Interstellar λοιπόν. Είναι αρκετά χρόνια που την περιμέναμε αυτή την ταινία, ειδικότερα επειδή ο Kip Thorne ήταν μπλεγμένος. Η ταινία λοιπόν κυκλοφόρησε και μπορεί να βρει κανείς πολλές κριτικές και διάφορους σχολιασμούς της.
Παρακάτω παραθέτω ένα infographic από το space.com το οποίο περιγράφει κάποια επιστημονικά σημεία της ταινίας. Εγώ θα σταθώ λίγο στα σχετικά με τις μαύρες τρύπες, χωρίς να μπω σε λεπτομέρειες της πλοκής.
![Diagrams explain the physics concepts of]()
Source SPACE.com: All about our solar system, outer space and exploration.
Φυσικά ένα από τα πρώτα πράγματα που χτυπάνε στο μάτι και που μπορεί να δει κανείς και στα τρέιλερ της ταινίας, είναι η απεικόνιση της μαύρης τρύπας και του δίσκου της. Η ιστορία της απεικόνισης ενός δίσκου προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα είναι παλιά και πάει μέχρι την δεκαετία του 70, όπως μπορεί να δει κανείς και από την δουλειά του Luminet (1979A&A....75..228L)
Στα σχήματα μπορεί να δει κανείς την εικόνα που δημιουργούν στο οπτικό πεδίο του παρατηρητή οι διάφορες περιοχές του δίσκου σε διαφορετικές ακτίνες. Όπως και να έχει πάντως, η απεικόνιση για τις ανάγκες της ταινίας ξεπερνά κατά πολύ το απλό ray tracing που κάνουμε συνήθως για επιστημονικούς σκοπούς και από ότι φαίνεται προέκυψε από την έξτρα λεπτομέρεια της ανάλυση και ένα ενδιαφέρον καινούριο αποτέλεσμα που θα δημοσιευτεί στο Classical and Quantum Gravity.
Ας δούμε όμως λίγο την ίδια την μαύρη τρύπα, τον πλανήτη σε τροχιά γύρω από αυτή και την συζήτηση γύρω από τα σχετικά με τη διαστολή του χρόνου.
Το infographic λοιπόν λέει ότι η μαύρη τρύπα είναι μια υπερμεγέθης μαύρη τρύπα με μάζα περίπου 100 εκατομμύρια ηλιακές μάζες, η οποία περιστρέφεται στο 99.8% της ταχύτητας του φωτός. Με το τελευταίο δεν ξέρω τι εννοεί και δεν βγάζει και πολύ νόημα, οπότε θα υποθέσω ότι εννοεί πως περιστρέφεται με το 0.998 της μέγιστης περιστροφής που μπορεί να έχει μια μαύρη τρύπα, η οποία εκφράζεται από το λόγο της στροφορμής της προς την μάζα της, $$\reverse\opaque a=J/M $$, που μπορεί να είναι το πολύ ίση με την ίδια την μάζα, $$\reverse\opaque a=M $$. Εναλλακτικά αυτά μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια της παραμέτρου περιστροφής, $$\reverse\opaque j=J/M^2 $$, η οποία έχεις ως μέγιστη θεωρητική τιμή την τιμή j=1. Έτσι λοιπόν, η τιμή j=0.998, που τώρα βγάζει νόημα, είναι το λεγόμενο όριο Thorne για την περιστροφή μιας μαύρης τρύπας που μπορεί να βρει κανείς στην φύση και η οποία είναι σε ισορροπία με το περιβάλλον της (η περιστροφή που κερδίζει από την στροφορμή που πέφτει στην μαύρη τρύπα λόγω της πρόσπτωσης ύλης είναι ίση με την στροφορμή που χάνει από τις διάφορες διαδικασίες που συμβαίνουν στην εργόσφαιρά της). Για μια μαύρη τρύπα, υπάρχουν κάποιες χαρακτηριστικές ποσότητες. Μία από αυτές είναι η θέση του ορίζοντα γεγονότων. Για μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα λοιπόν, η θέση του ορίζοντα δίνεται από την έκφραση $$\reverse\opaque R_h=M+\sqrt{M^2-a^2} $$, όπου βλέπουμε ότι στην περίπτωση που δεν έχουμε περιστροφή (α=0) έχουμε το γνωστό αποτέλεσμα για την ακτίνα Schwarzschild, ενώ στην περίπτωση όπου έχουμε την μέγιστη περιστροφή (α=Μ), ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα R=M, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα (ο κατακόρυφος άξονας μετρά την ακτίνα σε μονάδες μάζας της μαύρης τρύπας, ενώ η μία Ηλιακή μάζα είναι περίπου 1.5km)
Για την συγκεκριμένη μαύρη τρύπα με j=0.998 λοιπόν, ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα περίπου ίση με 1.063Μ ή 156.98 εκατομμύρια km.
