Neutron stars in general relativity: simpler than expected

Τον τελευταίο καιρό υπάρχουν μερικές ενδιαφέρουσες εξελίξεις στον χώρο της φυσικής των αστέρων νετρονίων και των συμπαγών αντικειμένων γενικότερα. Έχουν αρχίσει να αναδεικνύονται κάποιες ιδιότητες αυτών των αντικειμένων που αναμένεται να έχουν σημαντικές αστροφυσικές προεκτάσεις και ίσως μας βοηθήσουν να μετρήσουμε κάποια από τα χαρακτηριστικά τους που μέχρι τώρα ήταν πολύ δύσκολο να μετρηθούν.
Η πρόσφατη εργασία στην οποία παρουσιάζονται τα αποτελέσματα αυτά, δημοσιεύεται στο περιοδικό Physical Review Letters με τίτλο, Effectively universal behavior of rotating neutron stars in general relativity makes them even simpler than their Newtonian counterparts (Phys. Rev. Lett. 112, 121101 (2014), arXiv:1311.5508), και σε γενικές γραμμές η εικόνα που φαίνεται να προκύπτει περιγράφεται περιληπτικά σε αυτή την ανακοίνωση από τη SISSA.


Η εργασία αφορά την μελέτη της συμπεριφοράς των σχετικιστικών πολυπολικών ροπών του χωροχρόνου γύρω από τους αστέρες νετρονίων και αυτό που δείχνει είναι ότι αυτές οι ροπές δεν φαίνεται να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και φαίνεται να υπάρχει μια σχέση που συνδέει τις ροπές ανώτερης τάξης με τις πρώτες μη μηδενικές ροπές, και ταυτόχρονα φαίνεται ότι η σχέση που συνδέει τις ροπές μεταξύ τους είναι σχεδόν ανεξάρτητη από την καταστατική εξίσωση που επιλέγει κανείς για να περιγράψει την πυρηνική ύλη από την οποία αποτελείται ο αστέρας νετρονίων.
Αλλά ας τα πάρουμε με τη σειρά.

==== No-Hair Theorem ====

Το no-hair theorem για τις μαύρες τρύπες αυτό που λέει ουσιαστικά είναι ότι οι ιδιότητες τους, δηλαδή κατά βάση οι ιδιότητες του χωροχρόνου, εξαρτώνται από λίγες βασικές παραμέτρους και όλες οι άλλες ιδιότητες που μπορεί να σχετίζονταν αρχικά με την ύλη από της οποίας την κατάρρευση προέκυψε η μαύρη τρύπα, χάνονται μετά το σχηματισμό της. Γενικά, οι βασικές αυτές παράμετροι είναι η μάζα της μαύρης τρύπας, η στροφορμή της και το φορτίο που μπορεί να έχει, και τίποτα άλλο (no-hair). Σε αστροφυσικό επίπεδο, το φορτίο είναι γενικά μικρού ενδιαφέροντος, οπότε ασχολούμαστε ουσιαστικά μόνο με τις δύο πρώτες, δηλαδή τη μάζα και τη στροφορμή. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ιδιότητες μιας μαύρης τρύπας εξαρτώνται τελικά μόνο από τη μάζα της και την στροφορμή της.


==== Σχετικιστικές πολυπολικές ροπές ====

Τις πολυπολικές ροπές μπορεί να τις έχει ακούσει κανείς στον ηλεκτρομαγνητισμό, όπου μιλάμε για το πολυπολικό ανάπτυγμα του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου. Στην ουσία το πολυπολικό ανάπτυγμα είναι ένας τρόπος για να γράψουμε ένα περίπλοκο πεδίο που έχει προκύψει από μια περίπλοκη κατανομή φορτίου ή ρεύματος σαν συνδυασμό πιο θεμελιωδών συνιστωσών.
Στον ηλεκτρομαγνητισμό τα πράγματα είναι σχετικά απλά, γιατί ισχύει η αρχή της επαλληλίας και τα πράγματα είναι γραμμικά και έτσι όταν προσθέτει κανείς δύο λύσεις των εξισώσεων, αυτό που παίρνει είναι και πάλι λύση που σημαίνει ότι τελικά μπορεί κανείς με πολύ καθαρό τρόπο να ξεχωρίσει αυτές τις θεμελιώδεις συνιστώσες. Στην βαρύτητα τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα.

