Δευτέρα, 14 Ιανουαρίου 2013

Black Holes in the Laboratory

Την παρασκευή είχαμε ένα mini workshop με την ευκαιρία της επίσκεψης του Θωμά Σωτηρίου και της Silke Weinfurtner από τη SISSA και του Χάρη Αποστολάτου από το UOA (Workshop on Gravitational Physics).
Παρουσιάστηκαν τρεις ομιλίες. Τα θέματα ήταν,
1. Black Holes in the Laboratory (Silke Weinfurtner),
2. Testing GR by a Newtonian Problem (Χάρης Αποστολάτος),
3. Black Holes as Gravity Laboratories (Θωμάς Σωτηρίου).

Το θέμα για το οποίο μίλησε ο Θωμάς ήταν περίπου το ίδιο με αυτό που είχε παρουσιάσει στην Αθήνα το καλοκαίρι (στο link μπορεί να παρακολουθήσει κανείς την τότε ομιλία). Το θέμα που παρουσίασε ο Χάρης αφορούσε τις αναλογίες και τις ομοιότητες που παρουσιάζει ως προς την συμπεριφορά της τροχιακής δυναμικής το Νευτώνειο πρόβλημα του Euler με την τροχιακή δυναμική που έχουμε στην γεωμετρία των μελανών οπών τύπου Kerr (κάτι για το οποίο ίσως γράψω κάποια άλλη φορά, αλλά όποιος θέλει μπορεί να πάρει μια ιδέα εδώ). Το θέμα που παρουσίασε η Silke ήταν σχετικά με τα υδροδυναμικά ανάλογα των μελανών οπών και την εκπομπή ακτινοβολίας Hawking, θέμα στο οποίο είχα αναφερθεί και παλαιότερα. Παρακάτω δίνω τον τίτλο και το abstract της ομιλίας, την οποία μπορεί να παρακολουθήσει κανείς στο βίντεο που ακολουθεί:

Title: Black Holes in the Laboratory
Speaker: Silke Weinfurtner (SISSA)
Abstract: There is a mathematical analogy between the propagation of fields in a general relativistic space-time and long (shallow water) surface waves on moving water. Hawking argued that black holes emit thermal radiation via a quantum spontaneous emission. Similar arguments predict the same effect near wave horizons in fluid flow. By placing a streamlined obstacle into an open channel flow we create a region of high velocity over the obstacle that can include wave horizons. Long waves propagating upstream towards this region are blocked and converted into short (deep water) waves. This is the analogue of the stimulated emission by a white hole (the time inverse of a black hole), and our measurements of the amplitudes of the converted waves demonstrate the thermal nature of the conversion process for this system. Given the close relationship between stimulated and spontaneous emission, our findings attest to the generality of the Hawking process.




Τα αποτελέσματα της δουλειάς που παρουσιάζεται στο βίντεο μπορεί να τα βρει κανείς στην εργασία, S. Weinfurtner et al., Measurement of stimulated Hawking emission in an analogue system, Phys. Rev. Lett. 106, 021302 (2011).

Η ομιλία είναι πολύ ενδιαφέρουσα, οπότε αξίζει να την παρακολουθήσει κανείς.

Τρίτη, 1 Ιανουαρίου 2013

Περί Χρόνου (αρχή...)

Με την αλλαγή του χρόνου, βρίσκω αφορμή να γράψω για κάτι που έχω στο μυαλό μου εδώ και πολύ καιρό και αυτό είναι το θέμα του χρόνου στη Σχετικότητα ειδικά και στη φυσική γενικότερα. Το θέμα αυτό με απασχολεί εδώ και πολύ καιρό.

Την εκπομπή της ΕΤ3, «Το Σύμπαν που Αγάπησα», την γνωρίζει ο περισσότερος κόσμος. Είναι ίσως η πιο γνωστή επιστημονική σειρά ντοκιμαντέρ της Ελληνικής τηλεόρασης, με πολλούς "φανατικούς" οπαδούς, που έχει δεχθεί και βραβεία. Ιδιαιτερότητα της εκπομπής είναι ότι οι ίδιοι οι παρουσιαστές είναι μέλη της πανεπιστημιακής κοινότητας και συγκεκριμένα είναι ο αναπληρωτής καθηγητής Στράτος Θεοδοσίου και ο επίκουρος καθηγητής Μάνος Δανέζης.

Η βασική θεματολογία της εκπομπής είναι γύρω από θέματα σχετικά με την Αστροφυσική γενικά και ειδικότερα την Κοσμολογία, αλλά και τις σύγχρονες φυσικές θεωρίες όπως είναι για παράδειγμα η θεωρία της Σχετικότητας. Η εκπομπή ακόμα πραγματεύεται και ζητήματα Φιλοσοφίας και Ιστορίας της Επιστήμης. Τα τελευταία δεν θα με απασχολήσουν στο συγκεκριμένο post, αν και έχω και εκεί τους προβληματισμούς μου.