Μια άλλη σημαντική ακτίνα γύρω από μια μαύρη τρύπα, είναι η ακτίνα της τελευταίας ευσταθούς κυκλικής τροχιάς (ISCO). Αυτή η ακτίνα είναι πολύ σημαντική γιατί σηματοδοτεί την περιοχή πέρα από την οποία δεν μπορεί να έχει κανείς ευσταθείς κυκλικές τροχιές γύρω από μια μαύρη τρύπα, ένα φαινόμενο που είναι χαρακτηριστικό των τροχιών στη γενική σχετικότητα. Έτσι για παράδειγμα, δεν μπορεί να έχει κανείς πλανήτες ή άλλα σώματα σε τροχιά γύρω από μια μαύρη τρύπα στην περιοχή μέσα από το ISCO, ενώ η θέση του ISCO είναι και η περιοχή μέχρι την οποία μπορεί να εκτείνεται ένας δίσκος προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα. Όπως και ο ορίζοντας, έτσι και η θέση του ISCO εξαρτάται από την περιστροφή της μαύρης τρύπας, και η εξάρτηση δίνεται από το παρακάτω σχήμα
όπου βλέπουμε ότι για μια μη περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα το ISCO είναι στα 6Μ, ενώ για μια μαύρη τρύπα με μέγιστη περιστροφή είναι στο 1Μ. Έτσι, για j=0.998, η θέση του ISCO είναι στα 1.23698Μ που είναι περίπου 182.6 εκατομμύρια km.
Στο infographic μπορεί να δει κανείς ότι γύρω από την μαύρη τρύπα υπάρχει ένας πλανήτης που περιστρέφεται σε πολύ κοντινή τροχιά, τόσο κοντινή ώστε η βαρυτική διαστολή χρόνου να είναι τέτοια που μία ώρα στην τροχιά του πλανήτη να αντιστοιχεί σε 7 χρόνια για έναν μακρινό παρατηρητή. Αυτό είναι πολύ, αφού μιλάμε για έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα της τάξης του 61000, και αυτό ακριβώς αποτέλεσε αντικείμενο συζήτησης για το πόσο ρεαλιστικό είναι ένα τέτοιο σενάριο. Το ερώτημα λοιπόν είναι, μπορεί μαι τέτοια μαύρη τρύπα να έχει έναν πλανήτη σε τέτοια τροχιά ώστε να υπάρχει αυτή η διαφορά στον χρόνο; Και η απάντηση είναι όχι, όπως μπορεί να δει κανείς στο παρακάτω σχήμα. Το σχήμα δείχνει τη θέση του ISCO (πράσινη γραμμή), την τιμή του παράγοντα διαστολής του χρόνου που θέλουμε (κόκκινη γραμμή) και την διαστολή του χρόνου σε κυκλικές τροχιές γύρω από την μαύρη τρύπα για διαφορετικές ακτίνες (μπλε γραμμή)
Όπως μπορεί να δει λοιπόν κανείς, στην θέση του ISCO η διαστολή είναι της τάξης του 10 και αυτό είναι το καλύτερο που θα μπορούσε να έχει κανείς σε αυτή την περίπτωση, αφού δεν υπάρχουν ευσταθείς τροχιές πιο μέσα. Θα μπορούσε όμως να έχει διαφύγει κάτι τόσο σημαντικό από τον Kip Thorne; Φυσικά και όχι. Πράγματι στο βιβλίο που κυκλοφόρησε μαζί με την ταινία και έχει τίτλο "The science of Interstellar", ένα αντίτυπο του οποίου μπόρεσα να ξεφυλλίσω προκειμένου να ξεκαθαρίσω αυτό το σημείο, ο Kip περιγράφει τις ιδιότητες της μαύρης τρύπας και εκεί λέει ότι προκειμένου να πετύχει την διαστολή που ήθελε για τους σκοπούς της ταινίας του ο Νόλαν, αναγκάστηκε να υποθέσει μια μαύρη τρύπα με περιστροφή $$\reverse\opaque j=1-10^{-14} $$, δηλαδή πρακτικά με μέγιστη περιστροφή. Σε αυτή την περίπτωση, ουσιαστικά η ακτίνα του ορίζοντα όπως και η ακτίνα του ISCO είναι πρακτικά ίσες με 1Μ ή 147.65 εκατομμύρια km (που είναι μόλις μικρότερες από μία αστρονομική μονάδα, όσο είναι δηλαδή και η ακτίνα της τροχιάς της Γης, όπως δείχνει το infographic). Υπάρχει λοιπόν σ'αυτή την περίπτωση ακτίνα που να μπορεί να έχει την ζητούμενη διαστολή του χρόνου; Η απάντηση τώρα είναι ναι, και η ακτίνα αυτή είναι περίπου στο 1.00004Μ, δηλαδή απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km.
