstrong.

Ο Armstorng ήταν ο κυβερνήτης της αποστολής Apollo 11 που πάτησε στη Σελήνη στις 20 Ιουλίου του 1969, μαζί με τους Buzz Aldrin και Michael Collins (ο οποίος έμεινε σε σεληνιακή τροχιά για να ελέγχει το Command Module).

Τι να πει κανείς για τον Neil Armstrong...

Θα πω μια ιστορία λοιπόν. Όταν ήμουν μικρός, θυμάμαι που πηγαίναμε μαζί με τον αδελφό μου και κουρευόμασταν στον κουρέα του χωριού. Ήταν ένα παραδοσιακό τελετουργικό που ακολουθούσαμε σχεδόν κάθε φορά που επισκεπτόμασταν το χωριό (στις σχολικές αργίες κατά βάση). Μας έπαιρνε ο πατέρας μου και μας πήγαινε λοιπόν για κούρεμα. Το κουρείο ήταν ένα ειδικά διαμορφωμένο δωματιάκι στο σπίτι του κουρέα, στην αρχή της αυλής, όπου υπήρχαν μέσα οι σχετικοί καθρέφτες, ο πάγκος με τα διάφορα κουρευτικά και ξυριστικά σύνεργα, η κλασική καρέκλα και 1-2 καρέκλες για την αναμονή. Ο χώρος αυτός ήταν γεμάτος και με φωτογραφίες. Είχε φωτογραφίες από εξωτικά μέρη, με φοίνικες και τέτοια, θυμάμαι χαρακτηριστικά και μια γιαπωνέζα που αν άλλαζες την γωνία που την κοίταζες σου έκλεινε το μάτι, κάτι που ήταν φυσικά μία πρόκληση, το να κουνιέσαι εν μέσω κουρέματος για να σου κλείσει το μάτι η γιαπωνέζα δηλαδή. Οι φωτογραφίες όμως που θυμάμαι πιο έντονα ήταν οι φωτογραφίες του Apollo 11. Ο κουρέας είχε τοποθετήσει σε περίοπτη θέση την παραπάνω φωτογραφία που ποζάρει το πλήρωμα της αποστολής. Θυμάμαι ακόμα και την φωτογραφία με το έμβλημα της αποστολής, τον αετό και αν δεν με απατά η μνήμη μου, είχε και άλλες σχετικές φωτογραφίες,

Η αλήθεια είναι ότι πάνε πάρα πολλά χρόνια και οι μνήμες είναι κάπως μπερδεμένες, αλλά την φωτογραφία με τα μέλη της αποστολής που ποζάρουν με την Σελήνη στο φόντο την θυμάμαι πεντακάθαρα. Θυμάμαι να την χαζεύω όσο διαρκούσε η ατελείωτη διαδικασία του κουρέματος (και για έναν πιτσιρικά το να κάθεσαι έστω και για 15 λεπτά σε μια θέση φαινόταν ατελείωτο). Είχε και τα ονόματα των αστροναυτών στη φωτογραφία και θυμάμαι να προσπαθώ να τα αποστηθίσω. Ήταν σχεδόν ένα ταξίδι στη Σελήνη το κούρεμα στο χωριό.

Πραγματικά δεν ξέρω γιατί είχε τις φωτογραφίες από το Apollo 11 στον καθρέφτη του ο κουρέας. Δεν ξέρω αν η όλη ιστορία των ανθρώπων που πάτησαν στη Σελήνη διέγειρε τη φαντασία του ιδίου κάποια στιγμή ή απλά τις είχε βρει κάπου και τις θεώρησε όμορφες φωτογραφίες για να στολίσει τον καθρέφτη και να χαζεύουν οι πελάτες (σε εμένα πάντως έπιασε). Όπως και να έχει, ακόμα και να μην είχε διεγερθεί η φαντασία του κουρέα, τη δικιά μου φαντασία σίγουρα την διέγειρε η παρουσία αυτών των εικόνων και δεν ξέρω ενδεχομένως και πόσων άλλων πιτσιρικάδων του χωριού.

Αυτή ήταν νομίζω και το μεγαλύτερο επίτευγμα αυτών των ανδρών, το ότι κουβάλησαν τη σκέψη όλων μας στη Σελήνη και πέρα από αυτή, στα άστρα. Για αυτό το λόγο, με στεναχωρεί πολύ η απώλεια του Neil Armstrong, γιατί χθες χάσαμε ένα σύμβολο που ταξίδεψε την σκέψη και την φαντασία μας σε πιο μεγάλα πράγματα. Αντίο Neil... μακάρι να συνεχίσουν κάποιοι το έργο που εσύ και οι συνάδελφοί σου αρχίσατε.

Μια από τις μεγαλύτερες επιστημονικές συνεισφορές του Apollo στην θεωρητική φυσική ήταν οι ανακλαστήρες που τοποθέτησαν για να παρακολουθούν την απόσταση Γης-Σελήνης, ένα πείραμα που αποτελεί έναν από τους καλύτερους ελέγχους που έχουμε για κάποιες πλευρές της γενικής σχετικότητας.

Οι φωτογραφίες από την ίδια την αποστολή του Apollo 11 είναι άπειρες και μπορεί να τις βρει κανείς από τα links στο άρθρο της wikipedia. Ενδιαφέρον όμως έχουν και οι φωτογραφίες της σημερινής κατάστασης της θέσης όπου προσσεληνώθηκε η σεληνάκατος. Τις φωτογραφίες αυτές τις τράβηξε ο δορυφόρος LRO (Lunar Reconnaissance Orbiter)

Η φωτογραφία αυτή είναι από το 2009.

Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (μέρος β)

(...συνέχεια από το προηγούμενο)

Προχωράμε λοιπόν με την συνέχεια της μετάφρασης του άρθρου του Robert Wald σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας. Αυτό το κομμάτι αφορά την εισαγωγή των βασικών μαθηματικών εννοιών της διαφορικής γεωμετρίας, που είναι απαραίτητες για την κατανόηση της γενικής σχετικότητας.


