Μετα-Μαθηματικά

Διάβασα αυτές τις ημέρες το βιβλίο του Gregory Chaitin, Μετα-Μαθηματικά: Τα Μυστικά του Αριθμού Ω.

Καταρχήν, τι είναι το Ω; Αυτή ήταν η βασική απορία μου ξεκινώντας να διαβάσω το βιβλίο. Δεν το είχα ξανακούσει πουθενά αυτό το Ω.

Λοιπόν, το Ω είναι η πιθανότητα τερματισμού ενός προγράμματος. Είναι ένας αριθμός στο διάστημα μεταξύ του 0 και του 1 και υπολογίζεται από το ποσοστό των προγραμμάτων που τερματίζουν σε σχέση με το σύνολο των προγραμμάτων που μπορεί να έχει κανείς. Ο αριθμός αυτός έχει άπειρα ψηφία, είναι δηλαδή ένας πραγματικός άρρητος αριθμός και μπορεί να υπολογιστεί ως το Ν-οστό του bit από προγράμματα που έχουν μέγεθος μέχρι Ν-bit. Ή κάτι τέτοιο.

Το βιβλίο είναι πάνω σε ένα σχετικά μακρινό μου αντικείμενο και ακόμα το χωνεύω. Για να πω την αλήθεια, είναι γραμμένο και λίγο περίεργα. Μου έδωσε την αίσθηση ότι το έγραψε για τον εαυτό του ο Chaitin. Σίγουρα δεν βοήθησε και η μετάφραση, που αν κρίνω από μερικά σημεία που εντόπισα εγώ, δεν φαίνεται και πολύ καλή. Το θέμα πάντως είναι πολύ ενδιαφέρον.

Σχετικά με τον τίτλο. Γιατί μετα-μαθηματικά; Εδώ το μετα-μαθηματικά σημαίνει ότι το αντικείμενο που πραγματεύεται το βιβλίο έχει να κάνει όχι με τα μαθηματικά τα ίδια ως πεδίο αλλά με το τι μπορεί να πει κανείς για τα μαθηματικά. Δηλαδή, σκέψεις πάνω στα μαθηματικά, την φύση τους και τα όριά τους.
Με αυτόν τον τρόπο περίπου χρησιμοποιείται και το πρόθεμα "μετα" στην μετα-φυσική, όπου ουσιαστικά όταν λέμε μετα-φυσική εννοούμε την διερεύνηση της οντολογίας των πραγμάτων, του τι είναι και τι δεν είναι, την φύση των φυσικών θεωριών, την φύση της ίδιας της γνώσης, του τι μπορούμε να μάθουμε και τι ενδεχομένως όχι.

Έχει ενδιαφέρον πάντως ο όρος "μετα-μαθηματικά", γιατί θα μπορούσε να πει κανείς ότι τα μαθηματικά είναι "μετα" από μόνα τους, αφού δεν έχουν ως αντικείμενο την ίδια την φύση, αλλά αφαιρέσεις που έχουν τις ρίζες τους στην φύση. Δηλαδή, τα μαθηματικά ασχολούνται με κάποιες ιδανικές ιδέες, των οποίων χοντροκομμένα αντίγραφα βλέπουμε γύρω μας. Γι' αυτό ίσως και πολλοί μαθηματικοί να είναι Πλατωνιστές.

Λοιπόν, για να επιστρέψουμε στο βιβλίο, και πως ακριβώς προκύπτει αυτό το "μετα" στα μαθηματικά; Το βιβλίο έχει τον εξής άξονα: Ξεκινάμε από το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel, μετά πάμε στο θεώρημα της μη υπολογισιμότητας του Turing και καταλήγουμε στο δικό του θεώρημα της μη αναγωγιμότητας. Σύμφωνα με τον Chaitin, όλα τα παραπάνω είναι προτάσεις πάνω στην φύση των μαθηματικών και τα όριά τους.