Και εδώ ερχόμαστε στο άλλο θέμα που έχει προκαλέσει συζητήσεις, τις παλιρροϊκές δυνάμεις από την μαύρη τρύπα. Οι παλιρροϊκές δυνάμεις που θα νιώθει ένα σώμα σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα ουσιαστικά έχουν σχέση με την απόκλιση δυο γειτονικών γεωδεσιακών τροχιών. Το μέγεθος που εκφράζει αυτές τις αποκλείσεις είναι ο τανυστής του Riemann. Αν μιλάγαμε για ένα αντικείμενο που θα βρισκόταν στατικό σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα (σε σταθερή ακτίνα χωρίς να περιστρέφετε γύρω της δηλαδή) τότε θα είχαμε παλίρροιες σαν αυτές που έχουμε στη Γη εξαιτίας της Σελήνης (που κινείται πολύ αργά και πρακτικά μπορεί να θεωρηθεί ακίνητη) που θα οφείλονταν στα στοιχεία του τανυστή του Riemann όπως είναι το $$\reverse\opaque R^r_{ttr}=-\frac{M (-3 a^2 + 4 M r - 2 r^2)}{r^5} $$ (το συγκεκριμένο εκφράζει την επιτάχυνση με την οποία αυξάνει η ακτινική απόσταση δυο τροχιών που έχουν μοναδιαία ακτινική απόσταση). Για την εκτίμηση όλων των συνιστωσών της παλιρροϊκής δύναμης θέλουμε ακόμα δύο στοιχεία του τανυστή του Riemann, τα οποία έχουν παρόμοια συναρτησιακή μορφή. Με λίγα λόγια, για την περίπτωσή μας, για α=Μ και r=M η παλιρροϊκή επιτάχυνση θα είναι ανάλογη του, $$\reverse\opaque \frac{d^2r}{dt^2}\propto\frac{1}{M^2}D $$, δηλαδή της διαμέτρου του αντικειμένου διαιρεμένο με το τετράγωνο της μάζας της μαύρης τρύπας. Ότι και να είναι όμως η διάμετρος του αντικειμένου/πλανήτη, σίγουρα θα είναι πολύ μικρότερη από το τετράγωνο των 147.65 εκατομμυρίων χιλιομέτρων, οπότε δεν θα είναι κάτι καταστροφικό. Το αντικείμενό μας όμως δεν είναι στατικό. Περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την μαύρη τρύπα. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε ακόμα μία συνεισφορά από διατμητικές τάσεις στο αντικείμενο. Η συνεισφορά αυτών των τάσεων θα είναι όμως της ίδιας τάξης μεγέθους, δηλαδή και πάλι $$\reverse\opaque \propto\frac{1}{M^2}D $$. Άρα, με λίγα λόγια, οι παλιρροϊκές δυνάμεις δεν περιμένουμε να προκαλέσουν κάποιο πρόβλημα, όπως ανησυχούν κάποιοι.
Αλλά, υπάρχει ένα θέμα, και αυτό είναι το ότι η τροχιά που μας ενδιαφέρει απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km. Η ακτίνα της Γης είναι 6371km, οπότε αν ήταν η Γη σε εκείνη την τροχιά, θα είχε ένα μέρος της μέσα από τον ορίζοντα. Και εκεί είναι που τα πράγματα γίνονται περίεργα (How to mine energy from a black hole, Mining Energy from a Black Hole by Strings, Tensile Strength and the Mining of Black Holes).
Δεν ξέρω αν αυτό το θέμα το σχολιάζει ο Thorne.
Παρακάτω παραθέτω ένα infographic από το space.com το οποίο περιγράφει κάποια επιστημονικά σημεία της ταινίας. Εγώ θα σταθώ λίγο στα σχετικά με τις μαύρες τρύπες, χωρίς να μπω σε λεπτομέρειες της πλοκής.
Source SPACE.com: All about our solar system, outer space and exploration.
Φυσικά ένα από τα πρώτα πράγματα που χτυπάνε στο μάτι και που μπορεί να δει κανείς και στα τρέιλερ της ταινίας, είναι η απεικόνιση της μαύρης τρύπας και του δίσκου της. Η ιστορία της απεικόνισης ενός δίσκου προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα είναι παλιά και πάει μέχρι την δεκαετία του 70, όπως μπορεί να δει κανείς και από την δουλειά του Luminet (1979A&A....75..228L)
Στα σχήματα μπορεί να δει κανείς την εικόνα που δημιουργούν στο οπτικό πεδίο του παρατηρητή οι διάφορες περιοχές του δίσκου σε διαφορετικές ακτίνες. Όπως και να έχει πάντως, η απεικόνιση για τις ανάγκες της ταινίας ξεπερνά κατά πολύ το απλό ray tracing που κάνουμε συνήθως για επιστημονικούς σκοπούς και από ότι φαίνεται προέκυψε από την έξτρα λεπτομέρεια της ανάλυση και ένα ενδιαφέρον καινούριο αποτέλεσμα που θα δημοσιευτεί στο Classical and Quantum Gravity.
Ας δούμε όμως λίγο την ίδια την μαύρη τρύπα, τον πλανήτη σε τροχιά γύρω από αυτή και την συζήτηση γύρω από τα σχετικά με τη διαστολή του χρόνου.
