Τρίτη, 11 Νοεμβρίου 2014

"Interstellar"

Interstellar λοιπόν. Είναι αρκετά χρόνια που την περιμέναμε αυτή την ταινία, ειδικότερα επειδή ο Kip Thorne ήταν μπλεγμένος. Η ταινία λοιπόν κυκλοφόρησε και μπορεί να βρει κανείς πολλές κριτικές και διάφορους σχολιασμούς της.


Παρακάτω παραθέτω ένα infographic από το space.com το οποίο περιγράφει κάποια επιστημονικά σημεία της ταινίας. Εγώ θα σταθώ λίγο στα σχετικά με τις μαύρες τρύπες, χωρίς να μπω σε λεπτομέρειες της πλοκής.

Diagrams explain the physics concepts of
Source SPACE.com: All about our solar system, outer space and exploration.

Φυσικά ένα από τα πρώτα πράγματα που χτυπάνε στο μάτι και που μπορεί να δει κανείς και στα τρέιλερ της ταινίας, είναι η απεικόνιση της μαύρης τρύπας και του δίσκου της. Η ιστορία της απεικόνισης ενός δίσκου προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα είναι παλιά και πάει μέχρι την δεκαετία του 70, όπως μπορεί να δει κανείς και από την δουλειά του Luminet (1979A&A....75..228L)

Στα σχήματα μπορεί να δει κανείς την εικόνα που δημιουργούν στο οπτικό πεδίο του παρατηρητή οι διάφορες περιοχές του δίσκου σε διαφορετικές ακτίνες. Όπως και να έχει πάντως, η απεικόνιση για τις ανάγκες της ταινίας ξεπερνά κατά πολύ το απλό ray tracing που κάνουμε συνήθως για επιστημονικούς σκοπούς και από ότι φαίνεται προέκυψε από την έξτρα λεπτομέρεια της ανάλυση και ένα ενδιαφέρον καινούριο αποτέλεσμα που θα δημοσιευτεί στο Classical and Quantum Gravity.

Ας δούμε όμως λίγο την ίδια την μαύρη τρύπα, τον πλανήτη σε τροχιά γύρω από αυτή και την συζήτηση γύρω από τα σχετικά με τη διαστολή του χρόνου.

Το infographic λοιπόν λέει ότι η μαύρη τρύπα είναι μια υπερμεγέθης μαύρη τρύπα με μάζα περίπου 100 εκατομμύρια ηλιακές μάζες, η οποία περιστρέφεται στο 99.8% της ταχύτητας του φωτός. Με το τελευταίο δεν ξέρω τι εννοεί και δεν βγάζει και πολύ νόημα, οπότε θα υποθέσω ότι εννοεί πως περιστρέφεται με το 0.998 της μέγιστης περιστροφής που μπορεί να έχει μια μαύρη τρύπα, η οποία εκφράζεται από το λόγο της στροφορμής της προς την μάζα της, $$\reverse\opaque a=J/M $$, που μπορεί να είναι το πολύ ίση με την ίδια την μάζα, $$\reverse\opaque a=M $$. Εναλλακτικά αυτά μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια της παραμέτρου περιστροφής, $$\reverse\opaque j=J/M^2 $$, η οποία έχεις ως μέγιστη θεωρητική τιμή την τιμή j=1. Έτσι λοιπόν, η τιμή j=0.998, που τώρα βγάζει νόημα, είναι το λεγόμενο όριο Thorne για την περιστροφή μιας μαύρης τρύπας που μπορεί να βρει κανείς στην φύση και η οποία είναι σε ισορροπία με το περιβάλλον της (η περιστροφή που κερδίζει από την στροφορμή που πέφτει στην μαύρη τρύπα λόγω της πρόσπτωσης ύλης είναι ίση με την στροφορμή που χάνει από τις διάφορες διαδικασίες που συμβαίνουν στην εργόσφαιρά της). Για μια μαύρη τρύπα, υπάρχουν κάποιες χαρακτηριστικές ποσότητες. Μία από αυτές είναι η θέση του ορίζοντα γεγονότων. Για μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα λοιπόν, η θέση του ορίζοντα δίνεται από την έκφραση $$\reverse\opaque R_h=M+\sqrt{M^2-a^2} $$, όπου βλέπουμε ότι στην περίπτωση που δεν έχουμε περιστροφή (α=0) έχουμε το γνωστό αποτέλεσμα για την ακτίνα Schwarzschild, ενώ στην περίπτωση όπου έχουμε την μέγιστη περιστροφή (α=Μ), ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα R=M, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα (ο κατακόρυφος άξονας μετρά την ακτίνα σε μονάδες μάζας της μαύρης τρύπας, ενώ η μία Ηλιακή μάζα είναι περίπου 1.5km)