Το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel με λίγα λόγια λέει ότι αν έχουμε ένα αξιωματικό σύστημα, το οποίο είναι τόσο "πλούσιο" ώστε να "περιέχει την αριθμητική", τότε το αξιωματικό αυτό σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει όλες τις πιθανές προτάσεις και άρα είναι μη πλήρες. Περισσότερη κουβέντα πάνω σ' αυτό το θέμα κάνω στο post μου για το LOGICOMIX.

Το θεώρημα της μη υπολογισιμότητας του Turing λέει χονδρικά ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε από πριν αν ένα δεδομένο πρόγραμμα θα τερματίσει. Αυτό είναι το περίφημο πρόβλημα του τερματισμού και συνδέεται με την μη πληρότητα του Godel με πολύ ενδιαφέρον τρόπο.

Τέλος το θεώρημα της μη αναγωγιμότητας λέει ότι ουσιαστικά στα πλαίσια ενός αξιωματικού συστήματος το οποίο έχει πολυπλοκότητα N-bit δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν ένα πρόγραμμα με μεγαλύτερη πολυπλοκότητα (περισσότερα από Ν-bit) είναι το λιγότερο πολύπλοκο. Ή κάτι τέτοιο.

Φυσικά στα παραπάνω μπορεί να υπάρχουν πολλές άγνωστες λέξεις και δεν βγάζουν και πολύ νόημα για κάποιον που δεν έχει επαφή, αλλά έχει πολύ ενδιαφέρον το όλο θέμα και όλα αυτά συνδέονται και με την θεωρία αριθμών, τους πρώτους αριθμούς, το πρόβλημα του συνεχούς κλπ. οπότε αξίζει να διαβάσει κανείς το βιβλίο για να έρθει σε μια πρώτη επαφή με όλα αυτά.

Τελικά, το ευχαριστήθηκα το βιβλίο και συνάντησα αρκετά ενδιαφέροντα πραγματάκια.

Κάτι που μου έκανε εντύπωση και ας πούμε ότι με παιδεύει λίγο είναι η αναφορά σε ένα απίστευτο θεώρημα σχετικά με τους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος. Το θεώρημα λέει ότι, αν έχουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα του $$\reverse\opaque (1+x)^n$$ τότε ο συντελεστής μπροστά από τον $$\reverse\opaque x^k$$ όρο είναι περιττός αν το δυαδικό ανάπτυγμα του k έχει 1 στις θέσεις όπου και το ανάπτυγμα του n έχει 1, ενώ είναι άρτιος διαφορετικά (δηλαδή αν έχει κάποιο 1 σε θέση όπου το αντίστοιχο ανάπτυγμα του n έχει 0). Για παράδειγμα, οι όροι μηδενικής τάξης ως προς x είναι πάντα περιττοί, αφού ανεξάρτητα του δυαδικού αναπτύγματος του n το ανάπτυγμα του 0 δεν έχει άσους. Αντιστοίχως ο συντελεστής της n-οστής δύναμης είναι και αυτός περιττός, αφού το n έχει το ίδιο δυαδικό ανάπτυγμα με το n. Για εμένα το όλο θεώρημα είναι τελείως αντι-διαισθητικό και ενδιαφέρον και στο βιβλίο το συνδέει με τις Διοφαντικές εξισώσεις, οι οποίες μπορούν να παίξουν τον ρόλο καθολικών υπολογιστών σαν τις μηχανές Turing... άλλο φοβερό αποτέλεσμα. Ακόμα το βιβλίο είναι γεμάτο αναφορές στην δουλειά του Wolfram, που είναι ακόμα ένα ενδιαφέρον θέμα.

Είναι σαφές νομίζω ότι το αντικείμενο με συνεπήρε και ας έχω κάποιες ενστάσεις, όπως η εμμονή του συγγραφέα με την τυχαιότητα. Συγκεκριμένα κάνει αρκετές κατά την γνώμη μου ατυχείς συσχετίσεις ανάμεσα στην τυχαιότητα και την κβαντομηχανική, αλλά αυτό ίσως είναι και πρόβλημα γλώσσας.

