Την παρασκευή είχαμε ένα mini workshop με την ευκαιρία της επίσκεψης του Θωμά Σωτηρίου και της Silke Weinfurtner από τη SISSA και του Χάρη Αποστολάτου από το UOA (Workshop on Gravitational Physics).
Παρουσιάστηκαν τρεις ομιλίες. Τα θέματα ήταν,
1. Black Holes in the Laboratory (Silke Weinfurtner),
2. Testing GR by a Newtonian Problem (Χάρης Αποστολάτος),
3. Black Holes as Gravity Laboratories (Θωμάς Σωτηρίου).
Το θέμα για το οποίο μίλησε ο Θωμάς ήταν περίπου το ίδιο με αυτό που είχε παρουσιάσει στην Αθήνα το καλοκαίρι (στο link μπορεί να παρακολουθήσει κανείς την τότε ομιλία). Το θέμα που παρουσίασε ο Χάρης αφορούσε τις αναλογίες και τις ομοιότητες που παρουσιάζει ως προς την συμπεριφορά της τροχιακής δυναμικής το Νευτώνειο πρόβλημα του Euler με την τροχιακή δυναμική που έχουμε στην γεωμετρία των μελανών οπών τύπου Kerr (κάτι για το οποίο ίσως γράψω κάποια άλλη φορά, αλλά όποιος θέλει μπορεί να πάρει μια ιδέα εδώ). Το θέμα που παρουσίασε η Silke ήταν σχετικά με τα υδροδυναμικά ανάλογα των μελανών οπών και την εκπομπή ακτινοβολίας Hawking, θέμα στο οποίο είχα αναφερθεί και παλαιότερα. Παρακάτω δίνω τον τίτλο και το abstract της ομιλίας, την οποία μπορεί να παρακολουθήσει κανείς στο βίντεο που ακολουθεί:
Title: Black Holes in the Laboratory
Speaker: Silke Weinfurtner (SISSA)
Abstract: There is a mathematical analogy between the propagation of fields in a general relativistic space-time and long (shallow water) surface waves on moving water. Hawking argued that black holes emit thermal radiation via a quantum spontaneous emission. Similar arguments predict the same effect near wave horizons in fluid flow. By placing a streamlined obstacle into an open channel flow we create a region of high velocity over the obstacle that can include wave horizons. Long waves propagating upstream towards this region are blocked and converted into short (deep water) waves. This is the analogue of the stimulated emission by a white hole (the time inverse of a black hole), and our measurements of the amplitudes of the converted waves demonstrate the thermal nature of the conversion process for this system. Given the close relationship between stimulated and spontaneous emission, our findings attest to the generality of the Hawking process.
Με την αλλαγή του χρόνου, βρίσκω αφορμή να γράψω για κάτι που έχω στο μυαλό μου εδώ και πολύ καιρό και αυτό είναι το θέμα του χρόνου στη Σχετικότητα ειδικά και στη φυσική γενικότερα. Το θέμα αυτό με απασχολεί εδώ και πολύ καιρό.
Την εκπομπή της ΕΤ3, «Το Σύμπαν που Αγάπησα», την γνωρίζει ο περισσότερος κόσμος. Είναι ίσως η πιο γνωστή επιστημονική σειρά ντοκιμαντέρ της Ελληνικής τηλεόρασης, με πολλούς "φανατικούς" οπαδούς, που έχει δεχθεί και βραβεία. Ιδιαιτερότητα της εκπομπής είναι ότι οι ίδιοι οι παρουσιαστές είναι μέλη της πανεπιστημιακής κοινότητας και συγκεκριμένα είναι ο αναπληρωτής καθηγητής Στράτος Θεοδοσίου και ο επίκουρος καθηγητής Μάνος Δανέζης.
Η βασική θεματολογία της εκπομπής είναι γύρω από θέματα σχετικά με την Αστροφυσική γενικά και ειδικότερα την Κοσμολογία, αλλά και τις σύγχρονες φυσικές θεωρίες όπως είναι για παράδειγμα η θεωρία της Σχετικότητας. Η εκπομπή ακόμα πραγματεύεται και ζητήματα Φιλοσοφίας και Ιστορίας της Επιστήμης. Τα τελευταία δεν θα με απασχολήσουν στο συγκεκριμένο post, αν και έχω και εκεί τους προβληματισμούς μου.
Το θέμα που θα με απασχολήσει, έχει να κάνει και με την ορθότητα της παρουσίασης μίας αρκετά βασικής επιστημονικής έννοιας τόσο συνολικά όπως την συναντάμε στη φυσική όσο και ειδικότερα όπως την συναντάμε στην Κοσμολογία. Δηλαδή θα ασχοληθώ και με την ορθότητα της παρουσίασης στα πλαίσια της εκπομπής «Το Σύμπαν που Αγάπησα», της έννοιας του χρόνου στην φυσική γενικά και στην Κοσμολογία ειδικότερα.
Ίσως θα πρέπει να επισημάνω ότι το πρόβλημα με την συγκεκριμένη εκπομπή, δεν είναι μόνο η λάθος παρουσίαση των σχετικών με τον χρόνο και την Κοσμολογία, αλλά και ένα πλήθος άλλων παρόμοιων σφαλμάτων και παρανοήσεων που οδηγούν σε διάφορα "μονοπάτια" ενώ παρουσιάζονται ως δεδομένη επιστημονική γνώση, με την "βούλα" κιόλας δύο καθηγητών Αστροφυσικής του πανεπιστημίου της Αθήνας. Φυσικά αυτό το θέμα είναι ακόμα πιο πλατύ και δύσκολο και περιλαμβάνει ένα ευρύτερο φάσμα περιπτώσεων "επιστημονικής παραπληροφόρησης" από "ειδικούς" και μη και δεν θα ασχοληθώ περισσότερο εδώ.
Ξεκινάμε λοιπόν με το θέμα του χρόνου στην Κοσμολογία. Παρακάτω παραθέτω δύο σχετικά βίντεο. Το πρώτο είναι απόσπασμα από την ίδια την εκπομπή και συγκεκριμένα ένα επεισόδιο του 3ου κύκλου, ενώ το δεύτερο είναι από μία συνέντευξη, όπου παρουσιάζεται η αντίληψη των δύο καθηγητών για τον χρόνο και την μέτρησή του, στα πλαίσια της κοσμολογίας του Big Bang. Όπως φαίνεται στο δεύτερο βίντεο, με τις απόψεις αυτές που παρουσιάζονται, μάλλον συμφωνεί και ο κ. Αγγελόπουλος, τότε πρόεδρος της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και αναπληρωτής καθηγητής του τομέα Πυρηνικής Φυσικής του πανεπιστημίου Αθηνών.
Απόσπασμα από την εκπομπή της ΕΤ3 «Το Σύμπαν που Αγάπησα», 3ος κύκλος, επεισόδιο 11 με τίτλο, «Η ιστορία του Σύμπαντος». Το απόσπασμα περιγράφει το γιατί κατά τους παρουσιαστές της εκπομπής, αναπληρωτή καθηγητή Στράτο Θεοδοσίου και επίκουρο καθηγητή Μάνο Δανέζη, ο χρόνος στην κοσμολογία δεν έχει νόημα και γιατί η έννοια της ηλικίας του Σύμπαντος είναι ένα χωρίς ουσία κατασκεύασμα. Τη θέση τους αυτή τη στηρίζουν στην υπόθεση ότι η καμπυλότητα του σύμπαντος αλλάζει ανάλογα με την πυκνότητα της ύλης μέσα του και άρα αφού αλλάζει η καμπυλότητα, αλλάζει και η διάρκεια της μονάδας του χρόνου, για παράδειγμα του ενός δευτερολέπτου. Έτσι η εκτίμηση της όποιας ηλικίας του σύμπαντος στερείται νοήματος αφού αθροίζονται δευτερόλεπτα διαφορετικής διάρκειας. Τα παραπάνω τα διατυπώνουν στα πλαίσια της κλασσικής FRW κοσμολογίας (μοντέλο Big Bang).
Η ηλικία του Σύμπαντος -- Ο Χρόνος στην κοσμολογία
Δανέζης για τον χρόνο στην Κοσμολογία
Για όποιον βαρέθηκε να δει τα βίντεο, η άποψη για τον χρόνο συνοψίζεται στην περιγραφή του 1ου βίντεο από το YouTube, που παραθέτω παραπάνω.
Ωραία. Για να απαντηθεί το θέμα που τίθεται, θα πρέπει να τα πάρουμε τα πράγματα λίγο από την αρχή. Να ξεκινήσουμε δηλαδή να συζητάμε για το τι είναι ο χρόνος και ποια η σημασία του, στα πλαίσια της ειδικής σχετικότητας αρχικά και της γενικής σχετικότητας στη συνέχεια. Το μόνο που θα χρειαστεί ως δεδομένο στην όλη συζήτηση, είναι μια βασική αίσθηση γεωμετρίας.
Τι είναι λοιπόν ο χωροχρόνος; Για έναν φυσικό (δηλαδή με άλλα λόγια, για κάποιον που θέλει να κάνει φυσική, δηλαδή να μετρήσει, να παρατηρήσει και να υπολογίσει πράγματα), ο χωροχρόνος είναι ένα σύνολο από «γεγονότα». Όπως το λέει πολύ όμορφα ο R. Geroch (“General Relativity from A to B”, Chicago Press), ένα γεγονός είναι το σκάσιμο μίας κροτίδας ή ένα χτύπημα των δαχτύλων. Ένα «γεγονός» λοιπόν είναι κάτι περιορισμένο στον χώρο και τον χρόνο, το ισοδύναμο ενός μαθηματικού σημείου. Έτσι λοιπόν ο χωροχρόνος αποτελείται από γεγονότα. Ένα πιο «φυσικό» παράδειγμα γεγονότος, είναι η σκέδαση ενός ηλεκτρονίου από ένα φωτόνιο. Η στιγμή της σκέδασης είναι ένα γεγονός. Αντιθέτως, το ίδιο το ηλεκτρόνιο, δεν είναι «γεγονός», αφού αποτελεί κάτι που έχει έκταση, αν όχι στον χώρο τουλάχιστον στον χρόνο. Και εδώ ερχόμαστε στο δεύτερο βασικό συστατικό του χωροχρόνου, τις «κοσμικές γραμμές». Κάθε σωματίδιο, αποτελεί και μία κοσμική γραμμή που εκτείνεται στον χρόνο. Για μία τέτοια κοσμική γραμμή, αν προσδιορίσουμε ένα γεγονός επάνω της, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για το «μέλλον» και το «παρελθόν» αυτού του γεγονότος, κατά μήκος της κοσμικής γραμμής. Σε αυτή τη φάση τις έννοιες «μέλλον» και «παρελθόν», τις αναφέρω κάπως αυθαίρετα, αφού δεν έχουμε μιλήσει για το τι σημαίνει ο χρόνος, πράγμα που θα κάνω παρακάτω.
Έτσι λοιπόν, τα βασικά συστατικά του χωροχρόνου είναι τα γεγονότα και οι κοσμικές γραμμές. Με αυτά τα συστατικά και μόνο μπορούμε να μιλήσουμε για χωροχρόνο, χωρίς να χρειάζεται να βάλουμε στη συζήτηση πράγματα όπως «συστήματα συντεταγμένων» και διάφορα άλλα τέτοια. Φυσικά, εμείς δεν είμαστε ικανοποιημένοι μόνο με αυτό. Το ζητούμενο, προκειμένου να κάνει κανείς φυσική, είναι να μιλήσει για την σχέση ανάμεσα σε γεγονότα, δηλαδή να μπορεί να απαντήσει σε ερωτήσεις του τύπου, «το γεγονός Α συμπίπτει με το γεγονός Β;», «το γεγονός Α συνέβη πριν το γεγονός Β;» και διάφορες άλλες τέτοιες ερωτήσεις.