Για την συγκεκριμένη μαύρη τρύπα με j=0.998 λοιπόν, ο ορίζοντας είναι σε ακτίνα περίπου ίση με 1.063Μ ή 156.98 εκατομμύρια km.
Μια άλλη σημαντική ακτίνα γύρω από μια μαύρη τρύπα, είναι η ακτίνα της τελευταίας ευσταθούς κυκλικής τροχιάς (ISCO). Αυτή η ακτίνα είναι πολύ σημαντική γιατί σηματοδοτεί την περιοχή πέρα από την οποία δεν μπορεί να έχει κανείς ευσταθείς κυκλικές τροχιές γύρω από μια μαύρη τρύπα, ένα φαινόμενο που είναι χαρακτηριστικό των τροχιών στη γενική σχετικότητα. Έτσι για παράδειγμα, δεν μπορεί να έχει κανείς πλανήτες ή άλλα σώματα σε τροχιά γύρω από μια μαύρη τρύπα στην περιοχή μέσα από το ISCO, ενώ η θέση του ISCO είναι και η περιοχή μέχρι την οποία μπορεί να εκτείνεται ένας δίσκος προσαύξησης γύρω από μια μαύρη τρύπα. Όπως και ο ορίζοντας, έτσι και η θέση του ISCO εξαρτάται από την περιστροφή της μαύρης τρύπας, και η εξάρτηση δίνεται από το παρακάτω σχήμα



όπου βλέπουμε ότι για μια μη περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα το ISCO είναι στα 6Μ, ενώ για μια μαύρη τρύπα με μέγιστη περιστροφή είναι στο 1Μ. Έτσι, για j=0.998, η θέση του ISCO είναι στα 1.23698Μ που είναι περίπου 182.6 εκατομμύρια km.

Στο infographic μπορεί να δει κανείς ότι γύρω από την μαύρη τρύπα υπάρχει ένας πλανήτης που περιστρέφεται σε πολύ κοντινή τροχιά, τόσο κοντινή ώστε η βαρυτική διαστολή χρόνου να είναι τέτοια που μία ώρα στην τροχιά του πλανήτη να αντιστοιχεί σε 7 χρόνια για έναν μακρινό παρατηρητή. Αυτό είναι πολύ, αφού μιλάμε για έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα της τάξης του 61000, και αυτό ακριβώς αποτέλεσε αντικείμενο συζήτησης για το πόσο ρεαλιστικό είναι ένα τέτοιο σενάριο. Το ερώτημα λοιπόν είναι, μπορεί μαι τέτοια μαύρη τρύπα να έχει έναν πλανήτη σε τέτοια τροχιά ώστε να υπάρχει αυτή η διαφορά στον χρόνο; Και η απάντηση είναι όχι, όπως μπορεί να δει κανείς στο παρακάτω σχήμα. Το σχήμα δείχνει τη θέση του ISCO (πράσινη γραμμή), την τιμή του παράγοντα διαστολής του χρόνου που θέλουμε (κόκκινη γραμμή) και την διαστολή του χρόνου σε κυκλικές τροχιές γύρω από την μαύρη τρύπα για διαφορετικές ακτίνες (μπλε γραμμή)



Όπως μπορεί να δει λοιπόν κανείς, στην θέση του ISCO η διαστολή είναι της τάξης του 10 και αυτό είναι το καλύτερο που θα μπορούσε να έχει κανείς σε αυτή την περίπτωση, αφού δεν υπάρχουν ευσταθείς τροχιές πιο μέσα. Θα μπορούσε όμως να έχει διαφύγει κάτι τόσο σημαντικό από τον Kip Thorne; Φυσικά και όχι. Πράγματι στο βιβλίο που κυκλοφόρησε μαζί με την ταινία και έχει τίτλο "The science of Interstellar", ένα αντίτυπο του οποίου μπόρεσα να ξεφυλλίσω προκειμένου να ξεκαθαρίσω αυτό το σημείο, ο Kip περιγράφει τις ιδιότητες της μαύρης τρύπας και εκεί λέει ότι προκειμένου να πετύχει την διαστολή που ήθελε για τους σκοπούς της ταινίας του ο Νόλαν, αναγκάστηκε να υποθέσει μια μαύρη τρύπα με περιστροφή $$\reverse\opaque j=1-10^{-14} $$, δηλαδή πρακτικά με μέγιστη περιστροφή. Σε αυτή την περίπτωση, ουσιαστικά η ακτίνα του ορίζοντα όπως και η ακτίνα του ISCO είναι πρακτικά ίσες με 1Μ ή 147.65 εκατομμύρια km (που είναι μόλις μικρότερες από μία αστρονομική μονάδα, όσο είναι δηλαδή και η ακτίνα της τροχιάς της Γης, όπως δείχνει το infographic). Υπάρχει λοιπόν σ'αυτή την περίπτωση ακτίνα που να μπορεί να έχει την ζητούμενη διαστολή του χρόνου; Η απάντηση τώρα είναι ναι, και η ακτίνα αυτή είναι περίπου στο 1.00004Μ, δηλαδή απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km.