Τέλος υπάρχουν και κάποιες ενστάσεις σε φιλοσοφικό επίπεδο πάνω στην αντίληψη του Chaitin για το θεώρημα της μη πληρότητας και την σχέση του με τα δικά του θεωρήματα και τα μαθηματικά γενικά. Ο Torkel Franzen κάνει συγκεκριμένη αναφορά στον chaitin στο βιβλίο του "Godels Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse", αλλά δεν θα αναφερθώ παραπάνω σ' αυτό το θέμα.

Κλείνω με την αναφορά στην απαράδεκτη μετάφραση του όρου "Toy Model Universe" ως "παιδικό σύμπαν" και "παιδικό μοντέλο" γενικότερα. Έχει κανείς καμιά ιδέα για κάτι καλύτερο, γιατί ομολογώ ότι είναι δύσκολο. Εγώ θα προτιμούσε το "παιχνίδι" με μια πρώτη σκέψη πάντως.

Αυτά.

-------------------------------------------
Update: Μια λίστα από κείμενα του Chaitin μπορεί να βρει κανείς στο arXiv στο παρακάτω λινκ
Search Results for au:Chaitin
Εδώ υπάρχει και το βιβλίο σε ηλεκτρονική μορφή, καθώς και το Apendix II (δεν είμαι σίγουρος αν το Apendix I υπάρχει στη λίστα, αλλά είναι πιθανό).

LOGICOMIX

Αυτό θα είναι μάλλον το τελευταίο μου post για το 2009 και το θέμα του αφορά ένα από τα ενδιαφέροντά μου που δυστυχώς δεν αφιερώνω αρκετό χρόνο. Η αφορμή είναι το ότι διάβασα αυτές τις ημέρες το Logicomix του Απόστολου Δοξιάδη και το κομμάτι που αφορά αυτό το post έχει να κάνει με την λογική και όχι το κόμιξ (αν και είναι και αυτό ένα από τα ενδιαφέροντά μου).

Λοιπόν, για όσους δεν το έχουν υπόψη τους, το Logicomix πραγματεύεται υπό μία έννοια την ιστορία των θεμελίων (ή αλλιώς, της αυστηρής θεμελίωσης) των μαθηματικών, μέσα από την ζωή του Bertrand Russell. Και είναι σε μορφή κόμιξ. Φυσικά η ιστορία είναι ένα μυθιστόρημα που απλά έχει ως πρωταγωνιστές πραγματικά πρόσωπα (και ιδέες) και δεν έχει πρόθεση να αποτελέσει μια ακριβής καταγραφή των γεγονότων, όπως επισημαίνουν και οι δημιουργοί. Για την υλοποίηση της ιδέας συνεργάστηκαν με τον Δοξιάδη, ο Χρίστος Παπαδημητρίου (στην συγγραφή της ιστορίας), ο Αλέκος Παπαδάτος και η Annie Di Donna (στο σχέδιο). Να πω λοιπόν από την αρχή, ότι μου άρεσε πολύ τόσο η ιδέα όσο και η υλοποίηση και νομίζω ότι θα ανακινήσει το ενδιαφέρον για την λογική και τα μαθηματικά σε όποιον το διαβάσει.

Πρέπει να πω ακόμα ότι η εικόνα που είχα από τον Δοξιάδη ερχόταν αποκλειστικά και μόνο από την «17η Νύχτα» (δεν έχω διαβάσει τον θείο Πέτρο), ένα θεατρικό σχετικά με την λογική και τις τελευταίες μέρες της ζωής του Kurt Godel, ο οποίος πέθανε στο νοσοκομείο από ασιτία επειδή αρνιόταν να φαει φαγητό από τον φόβο ότι θέλανε να τον δηλητηριάσουν. Η εικόνα που είχα λοιπόν από αυτό το θεατρικό ήταν τραγική. Επειδή είχα δει την παράσταση, πιθανόν να έφταιγε και η σκηνοθετική ματιά του Αντώνη Καφετζόπουλου, αλλά όπως και να έχει η σύνδεση της ιστορίας με την λογική και τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel ήταν πολύ κακή, θα έλεγα αποτυχημένη, για να μην πω για την καρικατουρίστικη εμφάνιση του Hilbert σε κάποια σημεία του έργου που απλά γελοιοποιούσε το όλο θέμα.