Άρα, εδώ τίθεται το ζήτημα της μέτρησης. Πώς μετράμε στη σχετικότητα ότι έχει σχέση με τα γεγονότα που μας ενδιαφέρουν; Η απάντηση είναι, «μετράμε με τον απλούστερο δυνατό τρόπο, δηλαδή με ράβδους και ρολόγια». Η υλοποίηση αυτής της μετρητικής διαδικασίας είναι ο «παρατηρητής». Ο παρατηρητής, δηλαδή είναι εν γένει μια ιδανική μετρητική συσκευή, εφοδιασμένη με ρολόγια και ράβδους, με τα οποία μετρά χρόνο και αποστάσεις. Μια καλή οπτικοποίηση ενός παρατηρητή είναι αυτή που δίνουν οι Taylor και Wheeler ("Spacetime Physics", W.H.Freeman) όπου ο παρατηρητής είναι ένα πλέγμα από ράβδους και ρολόγια, όπου κάθε ράβδος έχει κάποιο συγκεκριμένο μήκος και σε κάθε κόμβο του πλέγματος υπάρχει ένα ρολόι. Έτσι σε κάθε γεγονός αποδίδουμε κάποιο χρόνο και κάποια θέση σύμφωνα με την παρακάτω διαδικασία: για κάποιο γεγονός που συμβαίνει, του αποδίδουμε τον χρόνο που καταγράφει το κοντινότερο ρολόι στο γεγονός, ενώ για την θέση, του αποδίδουμε την θέση του ίδιου ρολογιού. Ακόμα δεν έχουμε καθορίσει τι είναι αυτός ο χρόνος ή η θέση, αλλά θα το κάνουμε σύντομα. Φυσικά, ανάλογα με την ακρίβεια που θέλουμε, μπορούμε να κάνουμε τα μήκη των ράβδων οσοδήποτε μικρά, καθώς και την ακρίβεια των ρολογιών μας, έτσι ώστε να καλύπτουμε όσο πυκνά θέλουμε όλον τον χώρο και τον χρόνο. Από την παραπάνω εικόνα φαίνεται ότι σε κάθε παρατηρητή, αντιστοιχεί και ένα σύστημα αναφοράς. Η ειδική κλάση των παρατηρητών και των συστημάτων που κινούνται ελεύθερα, χωρίς να επιταχύνονται ή να ασκούνται δυνάμεις επάνω τους, ονομάζονται αδρανειακοί παρατηρητές και αδρανειακά συστήματα αντίστοιχα. Αυτά τα συστήματα όπως τα περιγράψαμε ως πλέγμα, αποτελούν ουσιαστικά και ένα τύπο συστήματος συντεταγμένων, όπου για παράδειγμα ένα γεγονός αποκτά τις συντεταγμένες θέσης, ως προς ένα σημείο αναφοράς, του πλησιέστερου ρολογιού, δηλαδή 3 ράβδους κατά μήκος του ενός άξονα, 5 ράβδους κατά μήκος του άλλου άξονα και 1 ράβδο κατά μήκους του 3ου άξονα (θέση x,y,z) ενώ έχει και την καταγραφή ενός χρόνου από το αντίστοιχο ρολόι (χρόνος t). Πριν όμως προχωρήσουμε περισσότερο στις συντεταγμένες, πρέπει να επιστρέψουμε στο τι είναι ο χρόνος που μετράνε τα ρολόγια και η απόσταση που μετράνε οι ράβδοι.
Ο χρόνος και ο χώρος, είπαμε παραπάνω, ότι μετριέται με ρολόγια και ράβδους. Υπάρχει όμως το ερώτημα, μήπως κρύβεται κάτι περισσότερο πίσω από αυτό; Η απάντηση είναι όχι. Όλη η ουσία νομίζω ότι μπορεί να αποδοθεί με την παρακάτω διατύπωση από το πολύ καλό εκλαϊκευτικό βιβλίο του Hermann Bondi, «Σχετικότητα και κοινή λογική», που έχει μεταφραστεί από τις εκδόσεις Τροχαλία, η οποία είναι:
«Χρόνος είναι αυτό που μετρά ένα ρολόι. Αυτός είναι ο σωστός τρόπος να βλέπουμε τα πράγματα. Μία ποσότητα, όπως ο χρόνος ή οποιοδήποτε άλλο φυσικό μέγεθος, δεν υπάρχει κατά τρόπο αφηρημένο. Δεν έχει κανένα νόημα να συζητάμε για κάτι παρά μόνο όταν καθορίσουμε το πώς θα το μετράμε. Ο καθορισμός της μεθόδου μέτρησής του είναι ο μόνος σίγουρος τρόπος για να αποφύγουμε τις χωρίς νόημα συζητήσεις.»
Η διατύπωση αυτή, κάνει απόλυτα σαφές τι σημαίνει χρόνος και χώρος. Χρόνος είναι αυτό που μετρά το ρολόι μου και χώρος είναι αυτό που μετρά η ράβδος μου. Το ίδιο ακριβώς πράγμα ξεκαθαρίζει και ο Einstein στην πρώτη εκείνη εργασία του 1905, «Επί της Ηλεκτροδυναμικής των Κινούμενων Σωμάτων». Συγκεκριμένα, παραθέτω από την μετάφραση του Θάνου Χριστακόπουλου, από τις εκδόσεις Τροχαλία, «Η ειδική θεωρία της Σχετικότητας (Τα πρωτότυπα άρθρα)»,
«Η θεωρία που πρόκειται να αναπτυχθεί, βασίζεται – όπως και όλη η ηλεκτροδυναμική – στην κινηματική του στερεού σώματος, από τη στιγμή που οι ισχυρισμοί οποιασδήποτε τέτοιας θεωρίας συνδέονται με τις σχέσεις μεταξύ στερεών σωμάτων (συστημάτων συντεταγμένων), ρολογιών και ηλεκτρομαγνητικών διαδικασιών.»
Η αναφορά αυτή του Einstein, εμφανίζει και τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα ως πρωταρχικής σημασίας για την θεωρία της σχετικότητας και αυτό οφείλεται στον σημαντικό ρόλο που παίζει η ταχύτητα του φωτός, ως μία σταθερά της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας (σε αυτό θα αναφερθούμε παρακάτω).
Η έμφαση που δίνεται σε αυτό το σημείο στο γεγονός ότι ο χρόνος για έναν παρατηρητή είναι αυτό που μετρά το ρολόι του (όπου φυσικά αυτό μπορεί να το δει κανείς σε οποιοδήποτε βιβλίο σχετικότητας και αν ανοίξει), έρχεται σε σαφή αντίθεση με αυτά που διατυπώνονται στα παραπάνω βίντεο ειδικά και στο σύνολο των συγκεκριμένων εκπομπών γενικά. Παρακάτω θα γίνει ακόμα πιο ξεκάθαρη η σημασία της διατύπωσης ότι «ο χρόνος ενός παρατηρητή είναι αυτός που μετράει το ρολόι του» και της καθολικότητας αυτής της πρότασης.
Ωραία, είπαμε μέχρι τώρα ότι τα θεμελιώδη συστατικά του χωροχρόνου είναι τα γεγονότα και οι κοσμικές γραμμές, όπου παράδειγμα των τελευταίων είναι τα στοιχειώδη σωματίδια όπως τα ηλεκτρόνια και τα φωτόνια, ενώ ορίσαμε και τι συνιστά μέσα στο χωροχρόνο ένας παρατηρητής, πως αυτός καθορίζει ένα σύστημα αναφοράς και ότι οι μετρήσεις σε αυτό το σύστημα γίνονται με ράβδους σταθερού μήκους και ρολόγια που εκτίνονται παντού γύρω του.
Το επόμενο ερώτημα είναι, πως ακριβώς μετράνε τα ρολόγια το χρόνο και πως ακριβώς μετράνε οι ράβδοι τα μήκη. Υπάρχει κάποιο ρολόι που να είναι καλύτερο από το άλλο; Και ποια είναι η σχέση του χρόνου που μετρά ένα ρολόι εδώ με το χρόνο που μετρά ένα ρολόι κάπου αλλού; Με άλλα λόγια, ποιος είναι ο καλύτερος φυσικός μηχανισμός για να μετρήσουμε τον χρόνο, αν υπάρχει αυτός, ή ποιος είναι ο καλύτερος φυσικός μηχανισμός για να μετρήσουμε αποστάσεις, αν υπάρχει αυτός, και τέλος, πως ακριβώς συγχρονίζουμε τα διάφορα ρολόγια μεταξύ τους. Ειδικά το τελευταίο αποτελεί και ιδιαιτέρως σημαντικό θέμα, αφού ακόμα και η απόδοση κάποιας χρονικής στιγμής σε ένα γεγονός είναι ζήτημα της σύγκρισης της στιγμής που έγινε το γεγονός με τον χρόνο που έδειξε κάποιο ρολόι, δηλαδή είναι ζήτημα συγχρονισμού.
Σε αυτό το σημείο, πρέπει να επισημάνουμε ότι η καθημερινή μας εμπειρία της μέτρησης του χρόνου με ρολόγια που μετράνε δευτερόλεπτα και της μέτρησης των αποστάσεων με χάρακες που μετράνε μέτρα, συσκοτίζει την ενότητα που υπάρχει ανάμεσα στον χώρο και τον χρόνο. Δηλαδή δημιουργεί μια φαινόμενη ποιοτική διαφοροποίηση ανάμεσα στα δύο. Το πρόβλημα αυτό έρχεται να το ξεπεράσει η μία από τις δύο αρχές της ειδικής σχετικότητας, η αρχή της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός. Και ο τρόπος που το κάνει αυτό έχει αρκετό ενδιαφέρον.
Εδώ αξίζει να αναφέρουμε την παραβολή με τις δύο σχολές τοπογράφων που παρουσιάζουν οι Taylor και Wheeler (“Spacetime Physics”, W.H.Freeman), η οποία μπορεί να μας διδάξει πολλά σημαντικά πράγματα για τις βάσεις της ειδικής σχετικότητας. Θα παραθέσω την παραβολή σε μετάφραση (σχετικά ελεύθερη):
«Μια φορά και έναν καιρό, υπήρχε ένας τοπογράφος που ανήκε στη σχολή των Τοπογράφων της Ημέρας, ο οποίος κατέγραψε όλη τη γη του Βασιλιά. Για να καθορίσει τις διευθύνσεις Βορά-Νότου και Ανατολής-Δύσης, χρησιμοποιούσε μία μαγνητική πυξίδα. Οι θέσεις μετριόνταν από το κέντρο της πλατείας της πόλης. Στην διεύθυνση Ανατολής-Δύσεις οι θέσεις μετριόνταν σε μέτρα (x σε μέτρα). Στην διεύθυνση Βορά-Νότου που ήταν «ιερή» οι θέσεις μετριόνταν σε μίλια (y σε μίλια). Η καταγραφή που είχε κάνει αυτός ο τοπογράφος ήταν πολύ ακριβής και πλήρης.
Υπήρχε και ένας άλλος τοπογράφος, που ανήκε στη σχολή των Τοπογράφων της Νύχτας, ο οποίος είχε καταγράψει και αυτός όλη τη γη του Βασιλιά. Η σχολή της Νύχτας, για να καθορίσει τις διευθύνσεις Βορά-Νότου και Ανατολής-Δύσης, χρησιμοποιούσε τον πολικό αστέρα. Ο τοπογράφος της σχολής της Νύχτας μετρούσε και εκείνος τις θέσεις στη διεύθυνση Ανατολής-Δύσης σε μέτρα και τις θέσεις στη διεύθυνση Βορά-Νότου σε μίλια (x’ σε μέτρα, y’ σε μίλια).