3. Διαφορική Γεωμετρία
Η γεωμετρία που χρειάζεται για την κατανόηση της γενικής σχετικότητας είναι η γενίκευση της γεωμετρίας του Riemann για μετρικές που δεν είναι θετικά ορισμένες (δικιά μου σημείωση: δηλαδή για μετρικές που η υπογραφή τους δεν είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή αν εκφράσει κανείς την μετρική σε μορφή πίνακα 4x4 και τον διαγωνιοποιήσει αυτόν τον πίνακα, τότε η υπογραφή του πίνακα είναι το πόσα πρόσημα θετικά ή αρνητικά υπάρχουν - που έχει να κάνει με τις ιδιοτιμές του πίνακα - , έτσι αν όλα τα πρόσημα είναι θετικά τότε ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος, αν είναι όλα αρνητικά είναι αρνητικά ορισμένος, ενώ αν είναι κάποια θετικά και κάποια αρνητικά είναι μη-θετικά ορισμένος. Οι γεωμετρίες του Riemann έχουν θετικά ορισμένες μετρικές ενώ οι μετρικές με υπογραφή 1 αρνητικό και 3 θετικά λέγονται Lorentzian). Ευτυχώς, οι σημαντικές αλλαγές στην μαθηματική περιγραφή που προκύπτει από την παραπάνω γενίκευση, είναι λίγες. Κατά συνέπεια, τα περισσότερα διαισθητικά στοιχεία που έχει κανείς από την κατανόηση των δισδιάστατων επιφανειών Riemann από την καθημερινότητα - όπως είναι η επιφάνεια μιας πατάτας - μπορούν συνήθως να επεκταθούν και στην γενική σχετικότητα. Παρόλα αυτά, δύο σημαντικά σημεία πρέπει να προσεχθούν: (1) Τα περισσότερα διαισθητικά στοιχεία που έχουν οι περισσότεροι άνθρωποι γύρω από το θέμα της καμπυλότητας μιας δισδιάστατης επιφάνειας προκύπτουν από τον τρόπο που αυτή η επιφάνεια είναι εμβαπτισμένη μέσα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Αυτή η έννοια της "εξωτερικής καμπυλότητας" πρέπει να διαχωριστεί από την έννοια της "εσωτερικής καμπυλότητας" ενός χώρου που έχει να κάνει με, για παράδειγμα, την αποτυχία δύο αρχικά παράλληλων γεωδαισιακών της επιφάνειας να παραμείνουν παράλληλες. Για την γενική σχετικότητα, η έννοια που μας ενδιαφέρει είναι αυτή της εσωτερικής καμπυλότητας. (2) Ένα νέο χαρακτηριστικό που εμφανίζεται στην περίπτωση των μη-θετικά ορισμένων μετρικών είναι η παρουσία φωτοειδών (null) διανυσμάτων, δηλαδή μη μηδενικών διανυσμάτων των οποίων το "μήκος" (το μέτρο) είναι μηδέν. Η όποια προσπάθεια να εφαρμόσει κανείς την διαίσθησή του σε φωτοειδή διανύσματα ή φωτοειδείς επιφάνειας (δηλαδή επιφάνειες που είναι παντού ορθογώνιες ένα φωτοειδές διάνυσμα) μπορεί να οδηγήσει σε σοβαρά λάθη.
Όταν διδάσκω γενική σχετικότητα είτε σε προπτυχιακό είτε σε μεταπτυχιακό επίπεδο, τονίζω στους φοιτητές ότι μία από τις κύριες προκλήσεις που έχουν να αντιμετωπίσουν είναι να "ξε-μάθουν" κάποιες από τις βασικές λάθος αντιλήψεις που έχουν για την φύση του χώρου και του χρόνου που έχουν μάθει σχεδόν από την εποχή που πήγαιναν σχολείο ή ακόμα και νωρίτερα. Συζητήσαμε πιο πριν μια τέτοια λάθος αντίληψη (στην προηγούμενη ανάρτηση), την έννοια του απόλυτου ταυτόχρονου. Γενικά, οι φοιτητές που παρακολουθούν μαθήματα γενικής σχετικότητας έχουν μια προηγούμενη επαφή με την ειδική σχετικότητα και άρα γνωρίζουν, μέχρι ένα σημείο, ότι δεν υπάρχει η έννοια αυτή στην ειδική σχετικότητα. Από την άλλη όμως, πολύ λίγοι φοιτητές έχουν επαφή με την ιδέα ότι στην φύση τα σημεία στο χώρο ή τα γεγονότα στον χωροχρόνο δεν διαθέτουν κάποια φυσική δομή διανυσματικού χώρου. Πράγματι, η έννοια του διανύσματος εισάγετε πολύ νωρίς κατά την εκπαίδευση των φοιτητών μέσω της έννοιας του "διανύσματος θέσης" το οποίο αποτελεί μια αναπαράσταση κάποιου σημείου στο χώρο. Οι φοιτητές διδάσκονται ότι αν θεωρήσουμε ένα σημείο ως "αρχή", τότε έχει νόημα να προσθέτει κανείς και να πολλαπλασιάζει με αριθμούς σημεία στο χώρο (μέσω διανυσμάτων θέσης). Η μόνη σημαντική διαφορά που εισάγει η ειδική σχετικότητα είναι η γενίκευση αυτής της δομής από χώρο σε χωροχρόνο: στην ειδική σχετικότητα το διάνυσμα θέσης $$\reverse\opaque \small \vec{x}$$ που αναπαριστά ένα σημείο στο χώρο, αντικαθίσταται από το τετράνυσμα $$\reverse\opaque \small x^{\mu}$$ που αναπαριστά ένα γεγονός στο χωροχρόνο. Κανείς μπορεί να προσθέτει και να πολλαπλασιάζει με αριθμούς τετρανύσματα στην ειδική σχετικότητα με τον ίδιο τρόπο που μπορεί να το κάνει και στην προ-σχετικιστική φυσική.
Αυτή η κατάσταση αλλάζει δραματικά στην γενική σχετικότητα, αφού η ιδιότητα του χώρου ή του χωροχρόνου να έχουν τη δομή διανυσματικού χώρου εξαρτάται απόλυτα από το αν ο χώρος ή ο χωροχρόνος έχει επίπεδη γεωμετρία. Στην γενική σχετικότητα, έχει τόσο νόημα το να προσθέσει κανείς δύο σημεία του χωροχρόνου όσο νόημα έχει να προσπαθήσει να προσθέσει δύο σημεία στην επιφάνεια μιας πατάτας.
Πως προχωράει λοιπόν κανείς στο να ορίσει με μαθηματική ακρίβεια τη γεωμετρία ενός χωροχρόνου στη γενική σχετικότητα - ή την γεωμετρία της επιφάνειας μιας πατάτας; Η έννοια της "συνάρτησης απόστασης" ανάμεσα σε δύο διαφορετικά σημεία μπορεί να ορισθεί για την επιφάνεια μιας πατάτας, όπως μπορεί να ορισθεί και η έννοια του "χωροχρονικού διαστήματος" ανάμεσα σε δύο γεγονότα του χωροχρόνου (που έχουν πεπερασμένη απόσταση, αλλά δεν είναι και πολύ μακρυά - σημείωση δικιά μου: υπάρχει λόγος που δεν θέλεις γενικά να είναι και πολύ μακρυά, αλλά το θέμα είναι τεχνικό) στη γενική σχετικότητα, αλλά θα ήταν αρκετά περίπλοκο να βασίσει κανείς μια γεωμετρική περιγραφή αυτών των οντοτήτων σε τέτοιες έννοιες. Μια πολύ καλύτερη ιδέα είναι να δουλέψει κανείς με απειροστά διαστήματα, εκμεταλλευόμενος την ιδέα ότι σε αρκετά μικρές κλίμακες μια καμπυλωμένη γεωμετρία μοιάζει σχεδόν