Anyway, το κόμιξ μου άρεσε γενικά και το συνιστώ και από όσο μπόρεσα να αντιληφθώ, είναι γενικά αρκετά ακριβές στην παρουσίαση των μαθηματικών ιδεών, χωρίς όμως να γίνεται βαρύ.

Ακόμα, στο τέλος του βιβλίου, υπάρχει και ένα παράρτημα όπου ξεκαθαρίζονται διάφορες μαθηματικές έννοιες και δίνονται βιογραφικά στοιχεία για τους βασικούς ήρωες της ιστορίας. Εκεί είναι που υπάρχει και το πρόβλημα. Και το πρόβλημα αφορά το θεώρημα πληρότητας του Godel (Godels completeness theorem), τα θεωρήματα μη πληρότητας (Godels first and second incompleteness theorems), την λογική πρώτης βαθμίδας (first order logic) και τη λογική δεύτερης βαθμίδας (second order logic). Συγκεκριμένα, αυτό που μου χτύπησε στο μάτι ήταν η διατύπωση ότι η λογική πρώτης βαθμίδας και τα συστήματα που βασίζονται σ’ αυτήν είναι, σύμφωνα με το θεώρημα πληρότητας του Godel, πλήρη.

Και για να είμαι πιο συγκεκριμένος, η ακριβής διατύπωση είναι:

Γκέντελ, Κουρτ... Στη διδακτορική του διατριβή έκανε ένα σημαντικό βήμα προς την εκπλήρωση του «Προγράμματος του Χίλμπερτ», αποδεικνύοντας το θεώρημα της πληρότητας, που ορίζει ότι όλες οι αληθείς προτάσεις στη λογική πρώτης βαθμίδας – δηλαδή του απλού κατηγορηματικού λογισμού τύπου Φρεγκέ – μπορούν να αποδειχθούν από ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων. Το 1931 όμως κατάφερε να αποδείξει ότι το ίδιο δεν ισχύει για την λογική δεύτερης βαθμίδας, δηλαδή για μια λογική αρκετά ισχυρή να στηρίξει τα θεμέλια της αριθμητικής, ή άλλων αντίστοιχων ή πιο σύνθετων μαθηματικών θεωριών. Τα δύο θεωρήματα που καταγράφουν αυτή τη διαπίστωση ονομάζονται της μη πληρότητας...

Μη πληρότητα... Η πληρότητα ενός λογικού συστήματος είναι η ιδιότητα βάση της οποίας μια ορθά διατυπωμένη ή γραμματικά ορθή πρότασή του (που είναι δηλαδή γραμμένη σύμφωνα με τους «γραμματικούς» κανόνες του συστήματος) μπορεί να αποδειχθεί, αυτή ή – αν είναι ψευδής – η αντίθετή της, από τα αξιώματα του συστήματος. Το θεώρημα της πληρότητας του Γκέντελ αποδεικνύει αυτή την ιδιότητα για το σύστημα της λογικής πρώτης βαθμίδας, δηλαδή τον κατηγορηματικό λογισμό στην μορφή που αυτός αναπτύχθηκε αρχικά από τον Φρεγκέ, στην Εννοιολογική Γραφή. Όμως, στο επίκεντρο του λεγόμενου «Προγράμματος του Χίλμπερτ» βρισκόταν η απόδειξη της πληρότητας της λογικής δεύτερης βαθμίδας (όπου οι λογικές μεταβλητές μπορούν να παίρνουν ως τιμές τους σύνολα), καθώς μόνο αυτή είναι επαρκής για να στηρίξει τα θεμέλια της αριθμητικής, ή και πιο σύνθετων κλάδων των μαθηματικών. Εντελώς αντίθετα με τις προσδοκίες και τα όνειρα της μαθηματικής κοινότητας, ο Γκέντελ απέδειξε... ότι οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα για την αριθμητική βασισμένο στις αρχές των Πρινκίπια θα ήταν αναγκαστικά μη πλήρες. Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο από τα δύο θεωρήματα της μη πληρότητας ορίζει ότι σε οιοδήποτε σύστημα επαρκές να ορίσει τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών και τις αριθμητικές πράξεις, θα υπάρχουν πάντα τυπικά ορθές και επιπλέον αληθείς προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν (αυτές ή, αν είναι ψευδείς, οι αντίθετές τους) μέσα στο σύστημα. Το δεύτερο θεώρημα λέει ότι αν ένα σύστημα τέτοιου τύπου είναι πλήρες, δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο σύστημα η συνέπειά του – με άλλα λόγια, ότι συνέπεια και πληρότητα δεν μπορούν να αποδειχθούν ταυτόχρονα σε ένα σύστημα της δεύτερης βαθμίδας.