Οι εξισώσεις της γενικής σχετικότητας είναι μη γραμμικές και δεν μπορεί κανείς να φτιάχνει λύσεις των εξισώσεων απλά προσθέτοντας άλλες λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να κάνει κανείς ακριβώς την ίδια δουλειά που κάνει στον ηλεκτρομαγνητισμό. Παρόλα αυτά υπάρχει τρόπος να ορισθούν Σχετικιστικές πολυπολικές ροπές οι οποίες είναι τελικά οι σχετικιστικές γενικεύσεις των ηλεκτρομαγνητικών ροπών.
Έτσι, ένας δεδομένος χωρόχρονος μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα φάσμα πολυπολικών ροπών. Για παράδειγμα, όταν έχουμε έναν σφαιρικά συμμετρικό χωρόχρονο (την γεωμετρία Schwarzschild για παράδειγμα) που δημιουργείται γύρω από έναν αστέρα που δεν περιστρέφεται, τότε αυτός ο χωρόχρονος χαρακτηρίζεται από μία μόνο ροπή, το μονόπολο, δηλαδή τη μάζα του αστέρα. Επειδή ή βαρύτητα στη γενική σχετικότητα έχει πολλές ομοιότητες με τον ηλεκτρομαγνητισμό, στη σχετικότητα έχουμε δύο είδη ροπών, τις ροπές μάζας που είναι τα ανάλογα των ροπών του ηλεκτρικού πεδίου και έχουμε και τις ροπές της στροφορμής που είναι τα ανάλογα των μαγνητικών ροπών που δημιουργούνται από ρεύματα (στη Νευτώνεια βαρύτητα έχουμε μόνο ροπές μάζας γιατί η Νευτώνεια βαρύτητα είναι σαν την ηλεκτροστατική). Έτσι, αν έχουμε μία περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα, δηλαδή μια μαύρη τρύπα τύπου Kerr, τότε θα έχουμε τη μάζα της μαύρης τρύπας, το μονόπολο, και θα έχουμε και την στροφορμή της μαύρης τρύπας, που είναι το δίπολο της περιστροφής και αντιστοιχεί ας πούμε στο μαγνητικό δίπολο που δημιουργεί ένα κυκλικό ρεύμα. Αλλά εξαιτίας της μη γραμμικότητας της βαρύτητας στη γενική σχετικότητα, οι ροπές δεν τελειώνουν με τη μάζα και τη στροφορμή.
Ο χωροχρόνος της μαύρης τρύπας τύπου Kerr έχει ένα άπειρο φάσμα από πολυπολικές ροπές, οι οποίες όμως εξαρτώνται μόνο από δύο παραμέτρους, την μάζα $$\reverse\opaque M $$ και την στροφορμή $$\reverse\opaque J$$. Έτσι, αν ορίσουμε την παράμετρο του Kerr, $$\reverse\opaque a\equiv J/M $$, οι ροπές της περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας είναι,
$$\reverse\opaque P_n=(ia)^n M$$,
όπου οι πραγματικές ροπές αντιστοιχούν στις ροπές της μάζας (που συμβολίζονται και ως $$\reverse\opaque M_n$$) και οι φανταστικές ροπές αντιστοιχούν στις ροπές της περιστροφής (που συμβολίζονται και ως $$\reverse\opaque S_n$$). Το γεγονός ότι όλες οι ροπές εξαρτώνται μόνο από την μάζα και τη στροφορμή είναι ουσιαστικά άλλη μία έκφανση του no-hair theorem για τις περιστρεφόμενες μαύρες τρύπες. Έτσι, οι πρώτες μη μηδενικές ροπές μιας περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας θα είναι,
$$\reverse\opaque M_0=M$$,
$$\reverse\opaque S_1= aM$$,
$$\reverse\opaque M_2= -a^2 M$$,
$$\reverse\opaque S_3= -a^3 M$$,
$$\reverse\opaque M_4= a^4 M$$,
$$\reverse\opaque S_5= a^5 M$$, κλπ...