Το θέμα που θα με απασχολήσει, έχει να κάνει και με την ορθότητα της παρουσίασης μίας αρκετά βασικής επιστημονικής έννοιας τόσο συνολικά όπως την συναντάμε στη φυσική όσο και ειδικότερα όπως την συναντάμε στην Κοσμολογία. Δηλαδή θα ασχοληθώ και με την ορθότητα της παρουσίασης στα πλαίσια της εκπομπής «Το Σύμπαν που Αγάπησα», της έννοιας του χρόνου στην φυσική γενικά και στην Κοσμολογία ειδικότερα.

Ίσως θα πρέπει να επισημάνω ότι το πρόβλημα με την συγκεκριμένη εκπομπή, δεν είναι μόνο η λάθος παρουσίαση των σχετικών με τον χρόνο και την Κοσμολογία, αλλά και ένα πλήθος άλλων παρόμοιων σφαλμάτων και παρανοήσεων που οδηγούν σε διάφορα "μονοπάτια" ενώ παρουσιάζονται ως δεδομένη επιστημονική γνώση, με την "βούλα" κιόλας δύο καθηγητών Αστροφυσικής του πανεπιστημίου της Αθήνας. Φυσικά αυτό το θέμα είναι ακόμα πιο πλατύ και δύσκολο και περιλαμβάνει ένα ευρύτερο φάσμα περιπτώσεων "επιστημονικής παραπληροφόρησης" από "ειδικούς" και μη και δεν θα ασχοληθώ περισσότερο εδώ.

Ξεκινάμε λοιπόν με το θέμα του χρόνου στην Κοσμολογία. Παρακάτω παραθέτω δύο σχετικά βίντεο. Το πρώτο είναι απόσπασμα από την ίδια την εκπομπή και συγκεκριμένα ένα επεισόδιο του 3ου κύκλου, ενώ το δεύτερο είναι από μία συνέντευξη, όπου παρουσιάζεται η αντίληψη των δύο καθηγητών για τον χρόνο και την μέτρησή του, στα πλαίσια της κοσμολογίας του Big Bang. Όπως φαίνεται στο δεύτερο βίντεο, με τις απόψεις αυτές που παρουσιάζονται, μάλλον συμφωνεί και ο κ. Αγγελόπουλος, τότε πρόεδρος της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και αναπληρωτής καθηγητής του τομέα Πυρηνικής Φυσικής του πανεπιστημίου Αθηνών.

Απόσπασμα από την εκπομπή της ΕΤ3 «Το Σύμπαν που Αγάπησα», 3ος κύκλος, επεισόδιο 11 με τίτλο, «Η ιστορία του Σύμπαντος». Το απόσπασμα περιγράφει το γιατί κατά τους παρουσιαστές της εκπομπής, αναπληρωτή καθηγητή Στράτο Θεοδοσίου και επίκουρο καθηγητή Μάνο Δανέζη, ο χρόνος στην κοσμολογία δεν έχει νόημα και γιατί η έννοια της ηλικίας του Σύμπαντος είναι ένα χωρίς ουσία κατασκεύασμα. Τη θέση τους αυτή τη στηρίζουν στην υπόθεση ότι η καμπυλότητα του σύμπαντος αλλάζει ανάλογα με την πυκνότητα της ύλης μέσα του και άρα αφού αλλάζει η καμπυλότητα, αλλάζει και η διάρκεια της μονάδας του χρόνου, για παράδειγμα του ενός δευτερολέπτου. Έτσι η εκτίμηση της όποιας ηλικίας του σύμπαντος στερείται νοήματος αφού αθροίζονται δευτερόλεπτα διαφορετικής διάρκειας. Τα παραπάνω τα διατυπώνουν στα πλαίσια της κλασσικής FRW κοσμολογίας (μοντέλο Big Bang).

Η ηλικία του Σύμπαντος -- Ο Χρόνος στην κοσμολογία

Δανέζης για τον χρόνο στην Κοσμολογία


Για όποιον βαρέθηκε να δει τα βίντεο, η άποψη για τον χρόνο συνοψίζεται στην περιγραφή του 1ου βίντεο από το YouTube, που παραθέτω παραπάνω.

Ωραία. Για να απαντηθεί το θέμα που τίθεται, θα πρέπει να τα πάρουμε τα πράγματα λίγο από την αρχή. Να ξεκινήσουμε δηλαδή να συζητάμε για το τι είναι ο χρόνος και ποια η σημασία του, στα πλαίσια της ειδικής σχετικότητας αρχικά και της γενικής σχετικότητας στη συνέχεια. Το μόνο που θα χρειαστεί ως δεδομένο στην όλη συζήτηση, είναι μια βασική αίσθηση γεωμετρίας.