Αυτό που φαίνεται από τα παραπάνω, όπως το αντιλαμβάνομαι εγώ, είναι ότι υπάρχει μια ασάφεια και μία σύγχυση (τουλάχιστον στη διατύπωση) σχετικά με την πληρότητα της λογικής πρώτης βαθμίδας, το κατά πόσο αυτή μπορεί να στηρίξει την αριθμητική και γενικότερα τι σημαίνει η πληρότητα ενός συστήματος σε σχέση με το θεώρημα της πληρότητας του Godel έναντι των δύο θεωρημάτων του της μη πληρότητας. Αυτή η σύγχυση μάλιστα, φαίνετε να υπάρχει γενικά στην βιβλιογραφία, αλλά και σε πολλές αναφορές και επικλήσεις των θεωρημάτων του Godel που γίνονται συχνά σε συζητήσεις. Μάλιστα, υπάρχει και ένα σχετικό βιβλίο, το οποίο έχει πολύ ενδιαφέρον και στο οποίο θα βασιστώ κατά κύριο λόγο. Το βιβλίο είναι το «Godel’s Theorem: An incomplete Guide to Its Use and Abuse», του Torkel Franzen (όποιος ενδιαφέρεται, μπορεί να διαβάσει και αυτό το άρθρο: «The Popular Impact of Gödel's Incompleteness Theorem»).

Το πρώτο ζήτημα λοιπόν, είναι το ζήτημα της πληρότητας της λογικής πρώτης βαθμίδας και του σχετικού θεωρήματος του Godel. Καταρχήν πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τις έννοιες της «λογικής πρώτης βαθμίδας», του «Αξιωματικού Συστήματος», της «πληρότητας» όπως αυτή εννοείται στα πλαίσια του θεωρήματος της πληρότητας του Godel και της «πληρότητας» όπως αυτή εννοείται στα πλαίσια των θεωρημάτων της μη πληρότητας του Godel. Μετά θα συζητήσουμε και το θέμα της λογικής πρώτης και δεύτερης βαθμίδας και της αριθμητικής. Όπως φαίνετε από την προηγούμενη πρόταση πάντως, η σύγχυση πρέπει να οφείλεται στην συστηματική αναφορά στον όρο «πληρότητα».