επίπεδη. Έτσι, οι αποκλίσεις από την επιπεδότητα μπορούν να περιγραφούν με την βοήθεια του διαφορικού λογισμού. Για να προχωρήσει λοιπόν κανείς, ορίζει αρχικά την έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος για να περιγράψει την απειροστή απομάκρυνση από ένα σημείο $$\reverse\opaque p$$. Το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων στο $$\reverse\opaque p$$ μπορεί να έχει τη δομή ενός διανυσματικού χώρου, αλλά στην καμπυλωμένη γεωμετρία, ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο $$\reverse\opaque p$$ δεν μπορεί να συγκριθεί απευθείας με ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα άλλο σημείο $$\reverse\opaque q$$. Αφού έχει μιλήσει κανείς για τα εφαπτόμενα διανύσματα στο $$\reverse\opaque p$$, μπορεί να χρησιμοποιήσει τεχνικές από την γραμμική άλγεβρα για να ορίσει την πιο γενική έννοια του τανυστή στο $$\reverse\opaque p$$. Ένα ιδιαίτερα σημαντικό παράδειγμα τανυστικού πεδίου (δηλαδή ενός τανυστή που ορίζεται για κάθε σημείο $$\reverse\opaque p$$) είναι ο μετρικός τανυστής, που ορίζει απλά το (όχι απαραίτητα θετικά ορισμένο) εσωτερικό γινόμενο των εφαπτόμενων διανυσμάτων (όπως θα δούμε παρακάτω). Όταν ένας μετρικός τανυστής υπάρχει, δίνει μια "φυσική" έννοια διαφόρισης (παραγώγου) των τανυστικών πεδίων. Αυτή η έννοια της παραγώγου επιτρέπει τον ορισμό της έννοιας της γεωδαισιακής (ως η καμπύλη που είναι όσο πιο "ίσια" γίνεται) και της καμπυλότητας - που μπορεί να ορισθεί ως η αποτυχία των παράλληλων γεωδαισιακών να παραμείνουν παράλληλες ή πιο άμεσα ως η αποτυχία των διαδοχικών παραγωγίσεων των τανυστικών πεδίων να μετατίθενται.
Ας εξηγήσουμε τώρα πιο αναλυτικά τι χρειάζεται για να εισάγει κανείς τις παραπάνω βασικές έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας με μαθηματικά ακριβή τρόπο. Αρχικά, χρειαζόμαστε έναν μαθηματικά ακριβή ορισμό της έννοιας του "συνόλου των σημείων" από τα οποία αποτελείται ο χωροχρόνος (ή μια επιφάνεια στην γεωμετρία). Η κατάλληλη έννοια είναι αυτή της πολλαπλότητας, δηλαδή η έννοια ενός συνόλου που "μοιάζει" στον $$\reverse\opaque R^n$$ σε ότι αφορά τις ιδιότητες διαφορισημότητας που έχει, αλλά δεν έχει μετρική ή άλλη δομή. Άρα τα σημεία μιας n-διάστατης πολλαπλότητας μπορούν να ταυτοποιηθούν τοπικά με τις συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small (x^1,\ldots,x^n)$$, αλλά αυτές οι συντεταγμένες είναι αυθαίρετες και μπορούν να αντικατασταθούν από οποιεσδήποτε άλλες συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small (x'^1,\ldots,x'^n)$$ που σχετίζονται όμως με τις συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small (x^1,\ldots,x^n)$$ με ομαλό τρόπο (χωρίς ανωμαλίες). Ένας πιο ακριβής ορισμός μιας n-διάστατης πολλαπλότητας είναι το να την ορίσει κανείς ως ένα σύνολο που μπορεί τοπικά να καλυφθεί από συστήματα συντεταγμένων όπως τα παραπάνω που ικανοποιούν κατάλληλες συνθήκες συμβατότητας στις περιοχές που επικαλύπτονται (δικό μου σχόλιο: δηλαδή, πολλαπλότητα είναι ένα σύνολο για το οποίο υπάρχουν τοπικά απεικονίσεις - ομομορφισμοί- που απεικονίζουν κάθε σημείο μιας περιοχής του συνόλου σε κάποιο σημείο μιας περιοχής του $$\reverse\opaque R^n$$, οι απεικονίσεις αυτές ονομάζονται χάρτες και αποτελούν ουσιαστικά τα συστήματα που ορίζουν οι παρατηρητές, το σύνολο των χαρτών που καλύπτει όλη την πολλαπλότητα λέγεται Άτλας, αν στις περιοχές που επικαλύπτονται δύο χάρτες υπάρχουν απεικονίσεις που πάνε από τα σημεία της περιοχής $$\reverse\opaque V^1$$ της πρώτης απεικόνισης στον $$\reverse\opaque R^n$$ στην περιοχή $$\reverse\opaque V^2$$ της δεύτερης απεικόνισης στον $$\reverse\opaque R^n$$ και οι απεικονίσεις αυτές είναι διαφορίσιμες τότε λέμε ότι έχουμε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα).
Δυστυχώς δεν είναι τόσο εύκολο όσο θα νόμιζε κανείς να δοθεί ένας μαθηματικά ακριβής ορισμός του "εφαπτόμενου διανύσματος". Ο πιο κομψός τρόπος για να το ορίσει κανείς είναι αν το ορίσει ως έναν τελεστή κατευθυνόμενης παραγώγου που δρα πάνω σε συναρτήσεις. Αυτός ο ορισμός έχει το πλεονέκτημα ότι δηλώνει καθαρά το τι είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα χωρίς να χρειάζεται να ορίσει έξτρα έννοιες όπως είναι μια βάση ενός συστήματος συντεταγμένων. Ουσιαστικά, όλα τα σύγχρονα βιβλία μαθηματικών ορίζουν τα εφαπτόμενα διανύσματα με αυτό τον τρόπο. Πάντως, οι περισσότεροι φοιτητές δεν βρίσκουν αυτόν τον ορισμό ιδιαίτερα διαισθητικό.
Ένας πιο διαισθητικός τρόπος να ορισθούν αυτά τα πράγματα είναι να θεωρήσει αρχικά κανείς μια καμπύλη, η οποία προσδιορίζεται από τις συντεταγμένες $$\reverse\opaque \small x^{\mu}(t)$$ των σημείων της ως συναρτήσεις την παραμέτρου t. Τότε, στο σημείο $$\reverse\opaque \small x^{\mu}(t)$$ της καμπύλης για κάποιο συγκεκριμένο t, μπορεί να ορίσει κανείς το εφαπτόμενο διάνυσμα ως την συλλογή των n αριθμών $$\reverse\opaque \small (dx^1/dt,\ldots,dx^n/dt)$$. Οι γραμμές των συντεταγμένων (οι καμπύλες όπου όλες οι συντεταγμένες εκτός από μία είναι σταθερές δηλαδή) είναι και αυτές καμπύλες και η εφαπτόμενη στην μ-οστή συντεταγμένη θα δίνεται από το $$\reverse\opaque \small (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$$, όπου το 1 είναι στην μ-οστή θέση. Με αυτό τον τρόπο μπορεί να δει κανείς τις εφαπτόμενες στις γραμμές των συντεταγμένων σε κάθε σημείο ως μια βάση για τα εφαπτόμενα διανύσματα στο ίδιο σημείο. Άρα, για μια τυχαία καμπύλη $$\reverse\opaque \small x^{\mu}(t)$$, μπορεί κανείς να θεωρήσει το $$\reverse\opaque \small (dx^1/dt,\ldots,dx^n/dt)$$ ως τις συνιστώσες του εφαπτόμενου διανύσματος όπως εκφράζονται στη συγκεκριμένη βάση. Φυσικά αν επιλέξει κανείς ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων, οι συνιστώσες αυτές θα μετασχηματιστούν σύμφωνα με τον νόμο του μετασχηματισμού των διανυσμάτων που μπορεί εύκολα να προκύψει από τον κανόνα της αλυσίδας στις παραγωγίσεις.