Κάποτε εμφανίστηκε ένας μαθητής της τοπογραφίας, που αποφάσισε να παρακολουθήσει και τις δύο σχολές. Έτσι έμαθε και την μέθοδο των Τοπογράφων της Ημέρας και την μέθοδο των Τοπογράφων της Νύχτας. Ο μαθητής, διδασκόμενος και τις δύο μεθόδους προσπαθούσε να βρει μία σχέση ανάμεσα στις καταγραφές των θέσεων ώστε να μπορέσει να συνδέσει τα αποτελέσματα μεταξύ τους. Έτσι κάποια στιγμή αποφάσισε να μετατρέψει τις μετρήσεις στην «ιερή» διεύθυνση Βορά-Νότου από μίλια σε μέτρα, πολλαπλασιάζοντας με μία σταθερά αναλογίας k. Κάνοντας αυτή τη μετατροπή, ανακάλυψε ότι η απόσταση των πυλών της πόλης από το κέντρο της πλατείας από όπου ξεκίναγαν οι μετρήσεις, δηλαδή η ποσότητα $$\reverse\opaque \sqrt{(x)^2+(ky)^2}$$, με βάση τις μετρήσεις των Τοπογράφων της Ημέρας, συνέπιπτε με την απόσταση που βασιζόταν στις μετρήσεις των Τοπογράφων της Νύχτας, $$\reverse\opaque \sqrt{(x')^2+(ky')^2}$$. Την ανακάλυψή του αυτή, ο μαθητής την ονόμασε «Αρχή του Αναλλοίωτου της Απόστασης».»
Αυτή η παραβολή μας λέει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα. Το πρώτο και σημαντικότερο ίσως, μας το λέει η αναφορά της «ιερής» διεύθυνσης Βορά-Νότου, η οποία μετριέται με άλλες μονάδες μέτρησης, δηλαδή μίλια, που σχετίζονται με μία σταθερά αναλογίας k με τις μονάδες μέτρησης στην διεύθυνση Ανατολής-Δύσης. Αυτό είναι σαφής αναφορά στον χρόνο και την μέτρησή του σε δευτερόλεπτα, ενώ η σταθερά αναλογίας αναφέρεται στην ταχύτητα του φωτός. Με δεδομένη την αρχή της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός, μπορούμε να θεωρήσουμε αυτή την ταχύτητα ως σταθερά αναλογίας ανάμεσα στον χρόνο και τον χώρο, αφού ο λόγος $$\reverse\opaque s / t$$ υποδεικνύει κάποια ταχύτητα, ενώ ο λόγος $$\reverse\opaque s / c$$ υποδεικνύει κάποιο χρόνο και από την άλλη το γινόμενο $$\reverse\opaque c t$$ υποδεικνύει κάποια απόσταση. Θεωρώντας λοιπόν την ταχύτητα του φωτός ως παγκόσμια σταθερά, μπορούμε να μετρήσουμε την απόσταση σε δευτερόλεπτα ή τον χρόνο σε μέτρα, με τον ίδιο τρόπο περίπου που στην επιφάνεια της Γης, σε κάποιο συγκεκριμένο τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή, μετράμε το βάρος μας (που είναι δύναμη) σε κιλά. Πρακτικά πως μπορούμε να το κάνουμε όμως αυτό; Δηλαδή, πως θα φτιάξω εγώ πρακτικά τα ρολόγια ή τις ράβδους που αναφέραμε παραπάνω, που αποτελούν τον παρατηρητή και το σύστημα του;
Αν βάλω ως βάση μου τις στέρεες ράβδους, τότε μπορώ να μετράω τον χρόνο μου σε μέτρα με το παρακάτω ρολόι. Βάζω δύο καθρέφτες στα άκρα μίας ράβδου, μήκους μισού μέτρου και στέλνω έναν παλμό από τον ένα καθρέφτη, προς τον άλλον. Ο παλμός θα φτάσει στον άλλον καθρέφτη, όπου θα ανακλαστεί και θα επιστρέψει στον πρώτο καθρέφτη. Κάθε φορά που αυτός ο κύκλος θα επαναλαμβάνετε, το φως θα έχει διανύσει ακόμα ένα μέτρο, άρα θα έχει περάσει χρόνος ίσος με ένα μέτρο φωτός ή $$\reverse\opaque t=\frac{1m}{c}=\frac{1}{3}\times 10^{-8}s$$. Σε κάθε «τικ», το ρολόι μας θα μετρά τόσο χρόνο.
Αντίστοιχα, μπορώ να βάλω ως βάση τον χρόνο που καταγράφει κάποιο ρολόι. Έτσι, μετρώντας τον χρόνο που κάνει ένας παλμός φωτός για να πάει μέχρι κάποιο σημείο, να ανακλαστεί και να επιστρέψει (υποτυπώδες συσκευή ραντάρ), μπορώ να υπολογίσω την απόσταση σε δευτερόλεπτα ή αλλιώς για δύο δευτερόλεπτα που θα κάνει το φως να πάει και να έρθει, η απόσταση θα είναι $$\reverse\opaque x = c \times 1s =3\times 10^{8}m$$. Φυσικά, αυτή η απόσταση είναι τεράστια. Αυτός είναι και ο τρόπος που μετράμε αποστάσεις στην Αστρονομία, όπου οι συμβατικές μονάδες είναι πολύ μικρές. Έτσι, εκεί έχουμε το έτος φωτός. Φυσικά μπορούμε να μικρύνουμε όσο χρειάζεται την μονάδα μέτρησης του χρόνου, ώστε να μπορούμε να μετρήσουμε και μικρότερες αποστάσεις.
Από τα παραπάνω, φαίνεται ότι το αξίωμα της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός μας δίνεις την δυνατότητα να αντιμετωπίσουμε με τον ίδιο τρόπο και τον χώρο και τον χρόνο.
Κάποιος όμως και πάλι θα μπορούσε να επιμείνει στο ερώτημα του πως είμαστε σίγουροι ότι όλα τα ρολόγια, θα κρατάνε τον ίδιο ρυθμό όπου και να τα βάλουμε ή πως είμαστε σίγουροι ότι όλες οι ράβδοι θα έχουν το ίδιο μήκος όπου και να τις βάλουμε; Αρχικά, πρέπει να πούμε ότι μιλάμε για «ιδανικά ρολόγια» και «ιδανικές ράβδους» (ιδανικά στερεά σώματα δηλαδή). Ακριβώς ιδανικό ρολόι και ράβδος δεν υπάρχει στην φύση, αλλά μπορούμε να το προσεγγίσουμε σχεδόν όσο καλά θέλουμε. Για παράδειγμα, αρχικά τον χρόνο σε μεγάλη κλίμακα τον μετράγαμε με την αλλαγή των εποχών και σε μικρότερη κλίμακα με την αλλαγή της θέσης του Ήλιου. Αυτό ήταν ένα καλό ρολόι για τις τότε απαιτήσεις. Αργότερα, μετράγαμε το χρόνο με κλεψύδρες και κεριά για μεγαλύτερη ακρίβεια. Από την εποχή του Γαλιλαίου, μετράμε τον χρόνο με εκκρεμή, που έχουν την ικανότητα να κρατάνε με σχετικά καλή ακρίβεια την περίοδό τους σταθερή. Σήμερα, πετυχαίνουμε, σε εμπορικές χρήσεις, πολύ καλή ακρίβεια στη μέτρηση του χρόνου, μετρώντας τις ταλαντώσεις ενός κρύσταλλου χαλαζία, ενώ για ακόμα μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιούνται τα ατομικά ρολόγια των οποίων η λειτουργία στηρίζεται στην μέτρηση της συχνότητας της μικροκυματικής ακτινοβολίας που εκπέμπουν ή απορροφούν κάποια άτομα Κεσίου κατά την αποδιέγερση ή την διέγερσή τους. Έτσι ουσιαστικά, επιλέγοντας το κατάλληλο φυσικό σύστημα, μπορούμε να αυξήσουμε μέχρι το επιθυμητό επίπεδο την ακρίβεια της μέτρησης του χρόνου, μετρώντας τις «ταλαντώσεις» του αντίστοιχου συστήματος. Εδώ βλέπουμε ουσιαστικά ότι και πάλι το φως και συγκεκριμένα η συχνότητά του αποτελεί ένα μέτρο για την μέτρηση του χρόνου (δεδομένης της σταθερότητας της ταχύτητάς του στο κενό). Κάτι ανάλογο ισχύει και για τα μήκη των ράβδων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, όπου και αυτά εξαρτώνται από τις ταλαντώσεις των ατόμων που αποτελούν κάποιο στερεό σώμα και είναι διατεταγμένα σε κάποιο πλέγμα. Έτσι, μία από τις πρώτες συμβάσεις για την μέτρηση του μήκους ήταν η χρήση πρότυπων ράβδων κατασκευασμένων από υλικό που είχε την ικανότητα να μην αλλάζει πολύ το μήκος του με την αλλαγή της θερμοκρασίας. Αργότερα και αυτό το πρότυπο αντικαταστάθηκε από ένα πρότυπο βασισμένο στο μήκος κύματος της ακτινοβολίας μίας φασματικής γραμμής που εκπέμπει το άτομο του Κρυπτού. Δηλαδή και πάλι μετράμε τα μήκη με την βοήθεια του φωτός μέσω κάποιας ενεργειακής μετάβασης ενός ατόμου. Έτσι το μόνο που μας μένει για να έχουμε πανομοιότυπες «ράβδους» και «ρολόγια» είναι να χρησιμοποιήσουμε τα αντίστοιχα άτομα ως πρότυπα. Ναι, αλλά αυτά τα άτομα θα μας δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα στην μέτρηση του χώρου και του χρόνου όπου και να τα τοποθετήσουμε; Η απάντηση είναι, ναι. Αυτό μας το εξασφαλίζει η δεύτερη βασική αρχή της θεωρίας της σχετικότητας, η αρχή της αναλλοιώτητας των φυσικών νόμων, δηλαδή η αρχή που λέει ότι οι φυσικοί νόμοι πρέπει να είναι η ίδιοι παντού και να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα για ένα πείραμα, οπουδήποτε ή οποτεδήποτε και αν αυτό πραγματοποιηθεί.
Έτσι, οι δύο βασικές αρχές της θεωρίας της σχετικότητας, μας επιτρέπουν να μετράμε τα μήκη και τους χρόνους παντού μέσα στο σύστημά μας, δηλαδή με λίγα λόγια μας επιτρέπουν την κατασκευή αυτού του πράγματος που είπαμε ιδανικό παρατηρητή.