==== Σχετικιστικές ροπές των αστέρων νετρονίων ====

Και ερχόμαστε τώρα στους αστέρες νετρονίων και τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στην εργασία.

Οι αστέρες νετρονίων είναι συνήθως το αποτέλεσμα της κατάρρευσης ενός άστρου, που συμβαίνει όταν αυτό έχει πλέον εξαντλήσει όλο το πυρηνικό καύσιμο στο εσωτερικό του, με αποτέλεσμα η πίεση στο εσωτερικό του να μην μπορεί πια να αντισταθεί στην βαρύτητα. Το αποτέλεσμα της κατάρρευσης είναι κάποια στιγμή τα εξωτερικά στρώματα του άστρου να εκραγούν ως ένα θεαματικό supernova, ενώ ο πυρήνας του άστρου συμπιέζεται σε τέτοιο βαθμό που τα ηλεκτρόνια αρχίζουν να ενώνονται με τα πρωτόνια σχηματίζοντας νετρόνια, ώσπου το τελικό αντικείμενο να είναι μία υπέρ συμπαγής σφαίρα που αποτελείται κυρίως από νετρόνια και έχει ακτίνα της τάξης των 10km. Ένας αστέρας νετρονίων με λίγα λόγια, είναι σαν ένας τεράστιος ατομικός πυρήνας, όπου η δύναμη που τον συγκρατεί και τον διαμορφώνει είναι η δύναμη της βαρύτητας.

Για να περιγράψει λοιπόν κανείς έναν αστέρα νετρονίων και το χωροχρόνο γύρω από αυτόν, χρειάζεται να λύσεις τις εξισώσεις πεδίου της γενικής σχετικότητας, οι οποίες περιγράφουν το πως διαμορφώνεται η γεωμετρία και άρα η βαρύτητα από την ύλη, τις σχετικιστικές υδροδυναμικές εξισώσεις, οι οποίες περιγράφουν το πως κινείται αυτή η ύλη, δηλαδή το ρευστό από το οποίο αποτελείται ο αστέρας, και τέλος χρειάζεται και μια καταστατική εξίσωση για την ύλη, η οποία έχει τις πληροφορίες για τις θερμοδυναμικές ιδιότητες του υλικού από το οποίο αποτελείται ο αστέρας και πιο συγκεκριμένα περιγράφει το πως συμπεριφέρεται η πίεση του ρευστού δεδομένης της πυκνότητάς του. Το σύνολο λοιπών αυτών των εξισώσεων πρέπει να λυθεί παντού, μέσα στο άστρο και έξω από αυτό, για να πάρει κανείς τελικά την περιγραφή της δομής του αστέρα νετρονίων και του χωροχρόνου γύρω από αυτόν.

Το σύστημα λοιπόν αυτών των εξισώσεων είναι αρκετά περίπλοκο όταν μιλάμε για περιστρεφόμενους αστέρες νετρονίων και η λύση του μπορεί να γίνει μόνο με αριθμητικές μεθόδους. Πέρα όμως από την περιπλοκότητα των εξισώσεων πεδίου και των εξισώσεων της υδροδυναμικής, υπάρχει και μία ακόμα δυσκολία στο όλο πρόβλημα, και αυτή είναι ότι η καταστατική εξίσωση της ύλης στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων, δεν είναι πολύ καλά γνωστή.

Στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων, υπάρχουν περιοχές όπου η πυκνότητα ξεπερνά την πυκνότητα που βρίσκει κανείς στο εσωτερικό των ατομικών πυρήνων και οι οι ιδιότητες της ύλης σε αυτές τις πυκνότητες δεν έχει διερευνηθεί ακόμα επαρκώς στο εργαστήριο, ενώ ακόμα και η θεωρητική περιγραφή είναι αρκετά δύσκολη και περίπλοκη. Ένας από τους στόχους του LHC είναι να διερευνήσει τις ιδιότητες της ύλης κοντά σε τέτοιες πυκνότητες. Έτσι λοιπόν, με βάση διάφορα θεωρητικά μοντέλα, υπάρχει ένα πλήθος από καταστατικές εξισώσεις που έχουν προταθεί για να περιγράψουν το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων. Και αυτή η ποικιλία έχει ως αποτέλεσμα αρκετή αβεβαιότητα στις μακροσκοπικές ιδιότητες των αστέρων νετρονίων, όπως είναι η μάζα τους και η ακτίνα τους για παράδειγμα.

Το παραπάνω σχήμα δείχνει αυτό ακριβώς. Οι διαφορετικές καμπύλες αντιστοιχούν σε οικογένειες μη περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων, οι οποίες έχουν κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας διαφορετικές ρεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις, όπου αυτό που αλλάζει κατά μήκος της κάθε καμπύλης είναι η πυκνότητα του υλικού στο κέντρο του αστέρα νετρονίων. Βλέπουμε λοιπόν ότι οι διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις οδηγούν σε άστρα με διαφορετικές μάζες και ακτίνες (ο οριζόντιος άξονας είναι η ακτίνα σε χιλιόμετρα και ο κατακόρυφος είναι η μάζα σε μάζες Ήλιου).

Από το παραπάνω σχήμα φαίνεται ακόμα ότι μια πιθανή μέτρηση της μάζας και της ακτίνας αρκετών αστέρων νετρονίων, θα μπορούσαν να μας δώσουν μια εκτίμηση για το ποια ή ποιες καταστατικές εξισώσεις από αυτές που έχουν προταθεί, είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα και μπορεί να περιγράψει με καλύτερη ακρίβεια την ύλη στο εσωτερικό των αστέρων νετρονίων.

Ας επιστρέψουμε όμως στην κατασκευή των αστέρων νετρονίων. Όπως είπαμε παραπάνω, αυτό που πρέπει να κάνει κανείς είναι να λύσει τις εξισώσεις της βαρύτητας (εξισώσεις πεδίου) και τις εξισώσεις του ρευστού για μια δεδομένη καταστατική εξίσωση, για να πάρει τελικά έναν αστέρα νετρονίων που να έχει κάποια δεδομένα χαρακτηριστικά (μάζα και περιστροφή). Από την όλη διαδικασία αυτό που παίρνει κανείς τελικά είναι το ποια είναι η κατανομή της ύλης μέσα στον αστέρα και το ποια είναι η γεωμετρία του χωροχρόνου τόσο μέσα όσο και έξω από τον αστέρα.

(Το σχήμα δείχνει την κατανομή της πυκνότητας ενός γρήγορα περιστρεφόμενου αστέρα νετρονίων. Ο αστέρας είναι πεπλατυσμένος λόγω περιστροφής.)