Τι είναι λοιπόν ο χωροχρόνος; Για έναν φυσικό (δηλαδή με άλλα λόγια, για κάποιον που θέλει να κάνει φυσική, δηλαδή να μετρήσει, να παρατηρήσει και να υπολογίσει πράγματα), ο χωροχρόνος είναι ένα σύνολο από «γεγονότα». Όπως το λέει πολύ όμορφα ο R. Geroch (“General Relativity from A to B”, Chicago Press), ένα γεγονός είναι το σκάσιμο μίας κροτίδας ή ένα χτύπημα των δαχτύλων. Ένα «γεγονός» λοιπόν είναι κάτι περιορισμένο στον χώρο και τον χρόνο, το ισοδύναμο ενός μαθηματικού σημείου. Έτσι λοιπόν ο χωροχρόνος αποτελείται από γεγονότα. Ένα πιο «φυσικό» παράδειγμα γεγονότος, είναι η σκέδαση ενός ηλεκτρονίου από ένα φωτόνιο. Η στιγμή της σκέδασης είναι ένα γεγονός. Αντιθέτως, το ίδιο το ηλεκτρόνιο, δεν είναι «γεγονός», αφού αποτελεί κάτι που έχει έκταση, αν όχι στον χώρο τουλάχιστον στον χρόνο. Και εδώ ερχόμαστε στο δεύτερο βασικό συστατικό του χωροχρόνου, τις «κοσμικές γραμμές». Κάθε σωματίδιο, αποτελεί και μία κοσμική γραμμή που εκτείνεται στον χρόνο. Για μία τέτοια κοσμική γραμμή, αν προσδιορίσουμε ένα γεγονός επάνω της, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για το «μέλλον» και το «παρελθόν» αυτού του γεγονότος, κατά μήκος της κοσμικής γραμμής. Σε αυτή τη φάση τις έννοιες «μέλλον» και «παρελθόν», τις αναφέρω κάπως αυθαίρετα, αφού δεν έχουμε μιλήσει για το τι σημαίνει ο χρόνος, πράγμα που θα κάνω παρακάτω.
Έτσι λοιπόν, τα βασικά συστατικά του χωροχρόνου είναι τα γεγονότα και οι κοσμικές γραμμές. Με αυτά τα συστατικά και μόνο μπορούμε να μιλήσουμε για χωροχρόνο, χωρίς να χρειάζεται να βάλουμε στη συζήτηση πράγματα όπως «συστήματα συντεταγμένων» και διάφορα άλλα τέτοια. Φυσικά, εμείς δεν είμαστε ικανοποιημένοι μόνο με αυτό. Το ζητούμενο, προκειμένου να κάνει κανείς φυσική, είναι να μιλήσει για την σχέση ανάμεσα σε γεγονότα, δηλαδή να μπορεί να απαντήσει σε ερωτήσεις του τύπου, «το γεγονός Α συμπίπτει με το γεγονός Β;», «το γεγονός Α συνέβη πριν το γεγονός Β;» και διάφορες άλλες τέτοιες ερωτήσεις.

Άρα, εδώ τίθεται το ζήτημα της μέτρησης. Πώς μετράμε στη σχετικότητα ότι έχει σχέση με τα γεγονότα που μας ενδιαφέρουν; Η απάντηση είναι, «μετράμε με τον απλούστερο δυνατό τρόπο, δηλαδή με ράβδους και ρολόγια». Η υλοποίηση αυτής της μετρητικής διαδικασίας είναι ο «παρατηρητής». Ο παρατηρητής, δηλαδή είναι εν γένει μια ιδανική μετρητική συσκευή, εφοδιασμένη με ρολόγια και ράβδους, με τα οποία μετρά χρόνο και αποστάσεις. Μια καλή οπτικοποίηση ενός παρατηρητή είναι αυτή που δίνουν οι Taylor και Wheeler ("Spacetime Physics", W.H.Freeman) όπου ο παρατηρητής είναι ένα πλέγμα από ράβδους και ρολόγια, όπου κάθε ράβδος έχει κάποιο συγκεκριμένο μήκος και σε κάθε κόμβο του πλέγματος υπάρχει ένα ρολόι. Έτσι σε κάθε γεγονός αποδίδουμε κάποιο χρόνο και κάποια θέση σύμφωνα με την παρακάτω διαδικασία: για κάποιο γεγονός που συμβαίνει, του αποδίδουμε τον χρόνο που καταγράφει το κοντινότερο ρολόι στο γεγονός, ενώ για την θέση, του αποδίδουμε την θέση του ίδιου ρολογιού. Ακόμα δεν έχουμε καθορίσει τι είναι αυτός ο χρόνος ή η θέση, αλλά θα το κάνουμε σύντομα. Φυσικά, ανάλογα με την ακρίβεια που θέλουμε, μπορούμε να κάνουμε τα μήκη των ράβδων οσοδήποτε μικρά, καθώς και την ακρίβεια των ρολογιών μας, έτσι ώστε να καλύπτουμε όσο πυκνά θέλουμε όλον τον χώρο και τον χρόνο. Από την παραπάνω εικόνα φαίνεται ότι σε κάθε παρατηρητή, αντιστοιχεί και ένα σύστημα αναφοράς. Η ειδική κλάση των παρατηρητών και των συστημάτων που κινούνται ελεύθερα, χωρίς να επιταχύνονται ή να ασκούνται δυνάμεις επάνω τους, ονομάζονται αδρανειακοί παρατηρητές και αδρανειακά συστήματα αντίστοιχα. Αυτά τα συστήματα όπως τα περιγράψαμε ως πλέγμα, αποτελούν ουσιαστικά και ένα τύπο συστήματος συντεταγμένων, όπου για παράδειγμα ένα γεγονός αποκτά τις συντεταγμένες θέσης, ως προς ένα σημείο αναφοράς, του πλησιέστερου ρολογιού, δηλαδή 3 ράβδους κατά μήκος του ενός άξονα, 5 ράβδους κατά μήκος του άλλου άξονα και 1 ράβδο κατά μήκους του 3ου άξονα (θέση x,y,z) ενώ έχει και την καταγραφή ενός χρόνου από το αντίστοιχο ρολόι (χρόνος t). Πριν όμως προχωρήσουμε περισσότερο στις συντεταγμένες, πρέπει να επιστρέψουμε στο τι είναι ο χρόνος που μετράνε τα ρολόγια και η απόσταση που μετράνε οι ράβδοι.