Το infographic λοιπόν λέει ότι η μαύρη τρύπα είναι μια υπερμεγέθης μαύρη τρύπα με μάζα περίπου 100 εκατομμύρια ηλιακές μάζες, η οποία περιστρέφεται στο 99.8% της ταχύτητας του φωτός. Με το τελευταίο δεν ξέρω τι εννοεί και δεν βγάζει και πολύ νόημα, οπότε θα υποθέσω ότι εννοεί πως περιστρέφεται με το 0.998 της μέγιστης περιστροφής που μπορεί να έχει μια μαύρη τρύπα, η οποία εκφράζεται από το λόγο της στροφορμής της προς την μάζα της, $$\reverse\opaque a=J/M $$, που μπορεί να είναι το πολύ ίση με την ίδια την μάζα, $$\reverse\opaque a=M $$. Εναλλακτικά αυτά μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια της παραμέτρου περιστροφής, $$\reverse\opaque j=J/M^2 $$, η οποία έχεις ως μέγιστη θεωρητική τιμή την τιμή j=1. Έτσι λοιπόν, η τιμή j=0.998, που τώρα βγάζει νόημα, είναι το λεγόμενο όριο Thorne για την περιστροφή μιας μαύρης τρύπας που μπορεί να βρει κανείς στην φύση και η οποία είναι σε ισορροπία με το περιβάλλον της (η περιστροφή που κερδίζει από την στροφορμή που πέφτει στην μαύρη τρύπα λόγω της πρόσπτωσης ύλης είναι ίση με την στροφορμή που χάνει από τις διάφορες διαδικασίες που συμβαίνουν στην εργόσφαιρά της). Για μια μαύρη τρύπα, υπάρχουν κάποιες χαρακτηριστικές ποσότητες. Μία από αυτές είναι η θέση του ορίζοντα γεγονότων. Για μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα λοιπόν, η θέση του ορίζοντα δίνεται από την έκφραση $$\reverse\opaque R_h=M+\sqrt{M^2-a^2} $$, όπου βλέπουμε ότι στην περίπτωση που δεν έχουμε περιστροφή (α=0) έχουμε το γνωστό αποτέλεσμα για την ακτίνα Schwarzschild, ενώ στην περίπτωση όπου έχουμε την μέγιστη περιστροφή (α=Μ), ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα R=M, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα (ο κατακόρυφος άξονας μετρά την ακτίνα σε μονάδες μάζας της μαύρης τρύπας, ενώ η μία Ηλιακή μάζα είναι περίπου 1.5km)
Για την συγκεκριμένη μαύρη τρύπα με j=0.998 λοιπόν, ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα περίπου ίση με 1.063Μ ή 156.98 εκατομμύρια km.
Μια άλλη σημαντική ακτίνα γύρω από μια μαύρη τρύπα, είναι η ακτίνα της τελευταίας ευσταθούς κυκλικής τροχιάς (ISCO). Αυτή η ακτίνα είναι πολύ σημαντική γιατί σηματοδοτεί την περιοχή πέρα από την οποία δεν μπορεί να έχει κανείς ευσταθείς κυκλικές τροχιές γύρω από μια μαύρη τρύπα, ένα φαινόμενο που είναι χαρακτηριστικό των τροχιών στη γενική σχετικότητα. Έτσι για παράδειγμα, δεν μπορεί να έχει κανείς πλανήτες ή άλλα σώματα σε τροχιά γύρω από μια μαύρη τρύπα στην περιοχή μέσα από το ISCO, ενώ η θέση του ISCO είναι και η περιοχή μέχρι την οποία μπορεί να εκτείνεται ένας δίσκος προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα. Όπως και ο ορίζοντας, έτσι και η θέση του ISCO εξαρτάται από την περιστροφή της μαύρης τρύπας, και η εξάρτηση δίνεται από το παρακάτω σχήμα
όπου βλέπουμε ότι για μια μη περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα το ISCO είναι στα 6Μ, ενώ για μια μαύρη τρύπα με μέγιστη περιστροφή είναι στο 1Μ. Έτσι, για j=0.998, η θέση του ISCO είναι στα 1.23698Μ που είναι περίπου 182.6 εκατομμύρια km.
Στο infographic μπορεί να δει κανείς ότι γύρω από την μαύρη τρύπα υπάρχει ένας πλανήτης που περιστρέφεται σε πολύ κοντινή τροχιά, τόσο κοντινή ώστε η βαρυτική διαστολή χρόνου να είναι τέτοια που μία ώρα στην τροχιά του πλανήτη να αντιστοιχεί σε 7 χρόνια για έναν μακρινό παρατηρητή. Αυτό είναι πολύ, αφού μιλάμε για έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα της τάξης του 61000, και αυτό ακριβώς αποτέλεσε αντικείμενο συζήτησης για το πόσο ρεαλιστικό είναι ένα τέτοιο σενάριο. Το ερώτημα λοιπόν είναι, μπορεί μαι τέτοια μαύρη τρύπα να έχει έναν πλανήτη σε τέτοια τροχιά ώστε να υπάρχει αυτή η διαφορά στον χρόνο; Και η απάντηση είναι όχι, όπως μπορεί να δει κανείς στο παρακάτω σχήμα. Το σχήμα δείχνει τη θέση του ISCO (πράσινη γραμμή), την τιμή του παράγοντα διαστολής του χρόνου που θέλουμε (κόκκινη γραμμή) και την διαστολή του χρόνου σε κυκλικές τροχιές γύρω από την μαύρη τρύπα για διαφορετικές ακτίνες (μπλε γραμμή)
Όπως μπορεί να δει λοιπόν κανείς, στην θέση του ISCO η διαστολή είναι της τάξης του 10 και αυτό είναι το καλύτερο που θα μπορούσε να έχει κανείς σε αυτή την περίπτωση, αφού δεν υπάρχουν ευσταθείς τροχιές πιο μέσα. Θα μπορούσε όμως να έχει διαφύγει κάτι τόσο σημαντικό από τον Kip Thorne; Φυσικά και όχι. Πράγματι στο βιβλίο που κυκλοφόρησε μαζί με την ταινία και έχει τίτλο "The science of Interstellar", ένα αντίτυπο του οποίου μπόρεσα να ξεφυλλίσω προκειμένου να ξεκαθαρίσω αυτό το σημείο, ο Kip περιγράφει τις ιδιότητες της μαύρης τρύπας και εκεί λέει ότι προκειμένου να πετύχει την διαστολή που ήθελε για τους σκοπούς της ταινίας του ο Νόλαν, αναγκάστηκε να υποθέσει μια μαύρη τρύπα με περιστροφή $$\reverse\opaque j=1-10^{-14} $$, δηλαδή πρακτικά με μέγιστη περιστροφή. Σε αυτή την περίπτωση, ουσιαστικά η ακτίνα του ορίζοντα όπως και η ακτίνα του ISCO είναι πρακτικά ίσες με 1Μ ή 147.65 εκατομμύρια km (που είναι μόλις μικρότερες από μία αστρονομική μονάδα, όσο είναι δηλαδή και η ακτίνα της τροχιάς της Γης, όπως δείχνει το infographic). Υπάρχει λοιπόν σ'αυτή την περίπτωση ακτίνα που να μπορεί να έχει την ζητούμενη διαστολή του χρόνου; Η απάντηση τώρα είναι ναι, και η ακτίνα αυτή είναι περίπου στο 1.00004Μ, δηλαδή απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km.