Την λογική πρώτης βαθμίδας λοιπόν την παρουσιάζει αρκετά καλά το λήμμα Κατηγορηματικός λογισμός, όπου λέει ουσιαστικά ότι είναι ένα σύνολο από κανόνες με την βοήθεια των οποίων μπορούμε να βγάλουμε λογικά συμπεράσματα και οι οποίοι έχουν μια τυποποιημένη μορφή στη μαθηματική γλώσσα, ενώ έχουν ως αντικείμενο στοιχεία ενός συνόλου (στην περίπτωση των φυσικών αριθμών, κάποιον φυσικό αριθμό). Είναι δηλαδή της μορφής, «για τον αριθμό x ισχύει η P ιδιότητα». Η λογική δεύτερης βαθμίδας από την άλλη μπορεί να διατυπώσει προτάσεις που αφορούν επιπλέον και σύνολα (για το σύνολο x ισχύει η P ιδιότητα) και υπό αυτή την έννοια είναι πλουσιότερη στην περιγραφική της δυνατότητα από την λογική πρώτης βαθμίδας.
Τώρα, ένα αξιωματικό σύστημα (formal system) αποτελείται από ένα σύνολο αξιωμάτων που συνοδεύονται από ένα σύνολο λογικούς κανόνες (ας τους πούμε «λογικό σύστημα»), με την βοήθεια των οποίων μπορούμε να συνάγουμε θεωρήματα από τα αξιώματα. Ένα τέτοιο «λογικό σύστημα» είναι και η λογική πρώτης βαθμίδας. Είναι λοιπόν σαφές ότι η λογική πρώτης βαθμίδας από μόνη της δεν αποτελεί ένα αξιωματικό σύστημα. Σε αυτό λοιπόν το σημείο, όπου έχουμε ένα αξιωματικό σύστημα, γεννάτε το ερώτημα του κατά πόσο οι λογικοί κανόνες που έχουμε, το λογικό σύστημα, είναι ικανοί να συνάγουν κάθε δυνατό θεώρημα που είναι λογική συνέπεια των αξιωμάτων του συστήματος. Και εδώ έρχεται το θεώρημα της πληρότητας της λογικής πρώτης βαθμίδας να μας πει ότι η λογική πρώτης βαθμίδας είναι ικανή να παράγει κάθε πρόταση που είναι λογική συνέπεια των αξιωμάτων ενός αξιωματικού συστήματος, και άρα με αυτή την έννοια πλήρης. Αυτή η έννοια της «πληρότητας» είναι διαφορετική από την έννοια της πληρότητας που εμφανίζεται στα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel (κάτι που φαίνετε να μπερδεύεται στις διατυπώσεις του βιβλίου). Στο βιβλίο γίνεται και λόγος για την πληρότητα της λογικής δεύτερης βαθμίδας, όπου αναφέρεται ότι αυτή δεν είναι πλήρης σύμφωνα με τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel (στο λήμμα Γκέντελ, Κουρτ ), πράγμα που όπως είπαμε και παραπάνω για την λογική πρώτης βαθμίδας, δεν έχει νόημα, αφού η πληρότητα ενός συνόλου λογικών κανόνων αναφέρεται σε άλλο πράγμα. Το αν η λογική δεύτερης βαθμίδας είναι πλήρης με την έννοια που είναι πλήρης και η λογική πρώτης βαθμίδας, είναι ένα θέμα που ξεφεύγει από τις γνώσεις μου, αλλά υπάρχει μία σχετική συζήτηση στην wikipedia.

Αφού έχουμε πει όλα αυτά λοιπόν για τα «λογικά συστήματα» και την πληρότητά τους, ας επιστρέψουμε στο θέμα με τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel. Αυτά λοιπόν τα θεωρήματα αφορούν όχι τα λογικά συστήματα, αλλά τα αξιωματικά συστήματα όπως τα ορίσαμε παραπάνω. Το θεώρημα έχει χοντρικά την παρακάτω διατύπωση:

Κάθε «συνεπές» αξιωματικό σύστημα, το οποίο περιέχει «στοιχειώδη αριθμητική», είναι μη πλήρες σε σχέση με προτάσεις που αφορούν την «στοιχειώδη αριθμητική», δηλαδή υπάρχουν τέτοιες προτάσεις που ούτε οι ίδιες ούτε οι αντίθετές τους μπορούν να αποδειχθούν.

Εδώ και πάλι πρέπει να συζητήσουμε κάποιες έννοιες, όπως την έννοια της «στοιχειώδους αριθμητικής».

Πριν από αυτό όμως, ας βγάλουμε από την μέση την έννοια του «συνεπές». Αν έχουμε μια πρόταση Α και την αντίθετή της, τότε συνεπές σημαίνει να μην μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθής και η Α και η αντίθετή της.