Ο χρόνος και ο χώρος, είπαμε παραπάνω, ότι μετριέται με ρολόγια και ράβδους. Υπάρχει όμως το ερώτημα, μήπως κρύβεται κάτι περισσότερο πίσω από αυτό; Η απάντηση είναι όχι. Όλη η ουσία νομίζω ότι μπορεί να αποδοθεί με την παρακάτω διατύπωση από το πολύ καλό εκλαϊκευτικό βιβλίο του Hermann Bondi, «Σχετικότητα και κοινή λογική», που έχει μεταφραστεί από τις εκδόσεις Τροχαλία, η οποία είναι:

«Χρόνος είναι αυτό που μετρά ένα ρολόι. Αυτός είναι ο σωστός τρόπος να βλέπουμε τα πράγματα. Μία ποσότητα, όπως ο χρόνος ή οποιοδήποτε άλλο φυσικό μέγεθος, δεν υπάρχει κατά τρόπο αφηρημένο. Δεν έχει κανένα νόημα να συζητάμε για κάτι παρά μόνο όταν καθορίσουμε το πώς θα το μετράμε. Ο καθορισμός της μεθόδου μέτρησής του είναι ο μόνος σίγουρος τρόπος για να αποφύγουμε τις χωρίς νόημα συζητήσεις.»

Η διατύπωση αυτή, κάνει απόλυτα σαφές τι σημαίνει χρόνος και χώρος. Χρόνος είναι αυτό που μετρά το ρολόι μου και χώρος είναι αυτό που μετρά η ράβδος μου. Το ίδιο ακριβώς πράγμα ξεκαθαρίζει και ο Einstein στην πρώτη εκείνη εργασία του 1905, «Επί της Ηλεκτροδυναμικής των Κινούμενων Σωμάτων». Συγκεκριμένα, παραθέτω από την μετάφραση του Θάνου Χριστακόπουλου, από τις εκδόσεις Τροχαλία, «Η ειδική θεωρία της Σχετικότητας (Τα πρωτότυπα άρθρα)»,

«Η θεωρία που πρόκειται να αναπτυχθεί, βασίζεται – όπως και όλη η ηλεκτροδυναμική – στην κινηματική του στερεού σώματος, από τη στιγμή που οι ισχυρισμοί οποιασδήποτε τέτοιας θεωρίας συνδέονται με τις σχέσεις μεταξύ στερεών σωμάτων (συστημάτων συντεταγμένων), ρολογιών και ηλεκτρομαγνητικών διαδικασιών.»


Η αναφορά αυτή του Einstein, εμφανίζει και τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα ως πρωταρχικής σημασίας για την θεωρία της σχετικότητας και αυτό οφείλεται στον σημαντικό ρόλο που παίζει η ταχύτητα του φωτός, ως μία σταθερά της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας (σε αυτό θα αναφερθούμε παρακάτω).

Η έμφαση που δίνεται σε αυτό το σημείο στο γεγονός ότι ο χρόνος για έναν παρατηρητή είναι αυτό που μετρά το ρολόι του (όπου φυσικά αυτό μπορεί να το δει κανείς σε οποιοδήποτε βιβλίο σχετικότητας και αν ανοίξει), έρχεται σε σαφή αντίθεση με αυτά που διατυπώνονται στα παραπάνω βίντεο ειδικά και στο σύνολο των συγκεκριμένων εκπομπών γενικά. Παρακάτω θα γίνει ακόμα πιο ξεκάθαρη η σημασία της διατύπωσης ότι «ο χρόνος ενός παρατηρητή είναι αυτός που μετράει το ρολόι του» και της καθολικότητας αυτής της πρότασης.