Και εδώ ερχόμαστε στο άλλο θέμα που έχει προκαλέσει συζητήσεις, τις παλιρροϊκές δυνάμεις από την μαύρη τρύπα. Οι παλιρροϊκές δυνάμεις που θα νιώθει ένα σώμα σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα ουσιαστικά έχουν σχέση με την απόκλιση δυο γειτονικών γεωδεσιακών τροχιών. Το μέγεθος που εκφράζει αυτές τις αποκλείσεις είναι ο τανυστής του Riemann. Αν μιλάγαμε για ένα αντικείμενο που θα βρισκόταν στατικό σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα (σε σταθερή ακτίνα χωρίς να περιστρέφετε γύρω της δηλαδή) τότε θα είχαμε παλίρροιες σαν αυτές που έχουμε στη Γη εξαιτίας της Σελήνης (που κινείται πολύ αργά και πρακτικά μπορεί να θεωρηθεί ακίνητη) που θα οφείλονταν στα στοιχεία του τανυστή του Riemann όπως είναι το $$\reverse\opaque R^r_{ttr}=-\frac{M (-3 a^2 + 4 M r - 2 r^2)}{r^5} $$ (το συγκεκριμένο εκφράζει την επιτάχυνση με την οποία αυξάνει η ακτινική απόσταση δυο τροχιών που έχουν μοναδιαία ακτινική απόσταση). Για την εκτίμηση όλων των συνιστωσών της παλιρροϊκής δύναμης θέλουμε ακόμα δύο στοιχεία του τανυστή του Riemann, τα οποία έχουν παρόμοια συναρτησιακή μορφή. Με λίγα λόγια, για την περίπτωσή μας, για α=Μ και r=M η παλιρροϊκή επιτάχυνση θα είναι ανάλογη του, $$\reverse\opaque \frac{d^2r}{dt^2}\propto\frac{1}{M^2}D $$, δηλαδή της διαμέτρου του αντικειμένου διαιρεμένο με το τετράγωνο της μάζας της μαύρης τρύπας. Ότι και να είναι όμως η διάμετρος του αντικειμένου/πλανήτη, σίγουρα θα είναι πολύ μικρότερη από το τετράγωνο των 147.65 εκατομμυρίων χιλιομέτρων, οπότε δεν θα είναι κάτι καταστροφικό. Το αντικείμενό μας όμως δεν είναι στατικό. Περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την μαύρη τρύπα. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε ακόμα μία συνεισφορά από διατμητικές τάσεις στο αντικείμενο. Η συνεισφορά αυτών των τάσεων θα είναι όμως της ίδιας τάξης μεγέθους, δηλαδή και πάλι $$\reverse\opaque \propto\frac{1}{M^2}D $$. Άρα, με λίγα λόγια, οι παλιρροϊκές δυνάμεις δεν περιμένουμε να προκαλέσουν κάποιο πρόβλημα, όπως ανησυχούν κάποιοι.
Αλλά, υπάρχει ένα θέμα, και αυτό είναι το ότι η τροχιά που μας ενδιαφέρει απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km. Η ακτίνα της Γης είναι 6371km, οπότε αν ήταν η Γη σε εκείνη την τροχιά, θα είχε ένα μέρος της μέσα από τον ορίζοντα. Και εκεί είναι που τα πράγματα γίνονται περίεργα (How to mine energy from a black hole, Mining Energy from a Black Hole by Strings, Tensile Strength and the Mining of Black Holes).
Δεν ξέρω αν αυτό το θέμα το σχολιάζει ο Thorne.
11 σχόλια:
Θα μπορούσαμε να καταλάβουμε το gravitational time dilation χωρίς τα μαθηματικά?
Μπορείς να προτείνεις κάποιο βιβλίο?
στην λιστα μου για διάβασμα έχω τα
1. death by a black hole
2. A brifier history of time
3. The perfect theory
Κοίταξε, σαν ιδέα μπορείς να το καταλάβεις και χωρίς πολλά μαθηματικά, όπως μπορείς να καταλάβεις και την έννοια της διαστολής του χρόνου στην ειδική σχετικότητα λόγω της σχετικής κίνησης παρατηρητών. Αλλά αν θέλεις να μιλήσεις ποσοτικά για το φαινόμενο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις μαθηματικά.