Όπως συζητήσαμε και παραπάνω, ο χωροχρόνος γύρω από τον αστέρα νετρονίων, μπορεί να χαρακτηριστεί με βάση τις σχετικιστικές πολυπολικές ροπές. Και εδώ αρχίζουν να συμβαίνουν τα ενδιαφέροντα πράγματα. Αν υπολογίσει κανείς τις πρώτες πολυπολικές ροπές για τον χωροχρόνο γύρω από τον αστέρα νετρονίων, θα παρατηρήσει ότι οι ροπές έχουν την παρακάτω μορφή,
$$\reverse\opaque M_0=M$$,
$$\reverse\opaque S_1= aM$$,
$$\reverse\opaque M_2= -\alpha(EOS) a^2 M$$,
$$\reverse\opaque S_3= -\beta(EOS) a^3 M$$,
δηλαδή συμπεριφέρονται σαν τις ροπές μιας περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας, με τη διαφορά ότι υπάρχουν οι παράμετροι α και β που είναι μεγαλύτεροι της μονάδας, σε αντίθεση με τις μαύρες τρύπες όπου είναι 1. Αυτή η ιδιότητα των ροπών των αστέρων νετρονίων είχε παρατηρηθεί παλαιότερα για το $$\reverse\opaque M_2$$ μόνο και πιο πρόσφατα παρατηρήθηκε και για το οκτάπολο της περιστροφής $$\reverse\opaque S_3$$ [PRL 108, 231104 (2012)].
Το γεγονός ότι οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές των αστέρων νετρονίων συμπεριφέρονται ως προς την περιστροφή με τον ίδιο τρόπο όπως οι αντίστοιχες ροπές των περιστρεφόμενων μελανών οπών είναι κάτι που δεν ήταν αναμενόμενο. Στη Νευτώνεια βαρύτητα και για την περίπτωση τουλάχιστον των σφαιροειδών Maclaurin για τα οποία έχουμε αναλυτικές εκφράσεις, αν και στο όριο της αργής περιστροφής παρατηρείται αυτή η συμπεριφορά, όσο αυξάνει η περιστροφή η εικόνα αρχίζει και διαφοροποιείται.

Τα πράγματα όμως γίνονται και πιο ενδιαφέροντα.


==== Συσχέτιση των ροπών ανεξάρτητη της καταστατικής ====

Όπως είπαμε και παραπάνω, υπάρχει αρκετή αβεβαιότητα ως προς το ποια είναι η "σωστή" καταστατική που περιγράφει το εσωτερικό των αστέρων νετρονίων. Και αυτή η αβεβαιότητα μεταφράζεται σε μια αρκετά μεγάλη διαφοροποίηση από καταστατική σε καταστατική των εξωτερικών ιδιοτήτων ενός αστέρα νετρονίων. Και αυτό με τη σειρά του δημιουργεί πρόβλημα στην μοντελοποίηση των αστέρων νετρονίων, όπως όταν θα θέλαμε για παράδειγμα να τους χρησιμοποιήσουμε ως εργαστήρια ισχυρής βαρύτητας προκειμένου να ελέγξουμε τις προβλέψεις της θεωρίας της Σχετικότητας. Η μέχρι τώρα κατάσταση λοιπόν δεν καλλιεργούσε και πολλές ελπίδες ως προς την χρήση των αστέρων νετρονίων για τέτοιες εφαρμογές.

Από ότι φαίνεται όμως η κατάσταση δεν είναι τόσο τραγική και αυτό που δείχνει η συγκεκριμένη εργασία που δημοσιεύεται στο Phys.Rev.Lett. είναι ότι τελικά φαίνεται να υπάρχει τρόπος να παρακαμφθούν οι ιδιαιτερότητες των καταστατικών εξισώσεων και τα αστέρια νετρονίων να περιγραφούν, ως προς τις κατάλληλες παραμέτρους, με έναν ενιαίο τρόπο. Το κλειδί είναι και πάλι οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές.

Αυτό που συμβαίνει λοιπόν είναι ότι, εκτός από το γεγονός ότι οι πολυπολικές ροπές έχουν την απλή μορφή που έχουν και οι ροπές των μελανών οπών, επιπλέον οι συντελεστές α,β που εμφανίζονται στη σχέση των ροπών με την περιστροφή δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και όχι μόνο αυτό οι σχέσεις που τους συνδέουν είναι ανεξάρτητες από την καταστατική εξίσωση που χρησιμοποιεί κανείς. Πιο συγκεκριμένα, η εργασία δείχνει ότι οι συντελεστές α και β συνδέονται με μια σχέση της μορφής,
$$\reverse\opaque \sqrt[3]{\beta}\simeq B \left(\sqrt{\alpha}\right)^{2/3}$$,
όπου ο συντελεστής Β είναι ο ίδιος για όλες τις ρεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή των αστέρων νετρονίων. Αυτό μπορεί να το δει κανείς στο παρακάτω σχήμα.