Ωραία, είπαμε μέχρι τώρα ότι τα θεμελιώδη συστατικά του χωροχρόνου είναι τα γεγονότα και οι κοσμικές γραμμές, όπου παράδειγμα των τελευταίων είναι τα στοιχειώδη σωματίδια όπως τα ηλεκτρόνια και τα φωτόνια, ενώ ορίσαμε και τι συνιστά μέσα στο χωροχρόνο ένας παρατηρητής, πως αυτός καθορίζει ένα σύστημα αναφοράς και ότι οι μετρήσεις σε αυτό το σύστημα γίνονται με ράβδους σταθερού μήκους και ρολόγια που εκτίνονται παντού γύρω του.

Το επόμενο ερώτημα είναι, πως ακριβώς μετράνε τα ρολόγια το χρόνο και πως ακριβώς μετράνε οι ράβδοι τα μήκη. Υπάρχει κάποιο ρολόι που να είναι καλύτερο από το άλλο; Και ποια είναι η σχέση του χρόνου που μετρά ένα ρολόι εδώ με το χρόνο που μετρά ένα ρολόι κάπου αλλού; Με άλλα λόγια, ποιος είναι ο καλύτερος φυσικός μηχανισμός για να μετρήσουμε τον χρόνο, αν υπάρχει αυτός, ή ποιος είναι ο καλύτερος φυσικός μηχανισμός για να μετρήσουμε αποστάσεις, αν υπάρχει αυτός, και τέλος, πως ακριβώς συγχρονίζουμε τα διάφορα ρολόγια μεταξύ τους. Ειδικά το τελευταίο αποτελεί και ιδιαιτέρως σημαντικό θέμα, αφού ακόμα και η απόδοση κάποιας χρονικής στιγμής σε ένα γεγονός είναι ζήτημα της σύγκρισης της στιγμής που έγινε το γεγονός με τον χρόνο που έδειξε κάποιο ρολόι, δηλαδή είναι ζήτημα συγχρονισμού.

Σε αυτό το σημείο, πρέπει να επισημάνουμε ότι η καθημερινή μας εμπειρία της μέτρησης του χρόνου με ρολόγια που μετράνε δευτερόλεπτα και της μέτρησης των αποστάσεων με χάρακες που μετράνε μέτρα, συσκοτίζει την ενότητα που υπάρχει ανάμεσα στον χώρο και τον χρόνο. Δηλαδή δημιουργεί μια φαινόμενη ποιοτική διαφοροποίηση ανάμεσα στα δύο. Το πρόβλημα αυτό έρχεται να το ξεπεράσει η μία από τις δύο αρχές της ειδικής σχετικότητας, η αρχή της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός. Και ο τρόπος που το κάνει αυτό έχει αρκετό ενδιαφέρον.

Εδώ αξίζει να αναφέρουμε την παραβολή με τις δύο σχολές τοπογράφων που παρουσιάζουν οι Taylor και Wheeler (“Spacetime Physics”, W.H.Freeman), η οποία μπορεί να μας διδάξει πολλά σημαντικά πράγματα για τις βάσεις της ειδικής σχετικότητας. Θα παραθέσω την παραβολή σε μετάφραση (σχετικά ελεύθερη):

«Μια φορά και έναν καιρό, υπήρχε ένας τοπογράφος που ανήκε στη σχολή των Τοπογράφων της Ημέρας, ο οποίος κατέγραψε όλη τη γη του Βασιλιά. Για να καθορίσει τις διευθύνσεις Βορά-Νότου και Ανατολής-Δύσης, χρησιμοποιούσε μία μαγνητική πυξίδα. Οι θέσεις μετριόνταν από το κέντρο της πλατείας της πόλης. Στην διεύθυνση Ανατολής-Δύσεις οι θέσεις μετριόνταν σε μέτρα (x σε μέτρα). Στην διεύθυνση Βορά-Νότου που ήταν «ιερή» οι θέσεις μετριόνταν σε μίλια (y σε μίλια). Η καταγραφή που είχε κάνει αυτός ο τοπογράφος ήταν πολύ ακριβής και πλήρης.

Υπήρχε και ένας άλλος τοπογράφος, που ανήκε στη σχολή των Τοπογράφων της Νύχτας, ο οποίος είχε καταγράψει και αυτός όλη τη γη του Βασιλιά. Η σχολή της Νύχτας, για να καθορίσει τις διευθύνσεις Βορά-Νότου και Ανατολής-Δύσης, χρησιμοποιούσε τον πολικό αστέρα. Ο τοπογράφος της σχολής της Νύχτας μετρούσε και εκείνος τις θέσεις στη διεύθυνση Ανατολής-Δύσης σε μέτρα και τις θέσεις στη διεύθυνση Βορά-Νότου σε μίλια (x’ σε μέτρα, y’ σε μίλια).