Επί της ουσίας, η "διαστολή του χρόνου" έχει να κάνει με το γεγονός ότι συγκρίνει κανείς χρονικά διαστήματα που τα μετράνε διαφορετικοί παρατηρητές και με το ότι ο χρόνος συνδέεται με τη γεωμετρία και άρα με την ένταση του βαρυτικού πεδίου.
Για να πάρεις μια ιδέα από όλα αυτά, θα πρότεινα το "General Relativity from A to B" του Geroch που είναι πολύ καλό. Ακόμα, είναι αρκετά καλό και σχετικά εισαγωγικό το "Relativity : The Special and the General Theory" του Einstein, το οποίο υπάρχει και ελεύθερο online.
Και μετά είναι κάποια εκλαικευμένα του Kip Thorne και του John Archibald Wheeler.
Καλησπέρα,
είδα χτες την ταινία. Θεώρησα πράγματι ότι οι παλιρροϊκές δυνάμεις θα ήταν πρόβλημα ακόμη και για την ύπαρξη πλανήτη σε μια τέτοια τροχιά και βέβαια απόρησα πώς θα μπορούσε να ξεφύγει κάτι τέτοιο του Thorne. Υπέθεσα ότι απλά αναγκάστηκε να το παραβλέψει για τις ανάγκες του σεναρίου. Με βάση την ανάλυσή σου, λύνεται αυτό το πρόβλημα, αν και βέβαια πρέπει να θεωρήσει κανείς τις παραμέτρους που έβαλε ο Thorne παρατραβηγμένες: ο πλανήτης ισορροπεί "στην κόψη", και στην πράξη δεν θα μπορούσε να υπάρξει ένα τέτοιο σύστημα, παρά μόνο σαν προϊόν "συνωμοσίας της φύσης".
Ένα άλλο πρόβλημα που εντόπισα, αν και δεν είμαι καθόλου σίγουρος, ήταν η απεικόνιση της σκουληκότρυπας: αν το όριό της ήταν τέτοιων διαστάσεων, που η καμπυλότητά της να είναι εμφανής (όπως ήταν, κι αναφέρεις ότι έχει λίγα χιλιόμετρα διάμετρο), δεν θα έπρεπε οι στρεβλώσεις που προκαλεί στο σκάφος και τους επιβάτες να είναι τέτοιες που θα το διαλύσουν;
(Δεν είμαι ειδικός στη γενική σχετικότητα, αλλά φαντάζομαι ότι οποιαδήποτε απόκλιση από τον επίπεδο χώρο με χαρακτηριστικό μέγεθος συγκρίσιμο με το ανθρώπινο σώμα θα είναι υπερβολική για τις αντοχές μας)
Πρόσεξε όμως, μια σκουλικότρυπα δεν είναι μαύρη τρύπα. Και αυτό που βλέπεις δεν είναι ανάλογο του να είσαι κοντά στον ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας, που αν είχε τις διαστάσεις που βλέπουμε, έχεις απόλυτο δίκαιο ότι οι επιπτώσεις θα ήταν καταστροφικές.
Ο Thorne έχει μια παλιά εργασία (1988) στο American Journal of Physics, με τίτλο "Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity", όπου παρουσιάζει μια λύση των εξισώσεων πεδίου της σχετικότητας που είναι σκουλικότρυπα και έχει όλες τις καλές ιδιότητες που θα ήθελε κανείς προκειμένου να μπορεί να την διασχίσει ένα διαστημόπλοιο (μικρές παλιρροϊκές δυνάμεις, να μην έχει ορίζοντα, κλπ.). Φυσικά η λύση είναι στα όρια του τι μπορεί να θεωρηθεί ως ρεαλιστικό, πράγμα το οποίο φαίνεται και από το abstract που παραθέτω:
"Rapid interstellar travel by means of spacetime wormholes is described in a way that is useful for teaching elementary general relativity. The description touches base with Carl Sagan's novel Contact, which, unlike most science fiction novels, treats such travel in a manner that accords with the best 1986 knowledge of the laws of physics. Many objections are given against the use of black holes or Schwarzschild wormholes for rapid interstellar travel. A new class of solutions of the Einstein field equations is presented, which describe wormholes that, in principle, could be traversed by human beings. It is essential in these solutions that the wormhole possess a throat at which there is no horizon; and this property, together with the Einstein field equations, places an extreme constraint on the material that generates the wormhole's spacetime curvature: In the wormhole's throat that material must possess a radial tension τ0 with the enormous magnitude τ0~ (pressure at the center of the most massive of neutron stars)×(20 km)2/(circumference of throat)2. Moreover, this tension must exceed the material's density of mass-energy, ρ0c2. No known material has this τ0>ρ0c2 property, and such material would violate all the ``energy conditions'' that underlie some deeply cherished theorems in general relativity. However, it is not possible today to rule out firmly the existence of such material; and quantum field theory gives tantalizing hints that such material might, in fact, be possible."
Η εργασία υπάρχει εδώ για όποιον ενδιαφέρεται. Κάποια κομμάτια του άρθρου (αν ξεχάσει κανείς τα μαθηματικά) μπορούν να διαβαστούν και από κάποιον μη σχετικό με το αντικείμενο, νομίζω.
Ακόμα, υπάρχει και αυτό εδώ το demo στη σελίδα του http://demonstrations.wolfram.com/ γραμμένο σε mathematica, με το οποίο μπορεί να παίξει κανείς και να δει τροχιές που περνάνε από την μία μεριά της σκουλικότρυπας στην άλλη.