Και τώρα ερχόμαστε στο άλλο μεγάλο θέμα που αφορά το πώς μετράμε οπουδήποτε μέσα στο σύστημά μας. Έστω ότι έχουμε απλώσει τα ρολόγια μας και τις ράβδους μας σε όλο το χώρο. Θα πρέπει να ρυθμίσω τα ρολόγια που έχω τοποθετήσει, έτσι ώστε να δείχνουν τον «σωστό» χρόνο, δηλαδή θα πρέπει να συγχρονίσω όλα τα ρολόγια μεταξύ τους. Και πάλι, ο συγχρονισμός των ρολογιών γίνεται με την βοήθεια του φωτός. Έστω ότι έχουμε το δικό μας ρολόι και ένα ρολόι σε κάποια απόσταση από εμάς που βρισκόμαστε στο κέντρο του συστήματος (στο κέντρο των αξόνων x,y,z). Στέλνουμε έναν παλμό φωτός προς το άλλο ρολόι την στιγμή $$\reverse\opaque t_1=t_0-\Delta t$$. Αν ο παλμός αυτός ανακλαστεί και φτάσει πίσω σε εμάς την στιγμή $$\reverse\opaque t_2=t_0+\Delta t$$, τότε λέμε ότι την στιγμή που ανακλάστηκε ο παλμός στο άλλο ρολόι, αυτό θα πρέπει να δείχνει χρόνο $$\reverse\opaque t_0$$ προκειμένου τα δύο ρολόγια να είναι συγχρονισμένα. Έτσι, εφαρμόζοντας μία τέτοια διαδικασία σε κάθε απομακρυσμένο ρολόι, μπορούμε να συγχρονίσουμε όλα τα ρολόγια στο σύστημα αναφοράς μας. Η διαδικασία του συγχρονισμού βασίζεται και αυτή στο γεγονός ότι η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή και άρα ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να πάει και να έρθει προς και από το άλλο ρολόι που είναι ακίνητο σε κάποια απόσταση από εμάς είναι σταθερός. Έτσι η στιγμή της ανάκλασης είναι στη μέση αυτού του χρονικού διαστήματος. Εδώ μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί, γιατί επιλέγουμε αυτή τη διαδικασία συγχρονισμού και δεν στέλνουμε για παράδειγμα κάποιο τρίτο ρολόι από εδώ εκεί ώστε να συγχρονιστούν τα δύο απομακρυσμένα ρολόγια; Η απάντηση είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα αποτελέσματα της θεωρίας της σχετικότητας. Ο χρόνος που μετρά ένα ρολόι εξαρτάται από την διαδρομή που ακολουθεί [1,2].
Αυτό μας φέρνει πίσω στην παραβολή με τους τοπογράφους και στην «Αρχή του Αναλλοίωτου της Απόστασης». Μέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει την αρχή της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός για να φέρουμε στην ίδια βάση τον χώρο και τον χρόνο και για να συγχρονίσουμε τα ρολόγια ενός αδρανειακού παρατηρητή, ενώ έχουμε χρησιμοποιήσει την αναλλοιώτητα των φυσικών νόμων για να εξασφαλίσουμε ότι μπορούμε πάντα και παντού να κάνουμε τις μετρήσεις του χρόνου και του μήκους που χρειαζόμαστε. Η ιδέα του αναλλοίωτου της χωχροχρονικής απόστασης μας δίνει τώρα τη δυνατότητα να συγκρίνουμε τις μετρήσεις που πραγματοποιούν διαφορετικοί παρατηρητές σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα, αλλά ακόμα μας δίνει και την δυνατότητα να ορίσουμε τον χρόνο με απόλυτο τρόπο.
Η «Αρχή του Αναλλοίωτου της Απόστασης», όπως την περιγράψαμε στην παραβολή των τοπογράφων, ισχύει και για τα χωροχρονικά μήκη στην ειδική σχετικότητα, όπου αυτή τη φορά έχουμε το χωροχρονικό μέτρο $$\reverse\opaque ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$ να είναι αναλλοίωτο. Αν έχουμε μια κοσμική γραμμή στον χωροχρόνο, μπορούμε τότε να μετρήσουμε το αναλλοίωτο χωροχρονικό μήκος της χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση. Το αποτέλεσμα αυτού του υπολογισμού θα είναι μια γεωμετρική ποσότητα την οποία οποιοσδήποτε παρατηρητής και να την μετρήσει θα την βρει να είναι η ίδια. Χρησιμοποιώντας αυτή την αναλλοιώτητα ανάμεσα στην μέτρηση τέτοιων μεγεθών από διαφορετικούς παρατηρητές, μπορεί να οδηγηθεί κανείς στους μετασχηματισμούς του Lorentz που συνδέουν τις μετρήσεις μεγεθών σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα. Το πιο ενδιαφέρον όμως είναι η ίδια η αναλλοιώτητα αυτή. Γενικά τα αναλλοίωτα μεγέθη έχουν μεγάλη σημασία στη σχετικότητα και είναι αυτά τα μεγέθη που μας επιτρέπουν ουσιαστικά να κάνουμε φυσική. Ας επιστρέψουμε στο μήκος της κοσμικής γραμμής. Έστω ότι αυτή η κοσμική γραμμή είναι η κοσμική γραμμή ενός αδρανειακού παρατηρητή. Εγώ μετράω κάποιο μήκος $$\reverse\opaque \Delta s^2$$ στο αδρανειακό σύστημά μου, σύμφωνα με το μέτρο που έχουμε αναφέρει παραπάνω. Τι μετράει όμως ο άλλος αδρανειακός παρατηρητής; Στο δικό του σύστημα το στοιχειώδες μήκος που θα μετρά δεν μπορεί να είναι άλλο από το $$\reverse\opaque \Delta s^2=-c^2\Delta\tau^2$$, όπου "τ" είναι ο δικός του χρόνος, ο ιδιόχρονός του (ο ίδιος ο αδρανειακός παρατηρητής είναι στο κέντρο του συστήματός του και δεν κουνιέται από εκεί). Και αυτό μας οδηγεί σε μια καταπληκτική διαπίστωση. Ο χρόνος που μετρά ένας παρατηρητής είναι το αναλλοίωτο μήκος της κοσμικής γραμμής που διανύει. Ο ιδιόχρονος λοιπόν ενός παρατηρητή είναι το αναλλοίωτο μήκος της κοσμικής γραμμής του. Αυτή η διαπίστωση οδηγεί καταρχήν στο παραπάνω συμπέρασμα, ότι δηλαδή "ο χρόνος που μετρά ένα ρολόι εξαρτάται από την διαδρομή που ακολουθεί", και κατά δεύτερο στο ότι υπάρχει μια αναλλοίωτη έννοια του χρόνου, αυτή που σχετίζεται με τον ιδιόχρονο [1,2].
Αυτά είναι βασικά πράγματα που μαθαίνει κανείς σε ένα εισαγωγικό μάθημα ειδικής σχετικότητας. Αυτή λοιπόν η βασική έννοια του αναλλοίωτου στοιχειώδους μήκους και της σχέσης του με τον ιδιόχρονο, επεκτείνεται και στην θεωρία της γενικής σχετικότητας. Φυσικά, τα πράγματα στην γενική σχετικότητα είναι πιο περίπλοκα (για τις ιδιαιτερότητες και τις διαφορές ανάμεσα στην ειδική και στην γενική σχετικότητα μπορεί να δει κανείς την κουβέντα στα 1, 2, 3 και 4), αλλά τα πράγματα για τις συγκεκριμένες γεωμετρικές έννοιες δεν διαφοροποιούνται σε σχέση με αυτά που είπαμε εδώ. Κάποιος θα μπορούσε να αναρωτηθεί ακόμα, τι μπορεί να συμβαίνει με την εισαγωγή της κβαντομηχανικής στο παιχνίδι και αν αλλάζουν τότε τα πράγματα. Αλλά και πάλι, η εικόνα που έχουμε σχηματίσει μέχρι εδώ δεν αλλάζει σε ότι αφορά την μέχρι τώρα γνωστή φυσική, αφού και στην περίπτωση κβαντικών συστημάτων, η θεωρία που τα περιγράφει είναι η κβαντική θεωρία πεδίου, η οποία χρησιμοποιεί τον χωροχρόνο της ειδικής σχετικότητας για να περιγράψει την εξέλιξη των συστημάτων. Έτσι, χωρίς να μπω σε λεπτομέρειες, ένα κβαντικό σύστημα (ένα ηλεκτρόνιο για παράδειγμα) περιγράφεται από μία κυματοσυνάρτηση η οποία όμως εξελίσσεται με βάση τον ιδιόχρονο που σχετίζεται με αυτό το σύστημα [2]. Με λίγα λόγια, για την μέχρι τώρα διατυπωμένη φυσική, οι παραπάνω έννοιες είναι γενικές και εφαρμόζονται παντού.
Στο σημείο αυτό θα σταματήσω για τώρα. Μέχρι εδώ μιλήσαμε για τον χρόνο στην ειδική σχετικότητα, αλλά μας μένει ακόμα να μιλήσουμε πιο αναλυτικά για τον χρόνο στη γενική σχετικότητα και στην κοσμολογία. Στη γενική σχετικότητα θα δούμε πως η καμπύλωση του χωροχρόνου αλλάζει ποσοτικά τα πράγματα, αλλά όχι ποιοτικά. Θα συζητήσουμε κάποια φαινομενικά παράδοξα και προβλήματα με τον χρόνο και πως αυτά λύνονται. Όλα αυτά τελικά θα μας οδηγήσουν στην έννοια ενός καθολικού χρόνου στην κοσμολογία και το καθαρό και αναλλοίωτο νόημα του ως το χωροχρονικό μήκος των παρατηρητών που βρίσκονται σε ηρεμία μέσα στο σύμπαν, δηλαδή των παρατηρητών που είναι τοπικά ακίνητοι και τους συμπαρασύρει η διαστολή του σύμπαντος.
(to be continued...)
-----------------------
Update: Αξίζει να προσθέσω δύο αναφορές σχετικές με την συζήτηση. Είναι δύο εργασίες στο περιοδικό Science στις οποίες παρουσιάζεται η πειραματική επιβεβαίωση όσων αναφέρονται παραπάνω.
Subject: Applications now being accepted for Perimeter Scholars International, Master's Program in Theoretical Physics
Dear Colleague,
I am writing to ask for your assistance in drawing the attention of exceptional, highly motivated students to Perimeter Scholars International (PSI), the innovative Master’s program taught at the Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada. We are now in the process of recruiting our fifth class of students, who will commence their studies in August 2013.
We hope you will share this information by:
* Forwarding this email to interested students and groups
* Printing and hanging the downloadable poster that is available here
* Adding the following short description to your newsletter, website and blogs
Canada’s Perimeter Institute for Theoretical Physics (PI), in partnership with the University of Waterloo, welcomes applications to the Master’s level course, Perimeter Scholars International (PSI). Exceptional students with an undergraduate honours degree in Physics, possibly combined with Math, Engineering or Computer Science, are encouraged to apply. Students must have a minimum of 3 advanced undergraduate or graduate courses in physics. PSI recruits a diverse group of students and especially encourages applications from qualified women candidates. The due date for applications to PSI is February 1st, 2013. Complete details are available at www.perimeterscholars.org.
Additional information appears below in this email. Thank you in advance for sharing this news with students who may benefit from this opportunity.
With best regards,
John Berlinsky
PSI Director
Perimeter Institute
31 Caroline St. N.
Waterloo, ON, N2L 1C2
519-569-7600 www.perimeterinstitute.ca
PSI Privacy Policy
psi AT perimeterinstitute.ca
Additional Information:
Perimeter Scholars International (PSI) is a 10-month intensive Master’s level course held at Perimeter Institute for Theoretical Physics, a leading international research centre in Waterloo, Ontario, Canada. PSI is designed to prepare outstanding students from around the world for cutting edge research. Graduates receive a Master’s Degree in Physics from the University of Waterloo and a Perimeter Scholars International Certificate from Perimeter Institute.
Students completing PSI are prepared to pursue PhD studies in theoretical physics. Some stay at Perimeter and do their PhD with Perimeter faculty. Others enter PhD programs at other universities. Students applying to PSI, who have received offers for PhD programs elsewhere, sometimes defer starting their PhD to spend one year at PSI.