Τα σημεία που φαίνονται στο σχήμα είναι τα ζευγάρια τιμών των παραμέτρων για κάθε άστρο που κατασκευάστηκε με τις διάφορες καταστατικές και για διάφορες περιστροφές. Το θεαματικό αποτέλεσμα είναι ότι η σχέση φαίνεται να είναι ανεξάρτητη της περιστροφής καταρχήν και κατά δεύτερο φαίνεται να είναι ανεξάρτητη της καταστατικής.

Το αποτέλεσμα αυτό σημαίνει ότι επί της ουσίας μπορεί να μιλήσει κανείς για μια περιγραφή που δεν εξαρτάται από την ακριβή γνώση μας για την καταστατική εξίσωση, η οποία είναι ο μεγάλος άγνωστος αυτή τη στιγμή.

Η παραπάνω ιδιότητα των αστέρων νετρονίων μπορεί να έχει πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Για αρχή, επειδή οι σχετικιστικές πολυπολικές ροπές είναι παράμετροι που μπαίνουν στην περιγραφή του χωροχρόνου γύρω από τους αστέρες νετρονίων (Mon. Not. R. Astron. Soc. 429, 3007-3024 (2013)), το γεγονός ότι δεν είναι όλες αυτές οι παράμετροι ανεξάρτητες σημαίνει ότι μπορεί να φτιάξει κανείς χωρόχρονους για τους αστέρες νετρονίων που να εξαρτώνται στην πραγματικότητα από λιγότερες παραμέτρους. Επιπλέον, το ότι η σχέση ανάμεσα στα πολύπολα είναι ανεξάρτητη της καταστατικής εξίσωσης, σημαίνει ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει έναν χωρόχρονο για το εξωτερικό των αστέρων νετρονίων που και αυτός να είναι ανεξάρτητος της καταστατικής εξίσωσης. Αυτό μπορεί να έχει εφαρμογή στην μελέτη αστροφυσικών διαδικασιών στο περιβάλλον των αστέρων νετρονίων με τρόπο που να μην εξαρτάται από την καταστατική, παρακάμπτοντας έτσι αυτή την άγνωστη ποσότητα που μέχρι τώρα είναι από τους μεγαλύτερους παράγοντες αβεβαιότητας στη μελέτη αυτών των φαινομένων (ο άλλος είναι το μαγνητικό πεδίο).

Μια άλλη εφαρμογή, μπορεί να είναι ο έλεγχος εναλλακτικών θεωριών βαρύτητας. Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν στη γενική σχετικότητα. Κανείς όμως δεν μπορεί να πει ότι θα πρέπει να ισχύουν και στις εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας που μελετώνται σήμερα. Οπότε, μια ενδιαφέρουσα προοπτική είναι να ψάξει κανείς αν παρόμοιες σχέσεις ισχύουν και σε άλλες θεωρίες βαρύτητας. Αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις, τότε μια πιθανή μέτρηση των πρώτων πολυπόλων θα μπορούσε να μας υποδείξει ποια θεωρία βαρύτητας είναι η σωστή.