Κάποτε εμφανίστηκε ένας μαθητής της τοπογραφίας, που αποφάσισε να παρακολουθήσει και τις δύο σχολές. Έτσι έμαθε και την μέθοδο των Τοπογράφων της Ημέρας και την μέθοδο των Τοπογράφων της Νύχτας. Ο μαθητής, διδασκόμενος και τις δύο μεθόδους προσπαθούσε να βρει μία σχέση ανάμεσα στις καταγραφές των θέσεων ώστε να μπορέσει να συνδέσει τα αποτελέσματα μεταξύ τους. Έτσι κάποια στιγμή αποφάσισε να μετατρέψει τις μετρήσεις στην «ιερή» διεύθυνση Βορά-Νότου από μίλια σε μέτρα, πολλαπλασιάζοντας με μία σταθερά αναλογίας k. Κάνοντας αυτή τη μετατροπή, ανακάλυψε ότι η απόσταση των πυλών της πόλης από το κέντρο της πλατείας από όπου ξεκίναγαν οι μετρήσεις, δηλαδή η ποσότητα $$\reverse\opaque \sqrt{(x)^2+(ky)^2}$$, με βάση τις μετρήσεις των Τοπογράφων της Ημέρας, συνέπιπτε με την απόσταση που βασιζόταν στις μετρήσεις των Τοπογράφων της Νύχτας, $$\reverse\opaque \sqrt{(x')^2+(ky')^2}$$. Την ανακάλυψή του αυτή, ο μαθητής την ονόμασε «Αρχή του Αναλλοίωτου της Απόστασης».»


Αυτή η παραβολή μας λέει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα. Το πρώτο και σημαντικότερο ίσως, μας το λέει η αναφορά της «ιερής» διεύθυνσης Βορά-Νότου, η οποία μετριέται με άλλες μονάδες μέτρησης, δηλαδή μίλια, που σχετίζονται με μία σταθερά αναλογίας k με τις μονάδες μέτρησης στην διεύθυνση Ανατολής-Δύσης. Αυτό είναι σαφής αναφορά στον χρόνο και την μέτρησή του σε δευτερόλεπτα, ενώ η σταθερά αναλογίας αναφέρεται στην ταχύτητα του φωτός. Με δεδομένη την αρχή της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός, μπορούμε να θεωρήσουμε αυτή την ταχύτητα ως σταθερά αναλογίας ανάμεσα στον χρόνο και τον χώρο, αφού ο λόγος $$\reverse\opaque s / t$$ υποδεικνύει κάποια ταχύτητα, ενώ ο λόγος $$\reverse\opaque s / c$$ υποδεικνύει κάποιο χρόνο και από την άλλη το γινόμενο $$\reverse\opaque c t$$ υποδεικνύει κάποια απόσταση. Θεωρώντας λοιπόν την ταχύτητα του φωτός ως παγκόσμια σταθερά, μπορούμε να μετρήσουμε την απόσταση σε δευτερόλεπτα ή τον χρόνο σε μέτρα, με τον ίδιο τρόπο περίπου που στην επιφάνεια της Γης, σε κάποιο συγκεκριμένο τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή, μετράμε το βάρος μας (που είναι δύναμη) σε κιλά. Πρακτικά πως μπορούμε να το κάνουμε όμως αυτό; Δηλαδή, πως θα φτιάξω εγώ πρακτικά τα ρολόγια ή τις ράβδους που αναφέραμε παραπάνω, που αποτελούν τον παρατηρητή και το σύστημα του;

Αν βάλω ως βάση μου τις στέρεες ράβδους, τότε μπορώ να μετράω τον χρόνο μου σε μέτρα με το παρακάτω ρολόι. Βάζω δύο καθρέφτες στα άκρα μίας ράβδου, μήκους μισού μέτρου και στέλνω έναν παλμό από τον ένα καθρέφτη, προς τον άλλον. Ο παλμός θα φτάσει στον άλλον καθρέφτη, όπου θα ανακλαστεί και θα επιστρέψει στον πρώτο καθρέφτη. Κάθε φορά που αυτός ο κύκλος θα επαναλαμβάνετε, το φως θα έχει διανύσει ακόμα ένα μέτρο, άρα θα έχει περάσει χρόνος ίσος με ένα μέτρο φωτός ή $$\reverse\opaque t=\frac{1m}{c}=\frac{1}{3}\times 10^{-8}s$$. Σε κάθε «τικ», το ρολόι μας θα μετρά τόσο χρόνο.

Αντίστοιχα, μπορώ να βάλω ως βάση τον χρόνο που καταγράφει κάποιο ρολόι. Έτσι, μετρώντας τον χρόνο που κάνει ένας παλμός φωτός για να πάει μέχρι κάποιο σημείο, να ανακλαστεί και να επιστρέψει (υποτυπώδες συσκευή ραντάρ), μπορώ να υπολογίσω την απόσταση σε δευτερόλεπτα ή αλλιώς για δύο δευτερόλεπτα που θα κάνει το φως να πάει και να έρθει, η απόσταση θα είναι $$\reverse\opaque x = c \times 1s =3\times 10^{8}m$$. Φυσικά, αυτή η απόσταση είναι τεράστια. Αυτός είναι και ο τρόπος που μετράμε αποστάσεις στην Αστρονομία, όπου οι συμβατικές μονάδες είναι πολύ μικρές. Έτσι, εκεί έχουμε το έτος φωτός. Φυσικά μπορούμε να μικρύνουμε όσο χρειάζεται την μονάδα μέτρησης του χρόνου, ώστε να μπορούμε να μετρήσουμε και μικρότερες αποστάσεις.