The 2012-2013 Faculty include:
Dmitry Abanin, Perimeter Institute
Assa Auerbach, Technion University
Latham Boyle, Perimeter Institute
Andrew Childs, University of Waterloo
David Cory, Institute for Quantum Computing, Waterloo
Bianca Dittrich, Perimeter Institute
Michael Duff, Imperial College
Joseph Emerson, Institute for Quantum Computing, Waterloo
Francois David, Institut de Physique Theorique CEA-Saclay
Ruth Gregory, Durham University
Matt Johnson, York University, Perimeter Institute
David Morrissey, TRIUMF
Robert Spekkens, Perimeter Institute
Natalia Toro, Perimeter Institute
Guifre Vidal, Perimeter Institute
Pedro Vieira, Perimeter Institute
Xiao-Gang Wen, Perimeter Institute
Mark Wise, Caltech
Konstantin Zarembo, NORDITA
Barton Zwiebach, MIT
Full scholarships are available. Applications should be submitted by February 1st, 2013. Complete details are online at www.perimeterscholars.org.
Contact Information
PSI Program inquiries can be directed to John Berlinsky, PSI Director, at psi AT perimeterinstitute.ca
We* are convinced that # Europe's future depends on making optimal use of its scientific talent for the benefit of science and society; # creative environments and research infrastructures are needed in which talent can flourish and innovations emerge; # reliable financial support must be provided for long-term, often risky, fundamental research. Only then will the grand challenges be addressed in a sustainable way.
Therefore, we strongly support the letter signed by Nobel Prize and Fields Medal winners and urge you to act: #cuts in the EU budget for research, innovation and education are counter-productive as they will aggravate the problems Europe faces instead of finding solutions; #the European Research Council, ERC, is an undeniable success story for Europe. The ERC has demonstrated its ability to find, fund and empower the best researchers and has changed the future outlook of the younger generation. It needs to be strengthened to achieve more scientific-technological breakthroughs leading to future innovation. #We urge you to provide a clear signal that investment in research, innovation and education is a top political priority, especially in times of crisis. Europe has been the cradle of modern science and the role accorded to science will shape Europe's future.
* The original statement was: "we, the researchers in Europe". However, it is not only the research community who is concerned about the current developments. Cuts in research affect the society as a whole. Without modification of the content of the petition text, we therefore enlarged the scope and we welcome the support of all concerned citizens.
Φανταστικό timing... Και ενώ σκεφτόμουν τα σχετικά με τον διπλό pulsar PSR J0737-3039A/B, ο οποίος αποτελεί ένα φανταστικό τεστ της γενικής σχετικότητας τόσο στην περιοχή του ασθενούς βαρυτικού πεδίο όσο και σε περιοχές που πλησιάζουν στο ισχυρό πεδίο, και μάζευα κάποια σχετικά links δεδομένου και του ότι σήμερα ανέβηκε στο arXiv και το άρθρο, The Double Pulsar System in its 8th anniversary, κοιτάζω τα e-mails μου και μόλις μου έχει έρθει ένα από την Ακαδημία όπου ανακοινώνεται το παρακάτω σεμινάριο:
The Research Center for Astronomy and Applied Mathematics of the Academy of Athens invites you to the Seminar:
Date: Tuesday 9 October 2012
Time: 12:00
Location: RCAAM Seminars Room (Soranou Efesiou 4, Athens; see map)
Speaker: Maxim Lyutikov (Purdue University & INAF Osservatorio Astrofisico di Arcetri)
Title: The Double Pulsar as a Probe of Fundamental Physics
Abstract:
The discovery of the double radio pulsar system, PSR J0737-3039A/B, surpassed most expectations, both theoretical and observational, as a tool to probe general relativity, stellar evolution and pulsar theories. I will describe rich observational properties of the system, like eclipses, orbital variations in magnetospheric activity, evidence for relativistic reconnection, trapped magnetospheric particles. The system allows a measurement of the relativistic spin precession and offers a new test of theories of gravity in strong regime. We can also pin-point the location and the shape of the region producing enigmatic coherent radio emission.
-------------------------------------------
Research Center for Astronomy and Applied Mathematics of the Academy of Athens
Soranou Efesiou 4, Athens, GR-11527
E-mail: keaem AT academyofathens.gr
Web: http://astro.academyofathens.gr/
Το φανταστικό της υπόθεσης είναι ότι θυμόμουν ότι είχε γίνει μια σχετική διάλεξη και στο Perimeter Institute πριν ένα χρόνο πάνω στον συγκεκριμένο διπλό pulsar την οποία είχα δει, οπότε μόλις είχα κοιτάξει για να βρω το παρακάτω link,
Διάλεξη στο Perimeter Institute: The Double Pulsar: testing GR in strong regime
Speaker(s): Maxim Lyutikov
Abstract: The long awaited discovery of the double radio pulsar system, PSR J0737-3039A/B, surpassed most expectations, both theoretical and observational, as a tool to probe general relativity, stellar evolution and pulsar theories. The Double Pulsar provides a unique and the most complete and clean test of theories of gravity in a regime sensitive to possible strong-gravitational self-field effects. All six post-Keplerian parameters have been measured (including the measurement of the relativistic spin precession), some parameters to a precision of 10^{-4}.
Απίστευτο timing έτσι...
Τα παρατηρησιακά constraints στα οποία αναφέρεται το Abstract της διάλεξης απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα από την εργασία στο περιοδικό Science των Kramer et al., Science 314, 97 (2006), Fig. 1.
Graphical summary of tests of GR parameters. Constraints on the masses of the two stars (A and B) in the PSR J0737-3039A/B binary system are shown; the inset is an expanded view of the region of principal interest. Shaded regions are forbidden by the individual mass functions of A and B because sin i must be ≤1. Other constraining parameters are shown as pairs of lines, where the separation of the lines indicates the measurement uncertainty. For the diagonal pair of lines labeled as R, representing the mass ratio derived from the measured semimajor axes of the A and B orbits, the measurement precision is so good that the line separation becomes apparent only in the inset. The other constraints shown are based on the measured PK parameters interpreted within the framework of general relativity. The PK parameter describes the relativistic precession of the orbit, γ combines gravitational redshift and time dilation, and Ṗb represents the measured decrease in orbital period due to the emission of gravitational waves. The two PK parameters s and r reflect the observed Shapiro delay, describing a delay that is added to the pulse arrival times when propagating through the curved space-time near the companion. The intersection of all line pairs is consistent with a single point that corresponds to the masses of A and B. The current uncertainties in the observed parameters determine the size of this intersection area, which is marked in blue and reflects the achieved precision of this test of GR and the mass determination for A and B.
Συνιστώ σε όποιον ενδιαφέρεται να πάει να την παρακολουθήσει την ομιλία γιατί θα έχει πολύ ενδιαφέρον.
Το ηλιακό τηλεσκόπιο SOHO, για μία ολόκληρη ώρα (06:24am έως 07:24am) έχασε από τα μάτια του τον Ήλιο,στις 11/9/2012, καθώς κάτι πολύ μεγάλο πέρασε από μπροστά του και τον έκρυψε με τη σκιά του. Μήπως ήταν ο πλανήτης Nibiru ή κάτι άλλο;
Την απάντηση δεν την γνωρίζει κανείς, ενώ όπως διευκρινίζουν οι επιστήμονες της NASA, δεν υπήρχε κάποιο στάσιμο αντικείμενο στην ατμόσφαιρα της γης, ενώ διαβεβαιώνουν πως δεν ήταν κάποιος διαστημικός σταθμός...
"επίμαχο βίντεο"
Το παραπάνω βίντεο ανέβηκε στο επίσημο κανάλι στο youtube της ιστοσελίδας http://helioviewer.org ,όπως φαίνετε και κάτω δεξιά στο βίντεο, η οποία αποτελέι επίσημο πρόγραμμα της NASA και είναι η πηγή μας, όποιος θέλει μπορεί να το δεί ξεκάθαρα στην ιστοσελίδα τους στο About οτι πρόκειτε για επίσημη σελίδα της ΝASA. Αυτό εξασφαλίζει και την εγκυρότητα του βίντεο το οποίο είναι πέρα για πέρα αληθινό.
Τι έγινε ρε παιδιά; Έχει έρθει ο Νιμπίρου και πάει τσάρκα στο SOHO σαν τον Μαρξ ένα πράγμα;
Ας τα πάρουμε με τη σειρά.
Τι είναι το SOHO; Το SOHO είναι στα ελληνικά το Solar and Heliospheric Observatory (SOHO), το οποίο είναι ένα διαστημόπλοιο που έχει ως αποστολή να παρατηρεί τον Ήλιο και το οποίο βρίσκεται στην περιοχή του σημείου Λαγκράνζ L1 του συστήματος Γης-Ήλιος. Και που είναι αυτό το L1 όμως; Στο κυκλικό πρόβλημα των 3ων σωμάτων, όπου έχεις 2 σώματα μεγάλης μάζας που εκτελούν κυκλική τροχιά το ένα γύρω από το άλλο και έχεις και ένα 3ο σώμα το οποίο έχει πολύ μικρή μάζα για να επηρεάσει τα άλλα δύο σώματα, η κίνηση αυτού του 3ου σώματος έχει κάποιες θέσεις ισορροπίας οι οποίες κινούνται σε σταθερές αποστάσεις από τα δύο πρώτα σώματα. Αυτές οι θέσεις είναι 5 και λέγονται σημεία Λαγκράνζ. Τα σημεία αυτά φαίνονται στο σχήμα:
Όπως βλέπουμε στο σχήμα το L1 είναι ανάμεσα στη Γη και τον Ήλιο, κάπου μακρυά από τις τροχιές των γήινων δορυφόρων, ουσιαστικά σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο.
Από αυτό που γράφει όμως η είδηση, καταλαβαίνουμε ότι όποιος την έγραψε ίσως να νομίζει ότι το ηλιακό αυτό παρατηρητήριο είναι κάπου πάνω στη Γη; (δεν υπήρχε κάποιο στάσιμο αντικείμενο στην ατμόσφαιρα της γης, ενώ διαβεβαιώνουν πως δεν ήταν κάποιος διαστημικός σταθμός...) ή έστω σε τροχιά γύρω από αυτή; Κάτι τέτοιο πάντως και σίγουρα αυτά που λέει, δεν τα λένε οι επιστήμονες της NASAς.
Ας πάμε παρακάτω όμως. Η σελίδα στην οποία παραπέμπει είναι πραγματική και αξιόπιστη και πράγματι δείχνει φωτογραφίες και βίντεο από ηλιακά παρατηρητήρια όπως το SOHO. Αν πάει λοιπόν κανείς να δει τι έβλεπε το SOHO την επίμαχη ώρα και μέρα... δεν θα δει τίποτα... Και για του λόγου το αληθές,
Αν ακολουθήσει κανείς το link στην εικόνα θα βρεθεί στη σελίδα του Helioviewer και εκεί μπορεί να παίξει με τις ρυθμίσεις της ώρας και τα σχετικά και θα το διαπιστώσει και μόνος του.
Και φυσικά δεν θα μπορούσε να είναι και πολύ διαφορετικά, γιατί αν κάτι πέρναγε μπροστά από το SOHO και έκανε και μία ώρα να περάσει, τότε πιθανότατα θα ήταν αρκετά μεγάλο ώστε να είναι ορατό μπροστά στον Ηλιακό δίσκο και από τη Γη, οπότε θα το είχαν δει οι πάντες και θα τρέχανε όλοι γυμνοί στους δρόμους και θα φωνάζανε, "ήρθε το τέλος, ήρθε το τέλος", και στην Ελλάδα θα γινόταν συνωμοσία για πραξικόπημα την οποία και θα αποκάλυπτε το ΒλΗΜΑ και ο Στουρνάρας θα βριζόταν στην ψύχρα σαν νταλικέρης με τον Τόμσεν και θα πιανόντουσαν μαλλί με μαλλί και δεν θα έμενε ούτε μπούκλα, κλπ... Αλλά αυτό δεν έγινε.