Και εδώ ερχόμαστε στο άλλο θέμα που έχει προκαλέσει συζητήσεις, τις παλιρροϊκές δυνάμεις από την μαύρη τρύπα. Οι παλιρροϊκές δυνάμεις που θα νιώθει ένα σώμα σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα ουσιαστικά έχουν σχέση με την απόκλιση δυο γειτονικών γεωδεσιακών τροχιών. Το μέγεθος που εκφράζει αυτές τις αποκλείσεις είναι ο τανυστής του Riemann. Αν μιλάγαμε για ένα αντικείμενο που θα βρισκόταν στατικό σε κάποια απόσταση από την μαύρη τρύπα (σε σταθερή ακτίνα χωρίς να περιστρέφετε γύρω της δηλαδή) τότε θα είχαμε παλίρροιες σαν αυτές που έχουμε στη Γη εξαιτίας της Σελήνης (που κινείται πολύ αργά και πρακτικά μπορεί να θεωρηθεί ακίνητη) που θα οφείλονταν στα στοιχεία του τανυστή του Riemann όπως είναι το $$\reverse\opaque R^r_{ttr}=-\frac{M (-3 a^2 + 4 M r - 2 r^2)}{r^5} $$ (το συγκεκριμένο εκφράζει την επιτάχυνση με την οποία αυξάνει η ακτινική απόσταση δυο τροχιών που έχουν μοναδιαία ακτινική απόσταση). Για την εκτίμηση όλων των συνιστωσών της παλιρροϊκής δύναμης θέλουμε ακόμα δύο στοιχεία του τανυστή του Riemann, τα οποία έχουν παρόμοια συναρτησιακή μορφή. Με λίγα λόγια, για την περίπτωσή μας, για α=Μ και r=M η παλιρροϊκή επιτάχυνση θα είναι ανάλογη του, $$\reverse\opaque \frac{d^2r}{dt^2}\propto\frac{1}{M^2}D $$, δηλαδή της διαμέτρου του αντικειμένου διαιρεμένο με το τετράγωνο της μάζας της μαύρης τρύπας. Ότι και να είναι όμως η διάμετρος του αντικειμένου/πλανήτη, σίγουρα θα είναι πολύ μικρότερη από το τετράγωνο των 147.65 εκατομμυρίων χιλιομέτρων, οπότε δεν θα είναι κάτι καταστροφικό. Το αντικείμενό μας όμως δεν είναι στατικό. Περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την μαύρη τρύπα. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε ακόμα μία συνεισφορά από διατμητικές τάσεις στο αντικείμενο. Η συνεισφορά αυτών των τάσεων θα είναι όμως της ίδιας τάξης μεγέθους, δηλαδή και πάλι $$\reverse\opaque \propto\frac{1}{M^2}D $$. Άρα, με λίγα λόγια, οι παλιρροϊκές δυνάμεις δεν περιμένουμε να προκαλέσουν κάποιο πρόβλημα, όπως ανησυχούν κάποιοι.

Αλλά, υπάρχει ένα θέμα, και αυτό είναι το ότι η τροχιά που μας ενδιαφέρει απέχει από τον ορίζοντα περίπου 5900km. Η ακτίνα της Γης είναι 6371km, οπότε αν ήταν η Γη σε εκείνη την τροχιά, θα είχε ένα μέρος της μέσα από τον ορίζοντα. Και εκεί είναι που τα πράγματα γίνονται περίεργα (How to mine energy from a black hole, Mining Energy from a Black Hole by Strings, Tensile Strength and the Mining of Black Holes).
Δεν ξέρω αν αυτό το θέμα το σχολιάζει ο Thorne.