Ένας πιο ευθύς τρόπος να ορίσει κανείς το εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο, που συνάδει με όσα αναφέρθηκαν προηγουμένως, είναι να το ορίσει κατευθείαν ως μια συλλογή από n αριθμούς που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων και μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον μετασχηματισμό των διανυσμάτων όταν έχουμε αλλαγή του συστήματος των συντεταγμένων (δικό μου σχόλιο: κάτι που είναι ο συνήθης τρόπος ορισμού στα βιβλία και στη διδασκαλία του μαθήματος στην Αθήνα). Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει τον ορισμό του εφαπτόμενου σε μια πρόταση και έτσι μπορεί κανείς να προχωρήσει σε άλλα θέματα. Αυτός ο ορισμός υπάρχει στα περισσότερα βιβλία μαθηματικών που έχουν γραφεί πριν τα μέσα του 20ου αιώνα καθώς και στα περισσότερα βιβλία γενικής σχετικότητας που έχουν γραφεί από φυσικούς. Ο ορισμός αυτός όμως, δεν είναι ιδιαίτερα διαισθητικός. Επιπλέον, με το να συνδέει κανείς την έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος με ένα σύστημα συντεταγμένων κάνει πιο δύσκολο για τους φοιτητές το να βλέπουν τα εφαπτόμενα διανύσματα με πιο γεωμετρικό και ανεξάρτητο των συντεταγμένων τρόπο.
Αφού έχουν ορισθεί τα εφαπτόμενα διανύσματα, το επόμενο βήμα είναι να ορισθούν οι τανυστές οποιασδήποτε τάξης. Αυτό γίνεται κατασκευαστικά με την βοήθεια της γραμμικής άλγεβρας. Η γραμμική άλγεβρα είναι σχετικά εύκολη σε σύγκριση με διάφορα άλλα αντικείμενα των μαθηματικών και οι φοιτητές που παρακολουθούν γενική σχετικότητα λογικά θα έχουν διδαχτεί κάποιο μάθημα γραμμικής άλγεβρας ή έστω θα έχουν κάποια επαφή με το αντικείμενο. Δυστυχώς όμως ο τρόπος που διδάσκονται οι φοιτητές το αντικείμενο αυτό δεν ταιριάζει με αυτό που χρειάζονται για την γενική σχετικότητα. Το πρόβλημα είναι ότι με τον τρόπο που διδάσκεται η γραμμική άλγεβρα, συνήθως υποβόσκει πάντα ένα θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο. Σε αυτή την περίπτωση, κανείς δουλεύει με τις συνιστώσες ενός τανυστή σύμφωνα με μια ορθοκανονική βάση. Έτσι κανείς κρύβει ουσιαστικά τον ρόλο που παίζει το εσωτερικό γινόμενο, μέσα σε άλλες κατασκευές. Ομοίως κρύβεται και η σημαντική διαφορά ανάμεσα στα διανύσματα και τα δυικά τους διανύσματα. Στην γενική σχετικότητα, η άγνωστη ποσότητα που ψάχνουμε να προσδιορίσουμε είναι ο μετρικός τανυστής, ο οποίος εμπλέκεται στο εσωτερικό γινόμενο των εφαπτόμενων διανυσμάτων. Έτσι, είναι σημαντικό να μην έχει εισαχθεί το εσωτερικό γινόμενο από πριν στις διάφορες βασικές κατασκευές από τη γραμμική άλγεβρα που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε, έτσι ώστε ο ρόλος της μετρικής στις μετέπειτα κατασκευές που θα φτιάξουμε να φαίνεται καθαρά.
Για να προχωρήσουμε, δεδομένου ενός διανυσματικού χώρου $$\reverse\opaque V$$ πεπερασμένης διάστασης - που στην περίπτωσή μας είναι ο εφαπτόμενος χώρος στο σημείο $$\reverse\opaque p$$ - ορίζουμε τον δυικό του χώρο, $$\reverse\opaque V^*$$ ως μια συλλογή από γραμμικές απεικονίσεις από τον $$\reverse\opaque V$$ στο $$\reverse\opaque \mathbb{R}$$. Αυτό που προκύπτει είναι ότι ο $$\reverse\opaque V^*$$ είναι ένας διανυσματικός χώρος με την ίδια διάσταση με τον $$\reverse\opaque V$$, αλλά χωρίς κάποιο εσωτερικό γινόμενο, δεν υπάρχει κάποιος φυσικός τρόπος να ταυτοποιηθούν οι $$\reverse\opaque V$$ και $$\reverse\opaque V^*$$. Παρόλα αυτά, αν θεωρήσουμε μία βάση στον $$\reverse\opaque V$$, υπάρχει η αντίστοιχη βάση στον $$\reverse\opaque V^*$$. Από την στιγμή που ο $$\reverse\opaque V^*$$ είναι διανυσματικός χώρος, μπορούμε και πάλι να θεωρήσουμε τον δυικό του χώρο, παράγοντας έτσι το "διπλά δυικό" χώρο, $$\reverse\opaque V^{**}$$, του $$\reverse\opaque V$$. Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι υπάρχει φυσικός τρόπος να ταυτιστεί ο $$\reverse\opaque V^{**}$$ με τον $$\reverse\opaque V$$.
Μετά τους παραπάνω ορισμούς, ένας τανυστής τύπου (k,l) μπορεί να ορισθεί ως μία πολυ-γραμμική (multilinear) απεικόνιση η οποία απεικονίζει k-στοιχεία του $$\reverse\opaque V^*$$ και l-στοιχεία του $$\reverse\opaque V$$ στο $$\reverse\opaque \mathbb{R}$$. Εξαιτίας του ισομορφισμού που υπάρχει ανάμεσα στον $$\reverse\opaque V$$ και τον $$\reverse\opaque V^*$$, οι τανυστές κάποιου συγκεκριμένου τύπου μπορούν να ειδωθούν και με άλλους ισοδύναμους τρόπους. Για παράδειγμα, οι τανυστές τύπου (1,1) είναι ισόμορφοι με τον διανυσματικό χώρο των γραμμικών απεικονίσεων από τον $$\reverse\opaque V$$ στον $$\reverse\opaque V$$ και είναι και ισόμορφοι με τον διανυσματικό χώρο των γραμμικών απεικονίσεων από τον $$\reverse\opaque V^*$$ στον $$\reverse\opaque V^*$$. Υπάρχουν δύο βασικές πράξεις που μπορεί να κάνει κανείς με τους τανυστές: η "συστολή" και το "τανυστικό γινόμενο". Όλες οι γνωστές πράξεις μπορούν να εκφραστούν ως συνδυασμοί αυτών των δύο. Για παράδειγμα, η σύνθεση δύο γραμμικών απεικονίσεων μπορεί να εκφραστεί ως "τανυστικό γινόμενο" των αντίστοιχων τανυστών και μιας "συστολής" (δικό μου σχόλιο: στο συμβολισμό με τους δείκτες, ένας τανυστής τύπου (1,1) που αναφέρθηκε και παραπάνω, μπορεί να γραφεί ως $$\reverse\opaque \small \delta_b^a$$. Αυτός ο τανυστής είναι μια γραμμική απεικόνιση σαν αυτές που αναφέρονται παραπάνω. Η σύνθεση δύο τέτοιων απεικονίσεων θα εκφραζόταν ως, ένα τανυστικό γινόμενο $$\reverse\opaque \small \delta_c^a \delta_b^d$$ που είναι τύπου (2,2) και ως μία συστολή στους δείκτες c και d, δηλαδή $$\reverse\opaque \small \delta_c^a \delta_b^c$$ που είναι πάλι τανυστής τύπου (1,1)).