Για να πάμε στο «στοιχειώδης αριθμητική» πρέπει πρώτα να ορίσουμε ακόμα μία έννοια. Την έννοια της πρότασης τύπου Goldbach. Μία πρόταση τύπου Goldbach είναι μια πρόταση που δηλώνει ότι, «κάποιος αριθμός έχει την ιδιότητα P», όπου η ιδιότητα P είναι μια ιδιότητα που μπορούμε να ελέγξουμε εφαρμόζοντας έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο (προφανή από την διατύπωση της πρότασης) ο οποίος τελικά θα μας δώσει ένα αποτέλεσμα. Για παράδειγμα η πρόταση, «οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται με το 2», είναι μια τέτοια πρόταση, αφού μπορούμε να εφαρμόσουμε έναν αλγόριθμο (να πάρουμε ζυγούς και να τους διαιρέσουμε με το 2) και να βγάλουμε συμπέρασμα για το αν ισχύει η ιδιότητα (δίνει ή δεν δίνει υπόλοιπο μηδέν). Μία σημαντική ιδιότητα αυτού του τύπου των προτάσεων είναι ότι μπορούμε να συμπεράνουμε, εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο, το αν η πρόταση ή η αντίθετή της είναι αληθής. Και ερχόμαστε τώρα στο «στοιχειώδης αριθμητική». Όταν λέμε ότι ένα αξιωματικό σύστημα περιέχει κάποια «στοιχειώδη αριθμητική» εννοούμε ότι για κάθε πρόταση του παραπάνω τύπου που μπορεί να αποδειχθεί στα πλαίσια του αξιωματικού αυτού συστήματος, υπάρχει μία διαδικασία που θα παράγει αυτή την απόδειξη.

Ένα παράδειγμα τέτοιου αξιωματικού συστήματος είναι και η αριθμητική των φυσικών αριθμών όπως θεμελιώθηκε αξιωματικά από τον Peano (Peano Arithmetics), δηλαδή η στοιχειώδης αριθμητική, και βασίζεται στην λογική πρώτης βαθμίδας.

Σχετικά με το θεώρημα και την λογική του, υπάρχει μια πολύ ωραία παρουσίαση στην σελίδα, Kenny's Overview of Hofstadter's Explanation of Gödel's Theorem, η οποία είναι σχετικά στοιχειώδης και αρκετά επεξηγηματική, ενώ δεν χρειάζεται και πολλές τεχνικές γνώσεις.

Ακόμα πρέπει να πω ότι το θεώρημα δεν εφαρμόζεται σε κάθε αξιωματικό σύστημα (η ιδέα αυτή είναι μία συνήθης παρανόηση). Υπάρχουν και αξιωματικά συστήματα, όπως η Ευκλείδεια Γεωμετρία και η Αριθμητική των Πραγματικών Αριθμών, που ξεφεύγουν από το θεώρημα και είναι και συνεπή και πλήρη.

Πέρα από τα καθαρά μαθηματικά, που δεν εξαντλούνται σε καμία περίπτωση στα παραπάνω, υπάρχουν πολλά ακόμα που μπορεί να πει κανείς σχετικά με το θεώρημα και τις ενδεχόμενες προεκτάσεις του, αλλά αυτό είναι μια πολύ μεγάλη συζήτηση.

Αυτά τα ολίγα...

Και καλή μας χρονιά!!!

Διάφορα links περί Σχετικότητας, Βαρύτητας και Gödel

Σκέφτηκα να βάλω κάποια πράγματα που διαβάζω αυτές τις μέρες. Ίσως κάποιος τα βρει ενδιαφέροντα.

Για αρχή, ένα ενδιαφέρων paper από τον φίλο Θωμά (όχι τον Ακινάτη), που είναι και πιο κοντά στα χωράφια μου