Από τα παραπάνω, φαίνεται ότι το αξίωμα της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός μας δίνεις την δυνατότητα να αντιμετωπίσουμε με τον ίδιο τρόπο και τον χώρο και τον χρόνο.

Κάποιος όμως και πάλι θα μπορούσε να επιμείνει στο ερώτημα του πως είμαστε σίγουροι ότι όλα τα ρολόγια, θα κρατάνε τον ίδιο ρυθμό όπου και να τα βάλουμε ή πως είμαστε σίγουροι ότι όλες οι ράβδοι θα έχουν το ίδιο μήκος όπου και να τις βάλουμε; Αρχικά, πρέπει να πούμε ότι μιλάμε για «ιδανικά ρολόγια» και «ιδανικές ράβδους» (ιδανικά στερεά σώματα δηλαδή). Ακριβώς ιδανικό ρολόι και ράβδος δεν υπάρχει στην φύση, αλλά μπορούμε να το προσεγγίσουμε σχεδόν όσο καλά θέλουμε. Για παράδειγμα, αρχικά τον χρόνο σε μεγάλη κλίμακα τον μετράγαμε με την αλλαγή των εποχών και σε μικρότερη κλίμακα με την αλλαγή της θέσης του Ήλιου. Αυτό ήταν ένα καλό ρολόι για τις τότε απαιτήσεις. Αργότερα, μετράγαμε το χρόνο με κλεψύδρες και κεριά για μεγαλύτερη ακρίβεια. Από την εποχή του Γαλιλαίου, μετράμε τον χρόνο με εκκρεμή, που έχουν την ικανότητα να κρατάνε με σχετικά καλή ακρίβεια την περίοδό τους σταθερή. Σήμερα, πετυχαίνουμε, σε εμπορικές χρήσεις, πολύ καλή ακρίβεια στη μέτρηση του χρόνου, μετρώντας τις ταλαντώσεις ενός κρύσταλλου χαλαζία, ενώ για ακόμα μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιούνται τα ατομικά ρολόγια των οποίων η λειτουργία στηρίζεται στην μέτρηση της συχνότητας της μικροκυματικής ακτινοβολίας που εκπέμπουν ή απορροφούν κάποια άτομα Κεσίου κατά την αποδιέγερση ή την διέγερσή τους. Έτσι ουσιαστικά, επιλέγοντας το κατάλληλο φυσικό σύστημα, μπορούμε να αυξήσουμε μέχρι το επιθυμητό επίπεδο την ακρίβεια της μέτρησης του χρόνου, μετρώντας τις «ταλαντώσεις» του αντίστοιχου συστήματος. Εδώ βλέπουμε ουσιαστικά ότι και πάλι το φως και συγκεκριμένα η συχνότητά του αποτελεί ένα μέτρο για την μέτρηση του χρόνου (δεδομένης της σταθερότητας της ταχύτητάς του στο κενό). Κάτι ανάλογο ισχύει και για τα μήκη των ράβδων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, όπου και αυτά εξαρτώνται από τις ταλαντώσεις των ατόμων που αποτελούν κάποιο στερεό σώμα και είναι διατεταγμένα σε κάποιο πλέγμα. Έτσι, μία από τις πρώτες συμβάσεις για την μέτρηση του μήκους ήταν η χρήση πρότυπων ράβδων κατασκευασμένων από υλικό που είχε την ικανότητα να μην αλλάζει πολύ το μήκος του με την αλλαγή της θερμοκρασίας. Αργότερα και αυτό το πρότυπο αντικαταστάθηκε από ένα πρότυπο βασισμένο στο μήκος κύματος της ακτινοβολίας μίας φασματικής γραμμής που εκπέμπει το άτομο του Κρυπτού. Δηλαδή και πάλι μετράμε τα μήκη με την βοήθεια του φωτός μέσω κάποιας ενεργειακής μετάβασης ενός ατόμου. Έτσι το μόνο που μας μένει για να έχουμε πανομοιότυπες «ράβδους» και «ρολόγια» είναι να χρησιμοποιήσουμε τα αντίστοιχα άτομα ως πρότυπα. Ναι, αλλά αυτά τα άτομα θα μας δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα στην μέτρηση του χώρου και του χρόνου όπου και να τα τοποθετήσουμε; Η απάντηση είναι, ναι. Αυτό μας το εξασφαλίζει η δεύτερη βασική αρχή της θεωρίας της σχετικότητας, η αρχή της αναλλοιώτητας των φυσικών νόμων, δηλαδή η αρχή που λέει ότι οι φυσικοί νόμοι πρέπει να είναι η ίδιοι παντού και να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα για ένα πείραμα, οπουδήποτε ή οποτεδήποτε και αν αυτό πραγματοποιηθεί.