Όλες οι παραπάνω κατασκευές και οι ιδιότητές τους μπορούν να στηθούν και να επαληθευτούν απευθείας. Οι περισσότεροι όμως φοιτητές δεν είναι συνηθισμένοι να ξεχωρίζουν τα δυικά διανύσματα από τα διανύσματα. Πράγματι, στα συνήθη πλαίσια, όπου κανείς έχει μια θετικά ορισμένη μετρική, όχι μόνο μπορεί κανείς να ταυτίσει τον $$\reverse\opaque V$$ με τον $$\reverse\opaque V^*$$, αλλά προκύπτει και ότι για μία δεδομένη ορθοκανονική βάση, οι συνιστώσες ενός διανύσματος είναι ίσες με τις αντίστοιχες συνιστώσες του δυικού του διανύσματος στην αντίστοιχη δυική βάση. Οι φοιτητές νιώθουν ότι γνωρίζουν γραμμική άλγεβρα και βαριούνται και γίνονται ανυπόμονοι αν κανείς προσπαθήσει να εισάγει τα παραπάνω αναλυτικά. Σε τελική ανάλυση πήραν το μάθημα για να μάθουν για τις επαναστατικές ιδέες του Αϊνστάιν για τον χώρο, τον χρόνο και την βαρύτητα και όχι για να μάθουν γιατί ένας διανυσματικός χώρος είναι ισομορφικός στον διπλά-δυικό του χώρο. Αλλά, αν οι παραπάνω ιδέες δεν εξηγηθούν προσεκτικά, οι φοιτητές είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα μπερδευτούν στη συνέχεια. Στα 30 χρόνια που διδάσκω γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό επίπεδο, δεν έχω καταφέρει να βρω μια ικανοποιητική λύση σ'αυτό το πρόβλημα και πάντα η συζήτηση γύρω από τους τανυστές ήταν το "ναδίρ" του μαθήματος.
Πολλές φορές η πρακτική που ακολουθείται είναι να προσπερνά κανείς την παραπάνω συζήτηση για τους τανυστές δουλεύοντας κατευθείαν με τα στοιχεία ενός τανυστή σε κάποια βάση που σχετίζεται με κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Αν ορίσει κανείς τον νόμο του μετασχηματισμού των συνιστωσών ενός διανύσματος κάτω από μετασχηματισμούς συντεταγμένων, μπορεί να παράγει τον νόμο μετασχηματισμού των δυικών διανυσμάτων και από εκεί να ορίσει τον νόμο μετασχηματισμού γενικών τανυστών τύπου (k,l). Τότε μπορεί κανείς να ορίσει έναν τανυστή τύπου (k,l) ως ένα αντικείμενο σε μία n-διάστατη πολλαπλότητα του οποίου τα $$\reverse\opaque \small n^{k+l}$$ στοιχεία είναι αριθμοί που σχετίζονται με μια συγκεκριμένη βάση και τα οποία μετασχηματίζονται κάτω από αλλαγές συντεταγμένων σύμφωνα με τον μετασχηματισμού γενικών τανυστών. Αυτή η προσέγγιση ακολουθείται σε πολλά βιβλία μαθηματικών γραμμένα πριν τα μέσα του 20ου αιώνα και σε αρκετά σημερινά βιβλία γενικής σχετικότητας. Έχει το πλεονέκτημα ότι έτσι μπορεί κανείς να προχωρήσει γρήγορα σε άλλα θέματα, χωρίς να πρέπει να αφιερώσει πολύ χρόνο στους τανυστές. Έχει όμως το προφανές μειονέκτημα, ότι αν και οι φοιτητές μπορεί να εκπαιδευτούν να χρησιμοποιούν σωστά τους τανυστές, τελικά καταλήγουν να μην έχουν καταλάβει τι ακριβώς είναι.
Μια μετρική,$$\reverse\opaque g$$, σε έναν διανυσματικό χώρο $$\reverse\opaque V$$ μπορεί να ορισθεί ως ένας τανυστής τύπου (0,2) που δεν είναι εκφυλισμένος, με την έννοια ότι το μόνο διάνυσμα $$\reverse\opaque \upsilon \in V$$ που ικανοποιεί την $$\reverse\opaque \small g(\upsilon,w)=0$$ για κάθε $$\reverse\opaque w \in V$$ είναι το μηδενικό διάνυσμα. Έτσι ορισμένη, μια μετρική μπορεί να ιδωθεί ως ένας ισομορφισμός από τον $$\reverse\opaque V$$ στον $$\reverse\opaque V^*$$. Αν η μετρική είναι θετικά ορισμένη, τότε λέγεται Riemannian, ενώ όταν είναι αρνητικά ορισμένη σε έναν μονοδιάστατο υπόχωρο και θετικά ορισμένη στον τρισδιάστατο υπόχωρο που είναι ορθογώνιος στον προηγούμενο μονοδιάστατο υπόχωρο, τότε λέγεται Lorentzian. Οι Riemannian μετρικές περιγράφουν τις συνηθισμένες καμπύλες γεωμετρίες, όπως η επιφάνεια μιας πατάτας (ή μιας σφαίρας), ενώ οι Lorentzian μετρικές περιγράφουν τους καμπύλους χωροχρόνους της γενικής σχετικότητας.
Κατά τα τελευταία 50 χρόνια, ένα μεγάλο πολιτισμικό χάσμα έχει ανοίξει ανάμεσα στους μαθηματικούς και τους φυσικούς σε ότι αφορά τον συμβολισμό που χρησιμοποιείται για τους τανυστές. Ο παραδοσιακός συμβολισμός - που χρησιμοποιείται ακόμα από τους φυσικούς - απεικονίζει έναν τανυστή, $$\reverse\opaque T$$, τύπου (k,l) χρησιμοποιώντας τα στοιχεία του $$\reverse\opaque T^{\mu_1\ldots\mu_k}_{\nu_1\ldots\nu_l}$$, όπου οι πάνω δείκτες αντιστοιχούν σε διανυσματικούς δείκτες (ανταλλοίωτοι δείκτες) και οι κάτω δείκτες αντιστοιχούν σε δυικούς δείκτες (συναλλοίωτους δείκτες). Αυτός ο συμβολισμός έχει το πλεονέκτημα ότι οι βασικές πράξεις με τανυστές - όπως είναι τα τανυστικά γινόμενα και η συστολή δεικτών - γίνονται πολύ εύκολα και καθαρά. Ο ισομορφισμός ανάμεσα σε διανύσματα και δυικά διανύσματα που ορίζεται με την βοήθεια της μετρικής μπορεί επίσης να παρουσιαστεί πολύ όμορφα με αυτό το συμβολισμό ανεβάζοντας και κατεβάζοντας δείκτες με την μετρική. Παρόλα αυτά, ο συγκεκριμένος συμβολισμός αναγκάζει κανέναν να σκέφτεται τους τανυστές με όρους συνιστωσών παρά ως γεωμετρικά αντικείμενα που δεν χρειάζονται κάποιο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Για αυτό το λόγο, ουσιαστικά όλα τα μοντέρνα βιβλία μαθηματικών ακολουθούν μια παρουσίαση των τανυστών χωρίς δείκτες. Αυτός ο συμβολισμός αναδεικνύει την ανεξάρτητη των συντεταγμένων φύση των τανυστών, αλλά κάνει αρκετά περίπλοκη την παρουσίαση ακόμα και μετρίως περίπλοκων πράξεων. Κατά την γνώμη μου, ένας πολύ καλός συμβιβασμός ανάμεσα στις δύο οπτικές είναι να εφαρμόσει κανείς έναν "αφηρημένο συμβολισμό με δείκτες", ο οποίος διατηρεί τις ευκολίες του συμβολισμού με τους δείκτες, αλλά ένα σύμβολο της μορφής $$\reverse\opaque T^{\mu_1\ldots\mu_k}_{\nu_1\ldots\nu_l}$$ θεωρείται ότι απεικονίζει τον τανυστή και όχι τα στοιχεία του.