Vagelford, ευχαριστώ για το paper και το demo, θα τα κοιτάξω.
Καταλαβαίνω βέβαια ότι η σκουληκότρυπα διαφέρει από μια μαύρη τρύπα (με πρώτη και κύρια διαφορά ότι μπορεί να τη διασχίσει κανείς και προς τις δύο κατευθύνσεις). Υπάρχει, όμως, κάτι που με μπερδεύει.
Όσο έχω καταλάβει τη γενική σχετικότητα (ξαναλέω ότι μπορεί να κάνω ΠΟΛΥ λάθος), η καμπυλότητα του χώρου πρέπει να επηρεάζει τις κοντινές γεωδαιτικές, ότι κι αν την προκαλεί. Δηλαδή, οι κοντινές γεωδαιτικές θα αποκλίνουν ή θα συγκλίνουν σε έναν έντονα καμπυλωμένο χώρο (φυσικά θα καμπυλώνεται κι ο χρόνος, αλλά αυτό ας το παραβλέψουμε για την ώρα). Εφόσον όμως η βαρύτητα είναι ισοδύναμη με την επιτάχυνση, κι η επιτάχυνση δίνεται ακριβώς από τη συμπεριφορά των κοντινών γεωδαιτικών, δεν θα έπρεπε ένα σώμα να νιώθει σαν παλιρροϊκές δυνάμεις αυτές τις αποκλίσεις, όταν εισέρχεται σε έντονα καμπύλο χώρο;)
Ασφαλώς, δεν αναφέρομαι στη στρεβλωμένη *προοπτική*. Όταν, π.χ., το Endurance πλησίαζε στη σκουληκότρυπα, μπορεί να έβλεπε έντονα καμπυλωμένες εικόνες, αλλά αυτό ήταν απλώς το φως που ερχόταν μέσα από έναν καμπύλο χώρο. Αλλά, όταν μπήκαν μέσα, ακριβώς στο χείλος, βρέθηκαν σε χώρο με χαρακτηριστική ακτίνα καμπυλότητας 1-2 km, ή κάνω λάθος;
Ο "λαιμός" της σκουληκότρυπας μπορεί να είναι σχεδόν επίπεδος χώρος, αλλά το "χείλος" δεν βλέπω πώς θα απέφευγε την έντονη καμπυλότητα. Τι πάει στραβά με το συλλογισμό μου;
Έτσι όπως το λες είναι σχετικά με τις γεωδαισιακές και τις παλιρροϊκές δυνάμεις, αλλά το θέμα είναι ότι στη λύση του Thorne οι διαστάσεις του λαιμού της σκουλικότρυπας δεν είναι ο μόνος παράγοντας που παίζει ρόλο για το μέγεθος της απόκλισης των γεωδαισιακών (οι οποίες εξαρτώνται από την χωροχρονική καμπυλότητα και όχι μόνο του χώρου). Σημαντικό ρόλο παίζει και η ταχύτητα με την οποία διασχίζεις την σκουλικότρυπα, η οποία αν είναι αρκετά μικρή σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός, μπορεί να οδηγεί σε αρκετά μικρές δυνάμεις (δες την άσκηση στο Box 2. στο paper που αναφέρει αυτό ακριβώς).
Η εικόνα που βλέπεις πάνω στη σφαίρα, μέσα στο λαιμό της σκουλικότρυπας δηλαδή, μοιάζει πολύ παραμορφωμένη γιατί ο λαιμός συμπεριφέρεται σαν φακός/καλειδοσκόπιο χονδρικά και αυτό σου δημιουργεί την αίσθηση του πολύ καμπυλωμένου χώρου.
Να πω ακόμα ότι το χείλος της σκουλικότρυπας μην το φαντάζεσαι όπως το χείλος σε ένα πηγάδι. Δεν είναι απαραίτητα κάτι τόσο απότομο. Το demo στο mathematica που έδωσα στην προηγούμενή μου απάντηση δίνει μια πολύ καλή εικόνα του πόσο σχετικά ομαλά είναι τα πράγματα χωρίς απότομες αλλαγές και έντονες καμπυλότητες. Στην ταινία φαντάζομαι δείχνουν αυτή την απότομη μετάβαση για να δραματοποιήσουν το γεγονός. Στην πραγματικότητα κανείς έχει αρχίσει να μπαίνει στη σκουλικότρυπα από νωρίς.
Να πω ακόμα ότι το χείλος της σκουλικότρυπας μην το φαντάζεσαι όπως το χείλος σε ένα πηγάδι. Δεν είναι απαραίτητα κάτι τόσο απότομο.
Ναι, το φαντάστηκα αυτό. Ουσιαστικά, το πήγα στο μυαλό μου με το 2D μοντελο (με την ευκαιρία, μου αρέσει ότι το εξηγούν οι ίδιοι οι χαρακτήρες πριν μπουν στην σκουληκότρυπα, και μάλιστα σαν direct homage στο Event Horizon -- παρότι εκείνη η ταινία ήταν πολύ πιο soft από πλευράς φυσικής).