Εδώ πρέπει να αναφέρουμε ότι τα αποτελέσματα της εργασίας στο Phys.Rev.Lett. έχουν ήδη επεκταθεί. Στην εργασία, "No-Hair Relations for Neutron Stars and Quark Stars: Relativistic Results" (arXiv:1403.6243 [gr-qc]), παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και για την επόμενη πολυπολική ροπή, το $$\reverse\opaque M_4$$, η οποία φαίνεται να ακολουθεί την αντίστοιχη συμπεριφορά με το $$\reverse\opaque S_3$$. Συγκεκριμένα έχουμε ότι,
$$\reverse\opaque M_4= \gamma(EOS) a^4 M$$,
ενώ και σε αυτή την περίπτωση ο συντελεστής γ ακολουθεί μια σχέση περίπου της μορφής,
$$\reverse\opaque \sqrt[4]{\gamma}\simeq K \left(\sqrt{\alpha}\right)^{1}$$,
η οποία είναι η ίδια για όλες τις καταστατικές (όπου εδώ μπαίνουν στο παιχνίδι και τα αστέρια που αποτελούνται από quarks). Το παρακάτω σχήμα δείχνει μαζί σε λογαριθμική κλίμακα τις καμπύλες που ακολουθούν οι παράμετροι γ και β ως προς την παράμετρο α.

Οι σχέσεις αυτές ανάμεσα στους συντελεστές α,β και γ, μπορούν να εκφραστούν και ως σχέσεις ανάμεσα στα πολύπολα απευθείας. Έτσι θα έχουμε ότι,
$$\reverse\opaque S_3 \simeq M_2 S_1 M^{-1}$$, και
$$\reverse\opaque M_4 \simeq (M_2)^2 M^{-1}$$,
που είναι και ο λόγος για τον οποίο γίνεται αναφορά σε "No-Hair Relations" στον τίτλο της εργασίας, η ομοιότητα δηλαδή με τις αντίστοιχες σχέσεις για τις μαύρες τρύπες (όπου εδώ όμως παίζει και το τετράπολο εκτός από την στροφορμή). Στην τελευταία αυτή εργασία γίνεται και περαιτέρω συζήτηση της συμπεριφοράς αυτών των σχετικιστικών σχέσεων με κάποιες αντίστοιχες Νευτώνειες που μπορεί να υπολογίσει κανείς για Νευτώνεια άστρα.


==== Μέτρηση της καταστατικής εξίσωσης ====

Σε όλα τα παραπάνω, ο κοινός τόπος είναι ότι, με την κατάλληλη επιλογή παραμέτρων μπορεί να βγει η καταστατική εξίσωση από το παιχνίδι. Η εργασία στο Phys.Rev.Lett. κλείνει όμως και με μια ενδιαφέρουσα προοπτική που προκύπτει από την όλη διερεύνηση.

Μπορεί οι παράμετροι α,β και γ να σχετίζονται μεταξύ τους με τρόπο ανεξάρτητο της καταστατικής, οι τιμές που παίρνουν οι πολυπολικές ροπές όμως (το μέτρο τους, το μέγεθός τους) δεν είναι ανεξάρτητο. Και αυτό που προκύπτει συγκεκριμένα είναι ότι αν μετρήσει κανείς για παράδειγμα τις τρεις πρώτες ροπές, δηλαδή την μάζα, την στροφορμή και το τετράπολο της μάζας, τότε μπορεί να ξεχωρίσει (ανάλογα με την ακρίβεια που έχει) τις διαφορετικές καταστατικές. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αυτό που βλέπουμε στο σχήμα είναι τις διαφορετικές επιφάνειες που σχηματίζουν οι διαφορετικές καταστατικές (στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι τρεις οι καταστατικές) στον χώρο των παραμέτρων, μάζα, στροφορμή ( j ) και τετράοπολο (ρίζα του α). Επειδή λοιπόν κάθε καταστατική σχηματίζει μια ξεχωριστή επιφάνεια, ουσιαστικά με διάφορες μετρήσεις των πολυπόλων των αστέρων νετρονίων θεωρητικά θα μπορούσαμε να δούμε ποια είναι η επιφάνεια που διαγράφεται σε αυτό το χώρο και άρα να δούμε ποια είναι τελικά η καταστατική εξίσωση των αστέρων νετρονίων.

Εν κατακλείδι, η προοπτική που ανοίγεται με λίγα λόγια είναι διπλή, έλεγχος της βαρύτητας από τη μία και μέτρηση της καταστατικής εξίσωσης από την άλλη.