Αφού έχουμε ορίσει τους τανυστές σε κάποιο γενικό διανυσματικό χώρο, μπορουμε να επιστρέψουμε στα πλαίσια της πολλαπλότητας και να ορίσουμε ένα τανυστικό πεδίο τύπου (k,l) ως την ανάθεση ενός τανυστή τύπου (k,l) στον εφαπτόμενο χώρο κάθε σημείου της πολλαπλότητας. Το επόμενο σημείο κλειδί είναι να ορίσουμε μία έννοια διαφόρισης των τανυστικών πεδίων. Η έννοια της διαφόρισης των τανυστικών πεδίων είναι μη τετριμμένη γιατί σε μια πολλαπλότητα $$\reverse\opaque M$$ δεν υπάρχει κάποιος φυσικός τρόπος για να ταυτοποιήσουμε τον εφαπτόμενο χώρο σε ένα σημείο $$\reverse\opaque p$$ με τον εφαπτόμενο χώρο σε ένα σημείο σε ένα διαφορετικό σημείο $$\reverse\opaque q$$ και έτσι, δεν μπορεί να πάρει κανείς απλά τη διαφορά ανάμεσα σε δύο τανυστές στα $$\reverse\opaque p$$ και $$\reverse\opaque q$$ και μετά να πάρει το όριο καθώς το $$\reverse\opaque q$$ πλησιάζει στο $$\reverse\opaque p$$. Για την ακρίβεια, αν δεν είχαμε και άλλη δομή εκτός από αυτή της πολλαπλότητας, τότε δεν θα υπήρχε μοναδικός τρόπος να ορισθεί η διαφόριση. Για την ακρίβεια θα υπήρχε μια ολόκληρη κλάση από τρόπους για να ορίσει κανείς την παράγωγο των τανυστικών πεδίων. Αυτές οι διαφορετικές παραγωγίσεις μπορούν να περιγραφούν απευθείας εισάγοντας αξιώματα για την έννοια του τελεστή της παραγώγου, ή ισοδύναμα, εισάγοντας μια έννοια "παράλληλης μετατόπισης" κατά μήκος μιας καμπύλης. Στις μαθηματικές παρουσιάσεις του αντικειμένου, η έννοια της παράλληλης μετατόπισης εισάγεται σε ένα πιο γενικό πλαίσιο όπου έχεις μια "συνοχή" σε μια "εφαπτόμενη δέσμη". Η γενικές έννοιες των εφαπτόμενων δεσμών και των συνοχών έχουν πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά και τη φυσική (ειδικότερα στην περιγραφή των θεωριών βαθμίδας), αλλά θα απαιτούσε μια αρκετά πιο εκτεταμένη μαθηματική εισαγωγή προκειμένου να κάνει κανείς μια γενική συζήτηση αυτών των θεμάτων σε ένα μάθημα γενικής σχετικότητας, ακόμα και σε μεταπτυχιακό επίπεδο.
Αν και δεν υπάρχει λοιπόν κάποιος μοναδικός ορισμός της παραγώγου ενός τανυστή σε κάποιο γενικό πλαίσιο, όταν υπάρχει κάποια μετρική μια μοναδική έννοια παραγώγισης αναδεικνύεται αν κανείς απαιτήσει επιπλέον η παράγωγος της μετρικής να κάνει μηδέν. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία (ή στην ειδική σχετικότητα) αυτή η έννοια της παραγώγισης των τανυστών αντιστοιχεί στην μερική παραγώγιση των συνιστωσών του τανυστή στις καρτεσιανές συντεταγμένες (ή σε καθολικά αδρανειακές συντεταγμένες). Σε μη επίπεδες γεωμετρίες όμως, αυτή η έννοια της παραγώγου - που αποκαλείται συναλλοίωτη παράγωγος - δεν αντιστοιχεί στην μερική παραγώγιση των συνιστωσών (στοιχείων) των τανυστών σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων.
Από την στιγμή που έχει ορισθεί η παραγώγιση των τανυστών, μια γεωδαισιακή μπορεί να ορισθεί ως μία καμπύλη της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα μεταφέρεται παράλληλα κατά μήκος της καμπύλης, δηλαδή η συναλλοίωτη παράγωγος του εφαπτόμενου διανύσματος κατά μήκος του ίδιου του εφαπτόμενου διανύσματος μηδενίζεται (δηλαδή, $$\reverse\opaque u^a\nabla_au^b=0$$). Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς στην Riemannian γεωμετρία ότι μια καμπύλη με δεδομένα άκρα είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν έχει ακρότατο μήκος (μέγιστο ή ελάχιστο) σε σχέση με μεταβολές της καμπύλης που κρατάνε σταθερά όμως τα ακραία σημεία. Αντιστοίχως, σε Lorentzian γεωμετρία, μια χρονοειδής γεωδαισιακή (δηλαδή μια γεωδαισιακή της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα έχει παντού αρνητικό μέτρο με βάση την μετρική του χωροχρόνου) μπορεί να χαρακτηριστεί ως ακρότατο του ιδιόχρονου $$\reverse\opaque \tau$$ που έχει διανυθεί κατά μήκος της καμπύλης. Αν η καμπύλη δίνεται στις συντεταγμένες $$\reverse\opaque x^{\mu}$$ από τις εκφράσεις $$\reverse\opaque x^{\mu}(t)$$, τότε ο ιδιόχρονος $$\reverse\opaque \tau$$ δίνεται από την έκφραση:
$$\reverse\opaque \small \tau=\int^a_b\sqrt{-\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dx^{\nu}}{dt}}dt$$. (2)
Αφού έχουν εισαχθεί οι παραπάνω έννοιες, η καμπυλότητα μπορεί να ορισθεί με τους τρεις παρακάτω ισοδύναμους τρόπους: (1) Το πόσο αποτυγχάνουν οι διαδοχικές συναλλοίωτες παραγωγίσεις των τανυστικών πεδίων να μετατύθενται, (2) Το πόσο αποτυγχάνει ένα διάνυσμα, που με παράλληλη μετατόπιση κινείται κατά μήκος μια απειροστής κλειστής καμπύλης, να συμπίπτει με την αρχική του τιμή, (3) Το πόσο αποτυγχάνουν αρχικά παράλληλες γεωδαισιακές, που έχουν απειροστή απόσταση μεταξύ τους, να παραμένουν παράλληλες. Η καμπυλότητα περιγράφεται από ένα τανυστικό πεδίο τύπου (1,3), που ονομάζεται τανυστής καμπυλότητας του Riemann. Αφού έχει ορισθεί και ο τανυστής του Riemann, έχουμε πια διαθέσιμα όλα τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία για να διατυπώσουμε την θεωρία της γενικής σχετικότητας.