Ουσιαστικά, έχουμε 3 είδη "γραμμικής καμπυλότητας": την καμπυλότητα του "στόμιου" του πηγαδιού (που είναι κύκλος στις 2 διαστάσεις, και σφαίρα στις 3), η οποία έχει μια ακτίνα 1-2 km. Την κάθετη σε αυτήν καμπυλότητα του "λαιμού", που οδηγεί από το χείλος κατευθείαν μέσα, και της οποίας η χαρακτηριστική ακτίνα ρυθμίζεται από το πόσο απότομο είναι το πηγάδι. Και την χωρο-χρονική καμπυλότητα, για την οποία δεν έχω κάποια καλή διαίσθηση, πέρα από αυτό που λες ότι εξαρτάται από το πόσο γρήγορα κινούνται (κι είναι λογικό).
Η δυσκολία μου είναι να "συνδυάσω" αυτές τις γραμμικές καμπυλότητες ώστε να καταλήξω στην συνολική καμπυλότητα του χωρόχρονου, που θα μας δώσει τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα.
Καταρχάς σ'ευχαριστώ για την όλη ανάλυση σου.
"Αλλά, υπάρχει ένα θέμα, και αυτό είναι το ότι η τροχιά που μας ενδιαφέρει απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km. Η ακτίνα της Γης είναι 6371km, οπότε αν ήταν η Γη σε εκείνη την τροχιά, θα είχε ένα μέρος της μέσα από τον ορίζοντα. Και εκεί είναι που τα πράγματα γίνονται περίεργα (How to mine energy from a black hole, Mining Energy from a Black Hole by Strings, Tensile Strength and the Mining of Black Holes).
Δεν ξέρω αν αυτό το θέμα το σχολιάζει ο Thorne. "
Αν θυμάμε καλά έλεγε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας . στον πλάνήτη ήταν 60% παραπάνω από την Γή.Αν ο πλανήτης είχε αρκετά μεγαλύτερη πυκνότητα σε σχέση με την Γη , τα νούμερα θα μπορούσαν να βγούν αν και το θεωρώ εντελώς παρατραβηγμένο το όλο σενάριο.
Άραγε με τι ταχύτητα κινήται ο πλανήτης γύρω από την ΜΟ???Προφανώς θα είναι τεράστια.
Η διαστολή του χρόνου μήπως εννοεί την συνδιασμένη δράση και από την μεγάλη ταχύτητα του πλάνήτη ή οφείλεται μόνο στην βαρύτητα?
Έχεις δίκαιο ότι η λύση θα μπορούσε να είναι ότι ο πλανήτης έχει την μάζα της Γης ας πούμε, αλλά μικρότερη ακτίνα, οπότε μεγαλύτερη πυκνότητα και άρα ισχυρότερη βαρύτητα. Το αν αυτό μπορεί να δουλέψει εξαρτάται από την καταστατική εξίσωση που ικανοποιεί το υλικό στο εσωτερικό του πλανήτη. Νομίζω όμως ότι για βραχώδης γήινους πλανήτες η καταστατική είναι τέτοια που η ακτίνα αυξάνει με την πυκνότητα και την μάζα.
Σχετικά με το άλλο που λες, φυσικά για να υπολογίσει κανείς την διαστολή του χρόνου πρέπει να συνυπολογίσει και την κίνηση του πλανήτη (η οποία είναι άκρος σχετικιστική). Η καμπύλη που έχω στο σχήμα περιλαμβάνει και την βαρύτητα και την κίνηση (άμα προσέξεις επισημαίνω ότι μιλάμε για την διαστολή για τις κυκλικές τροχιές και όχι για κάποιον που απλά κάθεται ακίνητος σε αυτή την απόσταση).
Σ'ευχαριστώ φίλε Vagelford.Σύνφωνω σε όλα όσα παράθεσες.Άρα αφού ο πλανήτης έχει σχετικιστική ταχύτητα , η οποία προφανώς οφείλετε στην τεράστια βαφρύτητα της Μ.Ο
, ίσως να έχει διαφύγει από ότι ο ίδιος ο πλανήτης θα δίνει 1000 κομμάτια υπό την επίδραση αυτής της δύναμης.Αν ισχύει αυτό άλλο ένα κενό...
Κάτι άλλο που μάλλον κάτι χάνω , ή δεν βγάινει , είναι η επιφανειακή βαρύτητα , σε αυτή την αποσταση.(Black hole surface gravity at the horizon:g=GM/r^2)
r=182.6 εκατομμύρια km
g=398000 m/s^2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28newton+const%29*%28100*10^6%29*%28sun+mass%29%29%2F%28182.6m*10^9%29^2
Μάλλον χρησιμοποιώ λάθος τύπο...γιατί αυτό πως συμβιβάζετε με το 1.6 της γήινης επιτάχυνσης???
:)
Μην ξεχνάς ότι ο πλανήτης είναι σε κυκλική γεωδαισιακή τροχιά γύρω από την μαύρη τρύπα, δηλαδή σε ελεύθερη πτώση στο πεδίο της μαύρης τρύπας και άρα, όπως ένας αστροναύτης σε ένα διαστημόπλοιο σε τροχιά γύρω από τη Γη που είναι σε συνθήκες έλλειψης βαρύτητας, κάποιος πάνω στον πλανήτη δεν "νοιώθει" τη βαρύτητα της μαύρης τρύπας (πέρα από τις πιθανές παλιρροϊκές δυνάμεις). Νοιώθει μόνο την βαρύτητα του ίδιου του πλανήτη.
Δημοσίευση σχολίου