Theory of gravitation theories: a no-progress report
by Thomas P Sotiriou, Valerio Faraoni, Stefano Liberati
Already in the 1970s there where attempts to present a set of ground rules, sometimes referred to as a theory of gravitation theories, which theories of gravity should satisfy in order to be considered viable in principle and, therefore, interesting enough to deserve further investigation. From this perspective, an alternative title of the present paper could be ``why are we still unable to write a guide on how to propose viable alternatives to general relativity?''. Attempting to answer this question, it is argued here that earlier efforts to turn qualitative statements, such as the Einstein Equivalence Principle, into quantitative ones, such as the metric postulates, stand on rather shaky grounds -- probably contrary to popular belief -- as they appear to depend strongly on particular representations of the theory. This includes ambiguities in the identification of matter and gravitational fields, dependence of frequently used definitions, such as those of the stress-energy tensor or classical vacuum, on the choice of variables, etc. Various examples are discussed and possible approaches to this problem are pointed out. In the course of this study, several common misconceptions related to the various forms of the Equivalence Principle, the use of conformal frames and equivalence between theories are clarified.
arXiv:0707.2748v1 [gr-qc]

Σήμερα είδα και αυτό το paper στο arxiv, το οποίο με μια πρώτη ματιά φαίνεται να είναι καλό

Relativity without tears
by Z. K. Silagadze
Abstract: Special relativity is no more a new revolutionary theory but firmly established cornerstone of modern physics. The teaching of special relativity, however, still follows its presentation as it was unfolded historically, trying to convince subjects of this teaching that Newtonian physics is natural but incorrect and special relativity is its paradoxical but correct amendment. I argue in this article in favor of logical instead of historical trend in teaching of relativity and that special relativity is neither paradoxical nor correct (in the absolute sense of nineteen century) but the most natural expected description of real space-time around us valid for all practical purposes. This last circumstance constitutes a profound mystery of modern physics better known as the cosmological constant
problem.
arXiv:0708.0929v1 [physics.ed-ph]

Με αφορμή τη συζήτηση στο blog του κ. Σαμαρτζή, στο θέμα της κριτικής του βιβλίου του Dawkins (καλή συζήτηση γίνεται και εδώ), και την επιμέρους συζήτηση για τον Gödel, είπα να βάλω και ένα άρθρο από το arxiv που συζητά την επαφή (και την επίδραση) που είχε ο Gödel με (στην) Φυσική

Goedel and Physics
by John D. Barrow
We introduce some early considerations of physical and mathematical impossibility as preludes to the Goedel incompleteness theorems. We consider some informal aspects of these theorems and their underlying assumptions and discuss some the responses to these theorems by those seeking to draw conclusions from them about the completability of theories of physics. We argue that there is no reason to expect Goedel incompleteness to handicap the search for a description of the laws of Nature, but we do expect it to limit what we can predict about the outcomes of those laws, and examples are given. We discuss the Goedel universe and the role it played in exposing the full spectrum of possibilities that a global understanding of space-time would reveal. Finally,we show how recent studies of supertasks have shown how global space-time structure determines the ultimate capability of computational devices within them.
arXiv:physics/0612253v2 [physics.hist-ph]

Αξίζει όποιος ενδιαφέρεται, να ψάξει και τις αναφορές του άρθρου.

Τέλος από το site του ESO μία πάρα πολύ όμορφη φωτογραφία που απεικονίζει τον Γαλαξία μας.


Image of the night sky above Paranal on 21 July 2007, taken by ESO astronomer Yuri Beletsky. A wide band of stars and dust clouds, spanning more than 100 degrees on the sky, is seen. This is the Milky Way, the Galaxy we belong to. At the centre of the image, two bright objects are visible. The brightest is the planet Jupiter, while the other is the star Antares. Three of the four 8.2-m telescopes forming ESO's VLT are seen, with a laser beaming out from Yepun, Unit Telescope number 4. The laser points directly at the Galactic Centre. Also visible are three of the 1.8-m Auxiliary Telescopes used for interferometry. They show small light beams which are diodes located on the domes. The exposure time is 5 minutes and because the tracking was made on the stars, the telescopes are slightly blurred.

"The images are not composite", emphasises Yuri Beletsky. "The camera was being tracked on the stars, which can be easily noticed if you look at the telescope domes on the image (they look a little fuzzy). The colour of the laser beam on the first image actually looks pretty close to what one can see on the sky with the unaided eye."...

At the time the pictures were taken, astronomers were indeed using the SINFONI instrument (see ESO 21/04) to study the Galactic Centre, having a close look at the supermassive black hole that lurks in there.

Αυτά...