(συνέχεια στο επόμενο...)

Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (μέρος α)

Πρόσφατα, πέτυχα στο arXiv ένα άρθρο του Robert Wald το οποίο είναι ουσιαστικά ένα resource letter για το American Journal of Physics που ασχολείται με το θέμα της διδασκαλίας της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές. Το ζήτημα της διδασκαλίας της σχετικότητας είναι ένα κάπως ακανθώδες θέμα και δυστυχώς υπάρχει και στο Φυσικό της Αθήνας θέμα με την διδασκαλία του συγκεκριμένου αντικειμένου, ενώ υπάρχει και πολύς "θόρυβος" από διάφορους άσχετους που παραπληροφορούν και διδάσκουν βλακείες στους φοιτητές (και όχι μόνο).

Για αυτό το λόγο, και επειδή βρήκα σε κάποια σημεία του letter πολύ χρήσιμες επισημάνσεις, αποφάσισα να το μεταφράσω στα ελληνικά. Η μετάφραση, για ευκολία, θα γίνει σε 3 μέρη, που αντιστοιχούν στις 3 ενότητες που είναι χωρισμένο και το ίδιο το letter.

1. Εισαγωγή
Η Γενική Σχετικότητα είναι η θεωρία του χώρου, του χρόνου, και της βαρύτητας που διατυπώθηκε από τον Αϊνστάιν το 1915. Γενικά θεωρείται ως μια ιδιαίτερα δυσνόητη μαθηματική θεωρία και μέχρι πρόσφατα δεν θεωρείτο ως ένα αντικείμενο που μπορεί να διδαχτεί σε προπτυχιακό επίπεδο. Στην πραγματικότητα όμως, το μαθηματικό υπόβαθρο (δηλαδή ή διαφορική γεωμετρία) που χρειάζεται κανείς για να καταλάβει τις βαθύτερες έννοιες της γενικής σχετικότητας δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο και χρειάζεται την προηγούμενη γνώση πραγμάτων που γενικά διδάσκονται σε ένα μάθημα προχωρημένης ανάλυσης και γραμμικής άλγεβρας. Παρόλα αυτά, οι περισσότεροι φοιτητές φυσικής δεν γνωρίζουν διαφορική γεωμετρία και η εφαρμογή της στη γενική σχετικότητα οδηγεί σε αντιθέσεις με την διαίσθηση που έχουν αναπτύξει από την προηγούμενη διδασκαλία που έχουν δεχτεί, με την βασική αντίθεση να είναι ότι σε αντίθεση με ότι έχουν διδαχτεί ο "χώρος" δεν έχει τις ιδιότητες και την δομή ενός διανυσματικού χώρου. Για αυτό το λόγο, η διδασκαλία του απαραίτητου μαθηματικού υποβάθρου είναι ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσει κανείς προκειμένου να διδάξει γενική σχετικότητα - ειδικά για ένα μάθημα του ενός εξαμήνου (δικό μου σχόλιο: και αυτό είναι ένα από τα προβλήματα στην διδασκαλία του μαθήματος στο τμήμα της Αθήνας). Αν κανείς προσπαθήσει να διδάξει ολοκληρωμένα το μαθηματικό υπόβαθρο, υπάρχει ο κίνδυνος το μάθημα να μετατραπεί σε ένα μάθημα διαφορικής γεωμετρίας με ελάχιστη φυσική. Από την άλλη, αν δεν διδαχτεί ολοκληρωμένα το μαθηματικό υπόβαθρο, τότε συναντά κανείς προβλήματα στο να παρουσιάσει και να εξηγήσει επαρκώς τις μεγάλες διαφορές στην θεώρηση των πραγμάτων που υπάρχουν ανάμεσα στη γενική σχετικότητα και την προ-σχετικιστική και την ειδικο-σχετικιστική αντίληψη της δομής του χωροχρόνου.
Ο στόχος αυτού του κειμένου είναι να παρουσιάσει έναν σύντομο οδηγό στα προβλήματα που μπορεί να συναντήσει κανείς στη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας τόσο προπτυχιακά όσο και μεταπτυχιακά. Θα εστιάσουμε στο πως πρέπει να εισαχθεί το μαθηματικό υπόβαθρο που είναι απαραίτητο για την διατύπωση της γενικής σχετικότητας. Αντιθέτως, δεν θα αναφερθώ ιδιαίτερα στο πως θα πρέπει να διδάξει κανείς τα διάφορα θέματα που συνήθως περιλαμβάνονται σε ένα μάθημα γενικής σχετικότητας αφού έχει εισάγει κανείς την βασική θεωρία, δηλαδή θέματα όπως το όριο του ασθενούς πεδίου, τα διάφορα τεστ της γενικής σχετικότητας, την βαρυτική ακτινοβολία, την κοσμολογία και τις μαύρες τρύπες. Ακόμα, δεν θα παρουσιάσουμε και πάρα πολλές πηγές για την διδασκαλία του αντικειμένου.
Αρχικά θα παρουσιάσω σύντομα τις αλλαγές στην αντίληψη των εννοιών που φέρνει η γενική σχετικότητα. Μετά θα παρουσιάσω τις μαθηματικές έννοιες που χρειάζονται για την ακριβής διατύπωση της θεωρίας. Τέλος, θα παρουσιάσω μερικές στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει κανείς για την διδασκαλεία των απαραίτητων μαθηματικών σε ένα μάθημα γενικής σχετικότητας.