Αλλά αν προσέξει κανείς λίγο καλύτερα στη σελίδα του Helioviewer, θα δει ότι υπάρχει η δυνατότητα να επιλέξει κανείς και άλλα ηλιακά παρατηρητήρια, εκτός από το SOHO. Για παράδειγμα μπορεί να επιλέξει κανείς το SDO ή κατά το ελληνικότερον, Solar Dynamics Observatory (SDO). Και τι είναι λοιπόν το SDO; Είναι ένας δορυφόρος που ως αποστολή έχει την παρατήρηση της δυναμικής του Ήλιου, δηλαδή τις μεταβολές που συμβαίνουν σ' αυτόν γρήγορες και αργές, και μία από τις δουλειές που κάνει είναι να κάνει και ηλιο-σεισμολογία που μας δίνει τεράστια πληροφορία για το εσωτερικό του Ήλιου. Και που βρίσκεται αυτό το ρημάδι το SDO; Βρίσκεται σε γεωσύγχρονη τροχιά γύρω από τη Γη, σε ύψος περίπου 36000 km και το επίπεδό της σχηματίζει γωνία με τον ισημερινό. Την θέση του SDO ως προς την επιφάνεια της Γης μπορεί να την δει κανείς σε αυτή τη σελίδα, όπου φαίνεται ότι ουσιαστικά κάθεται πάνω από μια συγκεκριμένη περιοχή και αυτό το 8άρι που διαγράφει η τροχιά του (φαίνεται με ένα zoom-out) είναι επειδή έχει το επίπεδο της τροχιάς αυτή την κλίση (περίπου 28 μοίρες) ως προς τον ισημερινό.
Και τι μας νοιάζει εμάς όμως το SDO θα αναρωτηθεί κάποιος. Αφού το SOHO είδε τον Νιμπίρου (ή το μητρικό σκάφος κατά άλλους). Προφανώς αυτοί που έχουν κάποια σχέση με αυτά τα πράγματα θα έχουν καταλάβει που πάει η ιστορία. Αν επιλέξει λοιπόν κανείς αντί για το SOHO, το SDO στο παραπάνω link που έδωσα με τη φωτογραφία, ξαφνικά θα πέσει πάνω σε έναν μισοκρυμμένο Ήλιο
Αμάν αμάν... Δίκαιο είχαν τελικά. Μας την έπεσε ο Νιμπίρου και μπήκε μπροστά στο SDO...
Ψυχραιμία. Ούτε ο Νιμπίρου είναι αυτό που μπαίνει μπροστά στον Ήλιο, ούτε κανένα UFO, αν και κουβαλάει πολλά ούφο. Αυτό που μπαίνει στο οπτικό πεδίο του SDO, το οποίο βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη Γη, ομολογουμένως αρκετά μακριά - περίπου 3 φορές τη διάμετρό της, και κοιτάει συνέχεια προς τον Ήλιο, είναι προφανώς η Γη.
Και φυσικά το εξηγεί και η NASA που κατά τα άλλα δεν είχε ιδέα τι έγινε...
NASA's Solar Dynamics Observatory (SDO) has moved into its second eclipse season of 2012. This movie from SDO shows Earth moving across the sun from 2:25 to 3:25 a.m. EDT on Sept. 6, 2012. The boundaries of the shadow of Earth on the sun are not perfectly sharp since SDO can see some light from the sun coming through Earth's atmosphere.
Και φυσικά αυτό το φαινόμενο είναι περιοδικό. Συμβαίνει δύο φορές το χρόνο κοντά στις ισημερίες, όπως μπορεί να διαβάσει κανείς και στις περιγραφές με τα ένα κάρο βίντεο που κυκλοφορούν για το συγκεκριμένο θέμα. Για παράδειγμα, να ένα βίντεο από το 2011,
Και το σχετικό σχόλιο από ένα άλλο παρόμοιο βίντεο με κάποια έκλειψη του SDO, NASA's Solar Dynamics Observatory has eclipse seasons twice a year near each equinox. For three weeks about 0700 UTC our orbit has the Earth pass between SDO and the Sun. These eclipses can last up to 72 minutes in the middle of an eclipse season..
Με λίγα λόγια, ούτε ο Νιμπίρου έρχεται, ούτε τα μητρικά σκάφη για να μας πάρουν, ούτε οποιαδήποτε άλλη βλακεία μπορεί να σκαρφίζονται "διάφοροι"...
Το μόνο που παίζει είναι ένα ακόμα ενδιαφέρον, όμορφο και θεαματικό φαινόμενο.
Καλό Μήνα.
--------------------
Update: Ας βάλω και το λινκ για τη σελίδα του SDO. Btw, αυτή η σεζόν των εκλείψεων τέλειωσε με το τέλος του Σεπτέμβρη.
---- Υπάρχει και ένα μικρό update (15/9) με σημειώσεις σχετικότητας στα Ελληνικά, το οποίο αναγκαστικά προσθέτω τώρα, γιατί πιο πριν υπήρχε πρόβλημα με τις σχετικές σελίδες και δεν μπορούσα να βρω το υλικό. ----
Μπορεί αυτή η ανάρτηση να είναι η τελευταία της σειράς, αλλά επί της ουσίας είναι η πρώτη, αφού θα δώσω εδώ το motivation για τις προηγούμενες αναρτήσεις σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας καθώς και κάποιες αναφορές και links για υλικό που θα ήταν χρήσιμο για την μελέτη του αντικειμένου.
Ας ξεκινήσω λοιπόν με το motivation. Προφανώς, ο λόγος που μετέφρασα το κείμενο του Wald δεν είναι το ότι θα ήθελα να προτείνω από εδώ στον οποιονδήποτε θα ήθελε να διδάξει ένα πανεπιστημιακό μάθημα γενικής σχετικότητας, μια μεθοδολογία διδασκαλίας. Κάτι τέτοιο νομίζω ότι δεν θα είχε και πολύ νόημα. Σίγουρα, αν ήταν να προτείνω σε κάποιον μια ενδεικτική δομή για έναν τέτοιο μάθημα, κάτι τέτοιο θα του πρότεινα αφού είναι πολύ κοντά στη δικιά μου λογική, αλλά δεν είναι αυτός ο στόχος.
Τα προηγούμενα απευθύνονται στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να μελετήσουν το αντικείμενο και η πρόθεσή μου είναι να υποδείξω έναν μπούσουλα που θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει κανείς προκειμένου να κάνει μια στοχευμένη μελέτη του αντικειμένου της γενικής σχετικότητας, δίνοντας βάρος στα θέματα που είναι πραγματικά σημαντικά για την εμπέδωση του αντικειμένου. Μέσα από την προηγούμενη παρουσίαση, μπορεί να προγραμματίσει κανείς το πως και το τι θα πρέπει να μελετήσει, έστω και μόνος του (πράγμα το οποίο είναι ο κανόνας πρακτικά για τα περισσότερα φυσικά εκτός ίσως από της Θεσσαλονίκης). Το να ξέρεις πως να οργανώσεις την μελέτη σου και που να ρίξεις το βάρος είναι τόσο σημαντικό, ίσως και περισσότερο, όσο σημαντικό είναι και το να έχεις ένα καλό σύγγραμα.
Με λίγα λόγια λοιπόν, αν και οι προηγούμενες αναρτήσεις (α, β, γ) περιγράφουν το πως πρέπει κανείς να διδάξει τη γενική σχετικότητα, είναι ταυτόχρονα και ένα χρήσιμο εργαλείο για το πως μπορεί κανείς να μάθει μόνος του σχετικότητα και ελπίζω κάποιοι φοιτητές να το βρουν χρήσιμο.
Σχετικά τώρα με την βιβλιογραφία, οι αναφορές που δίνονται στο μέρος γ είναι εξαιρετικές, όπως πολύ καλές είναι και οι on-line διαλέξεις, για τις οποίες έχω δώσει τα links.
Εδώ θα συμπληρώσω τις αναφορές αυτές με κάποια links προς on-line σημειώσεις και άλλες on-line πηγές.
Ομοίως έχει αφιερωμένη σελίδα και το βιβλίο Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity του J.B. Hartle, όπου μπορεί να βρει κανείς τη σελίδα του συγγραφέα με αρκετό χρήσιμο υλικό (όπως είναι διάφορα αρχεία του mathematica με υπολογισμούς και συμπληρωματικό υλικό σε διάφορα κεφάλαια). Εκεί υπάρχει και το πως μπορεί να φτιάξει κανείς ένα πλάνο μαθήματος με βάση το βιβλίο και ακολουθώντας την προσέγγιση "Physics first!", η οποία παρουσιάζεται και στο άρθρο, General Relativity in the Undergraduate Physics Curriculum.
Στη σελίδα του George F. R. Ellis, μπορεί να βρει κανείς και κάποιες δικές του σημειώσεις σχετικότητας, καθώς και πολύ ακόμα ενδιαφέρον υλικό για διάφορα θέματα και πέρα από την σχετικότητα και τη βαρύτητα (ο Ellis, εκτός από τα πολύ καλά συγγράμματα σχετικότητας που έχει συγγράψει και αναφέρονται στην βιβλιογραφία στο μέρος γ, έχει ερευνητικό έργο σε σύγχρονους τομείς της θεωρητικής φυσικής, καθώς και στην φιλοσοφία της φυσικής και ειδικότερα στη φύση του χωροχρόνου και ειδικότερα του χρόνου, όπου τελευταία ανέβασε ένα αρκετά ενδιαφέρον άρθρο στο arXiv με τίτλο, Space time and the passage of time, όπου μπορεί να δει κανείς πως αναλύει αυτά τα θέματα κάποιος ο οποίος ξέρει για τι πράγμα μιλάει και δεν αμπελοφιλοσοφεί σαν κάποιους άλλους των οποίων οι αισθήσεις πλανώνται).
Θα κλείσω με κάποιες αναφορές στην πειραματική επαλήθευση της θεωρίας της σχετικότητας, αφού θεωρώ ότι η παρουσίαση αυτών των δεδομένων θα πρέπει να είναι ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της θεμελίωσης και της τεκμηρίωσης της θεωρίας για κάποιον φοιτητή. Είναι σημαντικό να ξέρει κανείς γενικά σε ότι αφορά τη φυσική το τι ακριβώς γνωρίζουμε και πόσο καλά το γνωρίζουμε και ποια είναι η επαφή της κάθε θεωρίας με τα πειραματικά και παρατηρησιακά δεδομένα, αφού η φυσική είναι σε τελική ανάλυση μια πειραματική επιστήμη που ενδιαφέρεται για την επαφή με τον φυσικό κόσμο.
Τέλος, για λόγους πληρότητας, αξίζει να αναφέρουμε και μερικά links σχετικά με την πειραματική επαλήθευση της ειδικής σχετικότητας. Μια πολύ καλή παρουσίαση και αρκετά μεγάλη συλλογή από αναφορές πάνω στο θέμα, υπάρχει στη σελίδα, What is the experimental basis of Special Relativity?, την οποία προτείνω να κοιτάξει κανείς διεξοδικά. Σε αυτό το πλαίσιο είναι και το άρθρο από το Living Reviews, Modern Tests of Lorentz Invariance. Τέλος, μπορεί να κοιτάξει κανείς το επετειακό και πάλι άρθρο του Will, Special Relativity: A Centenary Perspective, όπου κάνει μια συνολική παρουσίαση της σημερινής κατάστασης. Από το άρθρο αυτό θέλω απλά να παραθέσω μερικές γραμμές και να κλείσω:
On the 100th anniversary of special relativity, we see that the theory has been so thoroughly integrated into the fabric of modern physics that its validity is rarely challenged, except by cranks and crackpots. It is ironic then, that during the past several years, a vigorous theoretical and experimental effort has been launched, on an international scale, to find violations of special relativity. The motivation for this effort is not a desire to repudiate Einstein, but to look for evidence of new physics “beyond” Einstein, such as apparent violations of Lorentz invariance that might result from certain models of quantum gravity. So far, special relativity has passed all these new high-precision tests, but the possibility of detecting a signature of quantum gravity, stringiness, or extra dimensions will keep this effort alive for some time to come.
Η φυσική είναι πειραματική επιστήμη που ψάχνει την επαφή με την φυσική πραγματικότητα. Κανένας δεν ξέρει καλύτερα τους περιορισμούς των φυσικών θεωριών από τους ίδιους τους φυσικούς (ή τουλάχιστον έτσι θα έπρεπε να είναι), οι οποίοι ψάχνουν συνεχώς να ελέγξουν και να επεκτείνουν τις θεωρίες τους. Δεν υπάρχουν και δεν πρέπει να υπάρχουν δόγματα στην επιστήμη. Αυτή η κουλτούρα λοιπόν θα πρέπει να περνάει στους φοιτητές και η επαφή με τις βάσεις και τα πειράματα μιας θεωρίας θα πρέπει να είναι ένα σημαντικό κομμάτι της διδασκαλίας.
Καλή μελέτη.
-------------------------- Update (13/2/15): Να αναφέρω εδώ και κάτι που έμαθα πρόσφατα και αξίζει να προστεθεί στην βιβλιογραφία για την μελέτη της Σχετικότητας. Οι εκδόσεις του Princeton University έχουν βάλει πια online το πολύ καλό βιβλίο ασκήσεων, "Problem Book in Relativity and Gravitation" (Lightman, Press, Price, & Teukolsky). Ακολουθώντας τον προηγούμενο σύνδεσμο μπορεί να έχει κανείς απευθείας online πρόσβαση στο βιβλίο.
Και προχωράμε στο τρίτο και τελευταίο κομμάτι της μετάφρασης του άρθρου του Robert Wald σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας. Αυτό το κομμάτι αφορά την διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό και μεταπτυχιακό επίπεδο.
4. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε προπτυχιακό επίπεδο
Ευτυχώς, δεν υπάρχουν ιδιαίτερα προαπαιτούμενα μαθήματα για ένα προπτυχιακό μάθημα γενικής σχετικότητας. Φυσικά είναι απαραίτητο οι φοιτητές να έχουν κάποια επαφή με την ειδική σχετικότητα, γιατί διαφορετικά τα εννοιολογικά εμπόδια που θα πρέπει να ξεπεράσουν ίσως είναι πολύ μεγάλα για κάποιον που δεν έχει καμία επαφή με το αντικείμενο. Παρόλα αυτά, θα ήταν αρκετή η επαφή και μόνο που έχει κανείς με την ειδική σχετικότητα στα πλαίσια ενός μαθήματος βασικής φυσικής του 1ου έτους. Είναι σημαντικό οι φοιτητές να έχουν διδαχτεί κλασική μηχανική και να έχουν επαφή με τις γενικευμένες συντεταγμένες και τον φορμαλισμό και τις μεταβολές των Euler-Lagrange. Θα ήταν ακόμα χρήσιμο (αν και όχι απαραίτητο) να έχουν διδαχτεί οι φοιτητές ηλεκτρομαγνητισμό, αφού κανείς θα πρέπει να έχει πρώτα κατανοήσει το τι είναι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα πριν προσπαθήσει να καταλάβει το τι είναι το βαρυτικό κύμα.
Η διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό επίπεδο κρύβει πολλές προκλήσεις, ειδικά αν το μάθημα έχει διάρκεια ενός εξαμήνου. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα δεν υπάρχει αρκετός χρόνος για να εισαχθούν σωστά τα απαραίτητα μαθηματικά που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Ακόμα και σε ένα ετήσιο μάθημα, δεν θα ήταν καλή ιδέα να προσπαθήσει κανείς να φορτώσει την πρώτη φάση του μαθήματος με όλο αυτό το υλικό από τα μαθηματικά, αφού αν το έκανε κανείς θα κατέληγε με μια τάξη σχεδόν χωρίς φοιτητές την στιγμή που θα έφτανε στις ενδιαφέρουσες φυσικές εφαρμογές της γενικής σχετικότητας.
Προφανώς, το λογικό είναι να ξεκινήσει κανείς ένα προπτυχιακό μάθημα με μια περίληψη της ειδικής σχετικότητας, κατά προτίμηση δίνοντας έμφαση στην γεωμετρική προσέγγιση όπως παρουσιάστηκε στην 2η ενότητα. Ακόμα, θα ήταν καλό να προσπαθήσει να κάνει κανείς μια ποιοτική παρουσίαση των βασικών εννοιών της γενικής σχετικότητας στην αρχή, και πάλι όπως παρουσιάστηκε στη 2η ενότητα. Από εκεί και πέρα, για να προχωρήσει κανείς, θα πρέπει να εισαχθούν κάποια από τα στοιχεία των μαθηματικών που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 3. Κατά την γνώμη μου, τα ελάχιστα μαθηματικά που θα πρέπει να εισαχθούν είναι, (i) Μια σαφής εξήγηση του γεγονότος ότι ο χωροχρόνος δεν έχει τη δομή διανυσματικού χώρου και το ότι οι συντεταγμένες, $$\reverse\opaque \small x^{\mu}$$, δεν έχουν κανένα ιδιαίτερο φυσικό νόημα και αποτελούν απλά "ετικέτες" για τα χωροχρονικά γεγονότα. (ii) Η έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος σε μια καμπύλη, όπως παρουσιάστηκε στην 3η ενότητα. (iii) Η έννοια της μετρικής του χωροχρόνου ως ένα εσωτερικό γινόμενο για εφαπτόμενα διανύσματα και πως χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ιδιόχρονου $$\reverse\opaque \small \tau$$ κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης. (iv) Η έννοια της χρονοειδούς γεωδαισιακής ως μια καμπύλη που έχει ακρότατο $$\reverse\opaque \small \tau$$. Από εκεί και πέρα, η γεωδαισιακή εξίσωση μπορεί να εξαχθεί με την βοήθεια του λογισμού των μεταβολών κατά Euler-Lagrange (οι φωτοειδείς γεωδαισιακές μπορούν να εισαχθούν από τις χρονοειδείς παίρνοντας το κατάλληλο όριο). Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις συμμετρίες και τις διατηρήσιμες ποσότητες που ξέρουμε από την Λαγκρανζιανή μηχανική (δηλαδή τα σχετικά με το θεώρημα Noether) μεταφέρεται και στις ιδιότητες των γεωδαισιακών και άρα σε έναν χωρόχρονο με αρκετή συμμετρία, οι εξισώσεις αυτές μπορούν να λυθούν με την βοήθεια σταθερών της κίνησης.
Τα παραπάνω θα δώσουν στους φοιτητές τα απαραίτητα εργαλεία για να ερμηνεύσουν το τι είναι η μετρική του χωροχρόνου και τι φυσικές συνέπειες έχει, αφού τα βασικά πράγματα που χρειάζεται κανείς είναι (α) να μπορεί να υπολογίσει τον χρόνο που περνά κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης και (β) να μπορεί να υπολογίσει τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές (που συνιστούν τις ελεύθερες τροχιές των σωματιδίων και των φωτονίων αντίστοιχα) σε έναν χωροχρόνο. Πέρα από τα παραπάνω όμως, οι φοιτητές δεν θα μπορούν να αντιληφθούν το νόημα των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν αφού δεν θα έχουν τα απαραίτητα εργαλεία και άρα δεν θα μπορούν να παράξουν κάποια λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τις λύσεις που θα τους παρουσιαστούν και θα μελετήσουν θα πρέπει να τις δεχτούν με καλή πίστη.
Αφού έχει παρουσιαστεί το παραπάνω μαθηματικό υλικό, θα είναι σε θέση κανείς να συζητήσει της λύση του Schwarzschild (που περιγράφει το βαρυτικό πεδίο γύρω από ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα) και τις λύσεις των Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW, που περιγράφουν χωρικά ομογενείς και ισοτροπικές κοσμολογίες). Στην περίπτωση της λύσης του Schwarzschild, μπορεί να υπολογίσει κανείς τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές και άρα να υπολογίσει τις τροχιές των πλανητών και την καμπύλωση της τροχιάς του φωτός. Την λύση FLRW, μπορεί να την εισάγει κανείς βάση των συμμετριών που πρέπει να ικανοποιεί ένας τέτοιος χώρος και να την εκφράσει κανείς συναρτήσει ενός άγνωστου παράγοντα κλίμακας $$\reverse\opaque \small a(t)$$ και να δείξει πως οι αλλαγές σ'αυτόν τον παράγοντα σχετίζονται με την συστολή ή τη διαστολή του σύμπαντος. Επειδή οι εξισώσεις πεδίου δεν έχουν εισαχθεί, δεν μπορεί να υπολογίσει κανείς τις εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιεί ο παράγοντας κλίμακας, αλλά οι εξισώσεις αυτές μπορούν να δοθούν χωρίς απόδειξη και να υπολογιστούν οι διάφορες κοσμολογικές λύσεις.
Ακόμα και στην περίπτωση ενός εξαμηνιαίου μαθήματος, θα πρέπει μετά από όλα αυτά να περισσεύει ακόμα λίγος χρόνος για να συζητηθούν κάποια ακόμα βασικά θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία και η ανίχνευσή της, η ιδέα της μαύρης τρύπας όπως προκύπτει από την επέκταση της λύσης του Schwarzschild, άλλα θέματα της φυσικής των μελανών οπών και κάποια θέματα από την σύγχρονη κοσμολογία. Σε ένα μάθημα δύο εξαμήνων, κανείς θα μπορούσε να συζητήσει αναλυτικά όλα τα παραπάνω, καθώς και να εισάγει και το απαραίτητο μαθηματικό υλικό σχετικό με την καμπυλότητα το οποίο χρειάζεται για να παρουσιαστούν και οι εξισώσεις του Αϊνστάιν.
5. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό επίπεδο
Σε αντίθεση με τους προπτυχιακούς φοιτητές, στους μεταπτυχιακούς φοιτητές δεν γίνεται να μην παρουσιαστεί ο βασικός πυρήνας της θεωρίας της γενικής σχετικότητας. Έτσι, δεν μπορεί να διδαχτεί η γενική σχετικότητα χωρίς να παρουσιαστούν πλήρως οι εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν. Κατά συνέπεια, θα πρέπει να εισαχθεί η έννοια της καμπυλότητας και το σχετικό μαθηματικό υλικό.