2. Γενική Σχετικότητα
Πριν το 1905, θεωρείτο δεδομένο ότι η αιτιακή δομή (causal structure) του χωροχρόνου ορίζει μια σαφή έννοια του ταυτόχρονου. Για ένα γεγονός $$\reverse\opaque A$$ (δηλαδή, για ένα σημείο στον χώρο σε μια δεδομένη στιγμή στον χρόνο), μπορούμε να ορίσουμε το μέλλον του $$\reverse\opaque A$$ να αποτελείται από όλα τα γεγονότα, που θα μπορούσαν θεωρητικά να είναι προσβάσιμα από ένα σωματίδιο που ξεκινά από το $$\reverse\opaque A$$. Ομοίως, το παρελθόν του $$\reverse\opaque A$$ αποτελείτο από όλα τα γεγονότα από τα οποία κάποιο σωματίδιο θα μπορούσε θεωρητικά να φτάσει στο $$\reverse\opaque A$$. Τα γεγονότα που δεν βρίσκονται ούτε στο μέλλον ούτε στο παρελθόν του $$\reverse\opaque A$$, θεωρούντο ως ταυτόχρονα με το $$\reverse\opaque A$$ και αποτελούσαν ένα τρισδιάστατο χώρο. Η έννοια του ταυτοχρόνου που ήταν ορισμένη με αυτόν τον τρόπο, ορίζει την έννοια "όλου του χώρου για μια δεδομένη χρονική στιγμή", η οποία με την σειρά της επιτρέπει των διαχωρισμό του χωροχρόνου σε χώρο και χρόνο. Είναι σημαντικό να τονισθεί στους φοιτητές ο σημαντικός ρόλος που παίζει αυτή η αντίληψη της προ-σχετικιστικής δομής του χωροχρόνου.
Η μεγάλη επανάσταση που εισήγαγε η ειδική σχετικότητα ήταν η συνειδητοποίηση ότι η αντίληψη για την αιτιακή δομή του χωροχρόνου όπως την περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο ήταν λάθος. Παραδόξως, το σύνολο των γεγονότων που δεν συνδέονται αιτιακά με ένα γεγονός $$\reverse\opaque A$$ αποτελούν κάτι παραπάνω από έναν χώρο 3ων διαστάσεων. Σε ένα χωροχρονικό διάγραμμα, το μέλλον ενός γεγονότος $$\reverse\opaque A$$ μοιάζει με το εσωτερικό ενός κώνου με κορυφή το $$\reverse\opaque A$$ και την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου να αποτελείται από τις τροχιές των φωτονίων που ξεκινούν από το $$\reverse\opaque A$$. Έτσι, στην ειδική σχετικότητα η αιτιακή δομή του χωροχρόνου ορίζει την έννοια του "κώνου φωτός" ενός γεγονότος, αλλά όχι την έννοια του ταυτόχρονου με το γεγονός.
Είναι σημαντικό να εστιάσουμε στην "αναλλοίωτη δομή" του χωροχρόνου, δηλαδή τις πτυχές της δομής του χωροχρόνου που είναι καλά ορισμένες, ανεξάρτητα του ποιος παρατηρητής κάνει τις μετρήσεις. Στην προ-σχετικιστική φυσική, το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο οποιονδήποτε γεγονότων είναι ένα τέτοιο αναλλοίωτο. Το χωρικό διάστημα ανάμεσα σε δύο ταυτόχρονα γεγονότα είναι επίσης ένα τέτοιο αναλλοίωτο. Στην ειδική σχετικότητα όμως, κανένα από τα δύο δεν είναι αναλλοίωτα. Στην ειδική σχετικότητα, η μόνη αναλλοίωτη ποσότητα που σχετίζεται με δύο γεγονότα $$\reverse\opaque A,~B$$, είναι το χωροχρονικό τους διάστημα, που δίνεται σε ένα οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα από την έκφραση
$$\reverse\opaque \small I(A,B)=-(\Delta t)^2+\frac{1}{c^2}\left[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2\right].$$ (1)
Όλα τα στοιχεία της δομής του χωροχρόνου στην ειδική σχετικότητα μπορούν να προκύψουν από το χωροχρονικό μήκος.
Είναι αξιοσημείωτο ότι - εκτός από το μείον μπροστά από το $$\reverse\opaque \small(\Delta t)^2$$ - το χωροχρονικό μήκος έχει την ίδια μορφή με την έκφραση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για το τετράγωνο της απόστασης ανάμεσα σε δύο σημεία στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Το γεγονός αυτό το συνειδητοποίησε πρώτος ο Minkowski to 1908, αλλά η σπουδαιότητά του δεν εκτιμήθηκε από τον Αϊνστάιν παρά μόνο μετά από μερικά χρόνια, όταν άρχισε να αναπτύσσει την γενική σχετικότητα. Αυτή η σύνδεση (του αναλλοίωτου στοιχείου μήκους με την γεωμετρία), επιτρέπει την αντίληψη της ειδικής σχετικότητας ως μιας θεωρίας του επίπεδου χώρου σε Lorentzian γεωμετρία. Στην ειδική σχετικότητα, ο χωροχρόνος περιγράφεται με τρόπο που είναι μαθηματικά ταυτόσημος με αυτόν που περιγράφει κανείς την Ευκλείδεια γεωμετρία, εκτός από τις αλλαγές που προκύπτουν από την παρουσία του αρνητικού προσήμου στην εξίσωση (1). Συγκεκριμένα, οι καθολικές αδρανειακές συντεταγμένες της ειδικής σχετικότητας είναι ευθέως ανάλογες με τις καρτεσιανές συντεταγμένες στην Ευκλείδειας γεωμετρίας, και οι κοσμικές γραμμές των αδρανειακών παρατηρητών είναι απευθείας ανάλογες με τις ευθείες γραμμές (γεωδαισιακές) της Ευκλείδειας γεωμετρίας.
Αυτή η αντίληψη της ειδικής σχετικότητας ως μιας επίπεδης Lorentzian γεωμετρίας, είναι ένα σημαντικό βήμα προς την κατεύθυνση της λογικής της γενικής σχετικότητας. Η γενική σχετικότητα προέκυψε από την προσπάθεια να διατυπωθεί μια θεωρία της βαρύτητας που να είναι συμβατή με τις ιδέες της ειδικής σχετικότητας και να στηρίζεται θεμελιωδώς στην ιδέα της "αρχής της ισοδυναμίας": όλα τα σώματα επηρεάζονται από την βαρύτητα και όλα τα σώματα πέφτουν με τον ίδιο τρόπο σε ένα βαρυτικό πεδίο. Η αρχή της ισοδυναμίας υποδεικνύει ότι η ελεύθερη πτώση σε ένα βαρυτικό πεδίο θα πρέπει να γίνει αντιληπτή ως ανάλογη της αδρανειακής κίνησης στην προ-σχετικιστική φυσική και στην ειδική σχετικότητα. Η βαρύτητα δεν είναι "δύναμη", αλλά μια αλλαγή στη δομή του χωροχρόνου που επιτρέπει στου αδρανειακούς παρατηρητές να επιταχύνονται μεταξύ τους. Είναι αξιοσημείωτο ότι, μετά από πολλά χρόνια δουλειάς, ο Αϊνστάιν ανακάλυψε ότι αυτή η αντίληψη της βαρύτητας μπορούσε να εισαχθεί αν απλά κανείς γενίκευε την επίπεδη Lorentzian γεωμετρία της ειδικής σχετικότητας σε μια καμπυλωμένη Lorentzian γεωμετρία - με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που η επίπεδη Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να γενικευθεί στην καμπυλωμένη γεωμετρία του Riemann. Η γενική σχετικότητα είναι επομένως μια θεωρία της δομής του χωροχρόνου που εξηγεί όλα τα φαινόμενα της βαρύτητας με όρους καμπυλωμένης γεωμετρίας του χωροχρόνου.
Επιπλέον της αντικατάστασης της επίπεδης γεωμετρίας του χωροχρόνου με μια καμπυλωμένη γεωμετρία του χωροχρόνου, η γενική σχετικότητα διαφέρει δραματικά από την ειδική σχετικότητα στο ότι η γεωμετρία του χωροχρόνου δεν είναι καθορισμένη εξ'αρχής, αλλά είναι δυναμική. Η δυναμική εξέλιξη της γεωμετρίας (της μετρικής) του χωροχρόνου περιγράφεται από τις εξισώσεις του Αϊνστάιν, οι οποίες εξισώνουν στοιχεία της καμπυλότητας του χωροχρόνου με τον τανυστή ενέργειας-ορμής της ύλης.


(συνέχεια στο επόμενο...)