Όποτε έχω διδάξει γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό μάθημα, έχω αφιερώσει τις πρώτες δύο εβδομάδες σε μια επανάληψη/συζήτηση της ειδικής σχετικότητας από την γεωμετρική οπτική γωνία και σε μια ποιοτική συζήτηση των θεμελιωδών αρχών που διέπουν την γενική σχετικότητα. Μετά από αυτή την εισαγωγή, προχωράω σε μια πλήρη παρουσίαση όλης της μαθηματικής ύλης που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3 και κλείνω με την εξαγωγή και τη συζήτηση των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν. Αυτό το μαθηματικό κομμάτι του μαθήματος έχει συνήθως διάρκεια περίπου 5 εβδομάδων. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα, μετά τα παραπάνω, υπάρχει χρόνος μόνο για μια επιφανειακή παρουσίαση των παρακάτω σημαντικών θεμάτων: (i) ιδιότητες της γενικής σχετικότητας στην προσέγγιση του ασθενούς πεδίου (Νευτώνειο όριο και βαρυτικά κύματα), (ii) τις FLRW λύσεις και τις βασικές τους ιδιότητες (κοσμολογική ερυθρομετάθεση, θεωρία της μεγάλης έκρηξης, κοσμολογικοί ορίζοντες)και (iii) η λύση του Schwarzschild (πλανητικές τροχιές, καμπύλωση του φωτός, η ιδιότητες της μαύρης τρύπας τύπου Schwarzschild). Πιστεύω ότι ένα μάθημα αυτού του τύπου παρέχει στους φοιτητές μια στέρεα βάση στη γενική σχετικότητα. Παρέχοντας τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία και τις βασικές ιδέες της θεωρίας, επιτρέπει στους φοιτητές να προχωρήσουν περαιτέρω στην μελέτη τους της σχετικότητας. Πάντως, ένα μάθημα αυτού του τύπου έχει το μειονέκτημα ότι ένα μεγάλο μέρος του μαθήματος αφιερώνεται στο μαθηματικό υλικό και αυτό μπορεί να απογοητεύσει κάποιους φοιτητές που θα ήθελαν να δουν περισσότερη φυσική.
Σε ένα μάθημα του ενός εξαμήνου, ο μόνος τρόπος που θα μπορούσε να εισάγει κανείς αρκετό περισσότερο υλικό φυσικής πάνω σε θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία, οι μαύρες τρύπες, η σχετικιστική αστροφυσική και η κοσμολογία, θα ήταν με το να μειώσει σημαντικά τον χρόνο που θα αφιέρωνε στα μαθηματικά. Αν κανείς εισάγει εξαρχής στον φορμαλισμό τις συντεταγμένες και δουλέψει αποκλειστικά με τα στοιχεία των τανυστών σε κάποιο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων, τότε μπορεί κανείς, όπως συζητήθηκε στην ενότητα 3, να προσπεράσει αρκετό από το υλικό σχετικά με τους τανυστές χρησιμοποιώντας απλά τον κανόνα μετασχηματισμού των τανυστών. Τότε μπορεί κανείς να εισάγει την παραγώγιση των τανυστών με τη βοήθεια των συμβόλων Christoffel, τα οποία θα εμφανίζονται ως οι «διορθωτικοί όροι» που θα πρέπει να προστεθούν στην συνήθη παράγωγο ώστε να δουλεύει και για τους τανυστές (και να ικανοποιεί δηλαδή τον μετασχηματισμό των τανυστών σε αλλαγές συντεταγμένων). Μετά μπορεί κανείς να εισάγει τον τανυστή καμπυλότητας του Riemann ως μια ποσότητα που παράγεται από τα Christofell και τις συνήθεις παραγώγους τους με τέτοιο τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να μετασχηματίζεται σαν τανυστής. Το τίμημα που πληρώνει κανείς έτσι είναι ότι χάνει την επαφή με τις βασικές γεωμετρικές ιδέες που βρίσκονται στα θεμέλια της γενικής σχετικότητας – και ειδικότερα τη διαφορά της σε σχέση με όλες τις προηγούμενες θεωρίες σε ότι αφορά την απουσία ενός σταθερού, μη-δυναμικού υποβάθρου στη δομή του χωροχρόνου – αφού αυτές οι βασικές ιδέες είναι δύσκολο να γίνουν αντιληπτές αν η θεωρία δεν διατυπωθεί με τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Επιπλέον οι φοιτητές δεν θα διαθέτουν τα μαθηματικά εργαλεία για να προχωρήσουν την μελέτη τους σε αντικείμενα που περιέχουν μεθόδους που εκμεταλλεύονται την καθολική δομή του χωροχρόνου (global methods) - όπως είναι τα singularity theorems και η γενική θεωρία των μελανών οπών – όπου και πάλι είναι σημαντικό οι διάφορες ιδέες να έχουν διατυπωθεί με ένα τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Παρόλα αυτά, αν κανείς προχωρήσει με αυτόν τον τρόπο , μπορεί να μειώσει τον χρόνο που θα ξοδέψει στα μαθηματικά κατά έναν παράγοντα του 2 ή και περισσότερο, επιτρέποντας έτσι την διάθεση περισσότερου χρόνου σε φυσικές εφαρμογές.
6.1 Πηγές για εισαγωγική παρουσίαση της γενικής σχετικότητας
Relativity: The Special and the General Theory, The Masterpiece Science Edition, A. Einstein (Pi Press, New York 2005). Είναι η ανατύπωση μίας από τις πρώτες μη-τεχνικές παρουσιάσεις της ειδικής και της γενικής σχετικότητας και περιέχει και μια εισαγωγή γραμμένη από τον Penrose και σχολιασμό από τους R. Geroch και D. Cassidy. (Β)
Flat and Curved Space-Times (second edition), G.F.R. Ellis and R. Williams (Cambridge University Press, Cambridge, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει την ειδική σχετικότητα από την γεωμετρική σκοπιά και κάνει μια εισαγωγή στην γενική σχετικότητα. (Β)
General Relativity from A to B, R. Geroch (University of Chicago Press, Chicago, 1978). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εξαιρετική εισαγωγή στις βασικές ιδέες της γενική σχετικότητας από γεωμετρική σκοπιά. (Β) (δικό μου σχόλιο: το βιβλίο αυτό είναι καταπληκτικό για να εισαχθεί κανείς στην γεωμετρική εικόνα της σχετικότητας)
Gravity from the Ground Up, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 2003). Αυτό το βιβλίο έχει μια ενδιαφέρουσα συζήτηση γύρω από τη φύση της βαρύτητας στην γενική σχετικότητα και τις συνέπειες που έχει για την αστροφυσική και την κοσμολογία. (Β)
Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, E.F. Taylor and J.A. Wheeler (Addison Wesley Longman, San Francisco, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εισαγωγή στη γενική σχετικότητα και τις μαύρες τρύπες δίνοντας μεγαλύτερη βάση στην φυσική. (Β)
Black Holes and TimeWarps: Einstein’s Outrageous Legacy, K.S. Thorne (W.W. Norton, New York, 1994). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει κάποιες από τις πιο εντυπωσιακές ιδέες που έχουν προκύψει στα πλαίσια της γενικής σχετικότητας. Το βιβλίο αυτό είναι μεταφρασμένο και στα Ελληνικά. (Β)
Space, Time, and Gravity: The Theory of the Big Bang and Black Holes
(second edition), R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1992). (Β)
Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test (second edition) C.M. Will (Basic Books, New York, 1993). Αυτό το βιβλίο δίνει μια αναλυτική παρουσίαση της πειραματικής και της παρατηρησιακής επαλήθευσης της γενικής σχετικότητας. Και αυτό το βιβλίο υπάρχει μεταφρασμένο στα Ελληνικά και το προτείνω ως ένα πολύ καλό ανάγνωσμα. (Β)
6.2 Πηγές για διαφορική γεωμετρία
Geometry of Manifolds, R.L. Bishop and R.J. Crittenden (American Mathematical
Society, Providence, 2001). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)
Tensor Analysis on Manifolds, R.L. Bishop and S. Goldberg (Dover Publications,
New York, 1987). (Μ)
Riemannian Geometry, L.P. Eisenhart (Princeton University Press, Princeton, 1997). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει την διαφορική γεωμετρία από την οπτική της επιλογής συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων. (Μ,Π)
Foundations of Differential Geometry, volumes 1 and 2, S. Kobayashi and K. Nomizu (John Wiley and Sons, New York, 1996). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)
Riemannian Manifolds : An Introduction to Curvature, J.H. Lee (Springer-Verlag, New York, 1997). (Μ)
Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, D. Lovelock and H. Rund (Dover Publications, New York, 1989). (Μ)
A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, volumes 1-5, third edition, M. Spivak (Publish or Perish Inc., Houston, 1999). (Μ)
Tensors and Manifolds: With Applications to Mechanics and Relativity, R.H.
Wasserman (Oxford University Press, Oxford, 1992). Εισαγωγή στους τανυστές σε πολλαπλότητες. (Μ)
6.3 Πηγές για προπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας
Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, J.B. Hartle (Addison Wesley, San Francisco, 2003). Η φιλοσοφία στη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας στους προπτυχιακούς, που παρουσιάστηκε παραπάνω, είναι παρμένη από αυτό το βιβλίο. (Μ)
General Relativity: A Geometric Approach, M. Ludvigsen (Cambridge University
Press, Cambridge, 1999). (Μ)
Relativity: Special, General, and Cosmological, W. Rindler (Oxford University
Press, Oxford, 2001). (Μ)
A First Course in General Relativity, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 1985). Το βιβλίο αυτό υπάρχει και στα Ελληνικά και είναι μια αρκετά καλή εισαγωγή στη γενική σχετικότητα.(Μ)
Relativity : An Introduction to Special and General Relativity third edition, H. Stephani (Cambridge University Press, Cambridge, 2004). (Μ)
6.4 Πηγές για μεταπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας
Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, S. Carroll
(Addison Wesley, San Francisco, 2004). Μια πολύ καλή και παιδαγωγική εισαγωγή στη γενική σχετικότητα. (Μ)
The Large Scale Structure of Space-time, S.W. Hawking and G.F.R. Ellis (Cambridge University Press, Cambridge, 1973). Το βιβλίο αυτό αποτελεί την πιο πλήρη παρουσίαση των βασικότερων θεωρημάτων της γενικής σχετικότητας γενικά και ειδικά σε ότι αφορά τις μαύρες τρύπες. (Π)
Relativity on CurvedManifolds, F. de Felice and C.J.S. Clarke (Cambridge University Press, Cambridge, 1990). (Μ,Π)
The Classical Theory of Fields, L.D. Landau and E.M. Lifshitz, (Elsevier, Amsterdam, 1997). Μια πολύ καθαρή παρουσίαση της γενικής σχετικότητας από την οπτική της συγκεκριμένης βάσης συντεταγμένων. (Μ,Π)
Gravitation, K.S. Thorne, C.W. Misner, and J.A. Wheeler (W.H. Freeman, San Francisco, 1973). Αυτό το βιβλίο αποτελεί την πρώτη μοντέρνα παρουσίαση της γενικής σχετικότητας (αλλά παρουσιάζει σε κάποια σημεία συγκριτικά και την οπτική από τις συγκεκριμένες συντεταγμένες). Το βιβλίο δίνει βάρος στην φυσική πίσω από τη θεωρία. (Μ,Π)
Advanced General Relativity, J. Stewart, (Cambridge Monographs on Mathematical
Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1991). (Π)
General Relativity, R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1984). (Μ,Π)
Gravitation and Cosmology : Principles and Applications of the General Theory of Relativity, S. Weinberg (Wiley, New York, 1972). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει μια αντί-γεωμετρική προσέγγιση στη γενική σχετικότητα, ενώ κάποια από τα στοιχεία που παρουσιάζει στην κοσμολογία είναι απαρχαιωμένα, αλλά παραμένει μαι από τις καλύτερες αναφορές στις εφαρμογές και τους υπολογισμούς που προκύπτουν στη γενική σχετικότητα. (Μ,Π)