Έτσι, οι δύο βασικές αρχές της θεωρίας της σχετικότητας, μας επιτρέπουν να μετράμε τα μήκη και τους χρόνους παντού μέσα στο σύστημά μας, δηλαδή με λίγα λόγια μας επιτρέπουν την κατασκευή αυτού του πράγματος που είπαμε ιδανικό παρατηρητή.

Και τώρα ερχόμαστε στο άλλο μεγάλο θέμα που αφορά το πώς μετράμε οπουδήποτε μέσα στο σύστημά μας. Έστω ότι έχουμε απλώσει τα ρολόγια μας και τις ράβδους μας σε όλο το χώρο. Θα πρέπει να ρυθμίσω τα ρολόγια που έχω τοποθετήσει, έτσι ώστε να δείχνουν τον «σωστό» χρόνο, δηλαδή θα πρέπει να συγχρονίσω όλα τα ρολόγια μεταξύ τους. Και πάλι, ο συγχρονισμός των ρολογιών γίνεται με την βοήθεια του φωτός. Έστω ότι έχουμε το δικό μας ρολόι και ένα ρολόι σε κάποια απόσταση από εμάς που βρισκόμαστε στο κέντρο του συστήματος (στο κέντρο των αξόνων x,y,z). Στέλνουμε έναν παλμό φωτός προς το άλλο ρολόι την στιγμή $$\reverse\opaque t_1=t_0-\Delta t$$. Αν ο παλμός αυτός ανακλαστεί και φτάσει πίσω σε εμάς την στιγμή $$\reverse\opaque t_2=t_0+\Delta t$$, τότε λέμε ότι την στιγμή που ανακλάστηκε ο παλμός στο άλλο ρολόι, αυτό θα πρέπει να δείχνει χρόνο $$\reverse\opaque t_0$$ προκειμένου τα δύο ρολόγια να είναι συγχρονισμένα. Έτσι, εφαρμόζοντας μία τέτοια διαδικασία σε κάθε απομακρυσμένο ρολόι, μπορούμε να συγχρονίσουμε όλα τα ρολόγια στο σύστημα αναφοράς μας. Η διαδικασία του συγχρονισμού βασίζεται και αυτή στο γεγονός ότι η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή και άρα ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να πάει και να έρθει προς και από το άλλο ρολόι που είναι ακίνητο σε κάποια απόσταση από εμάς είναι σταθερός. Έτσι η στιγμή της ανάκλασης είναι στη μέση αυτού του χρονικού διαστήματος. Εδώ μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί, γιατί επιλέγουμε αυτή τη διαδικασία συγχρονισμού και δεν στέλνουμε για παράδειγμα κάποιο τρίτο ρολόι από εδώ εκεί ώστε να συγχρονιστούν τα δύο απομακρυσμένα ρολόγια; Η απάντηση είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα αποτελέσματα της θεωρίας της σχετικότητας. Ο χρόνος που μετρά ένα ρολόι εξαρτάται από την διαδρομή που ακολουθεί [1,2].

Αυτό μας φέρνει πίσω στην παραβολή με τους τοπογράφους και στην «Αρχή του Αναλλοίωτου της Απόστασης». Μέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει την αρχή της σταθερότητας της ταχύτητας του φωτός για να φέρουμε στην ίδια βάση τον χώρο και τον χρόνο και για να συγχρονίσουμε τα ρολόγια ενός αδρανειακού παρατηρητή, ενώ έχουμε χρησιμοποιήσει την αναλλοιώτητα των φυσικών νόμων για να εξασφαλίσουμε ότι μπορούμε πάντα και παντού να κάνουμε τις μετρήσεις του χρόνου και του μήκους που χρειαζόμαστε. Η ιδέα του αναλλοίωτου της χωχροχρονικής απόστασης μας δίνει τώρα τη δυνατότητα να συγκρίνουμε τις μετρήσεις που πραγματοποιούν διαφορετικοί παρατηρητές σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα, αλλά ακόμα μας δίνει και την δυνατότητα να ορίσουμε τον χρόνο με απόλυτο τρόπο.

Η «Αρχή του Αναλλοίωτου της Απόστασης», όπως την περιγράψαμε στην παραβολή των τοπογράφων, ισχύει και για τα χωροχρονικά μήκη στην ειδική σχετικότητα, όπου αυτή τη φορά έχουμε το χωροχρονικό μέτρο $$\reverse\opaque ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$ να είναι αναλλοίωτο. Αν έχουμε μια κοσμική γραμμή στον χωροχρόνο, μπορούμε τότε να μετρήσουμε το αναλλοίωτο χωροχρονικό μήκος της χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση. Το αποτέλεσμα αυτού του υπολογισμού θα είναι μια γεωμετρική ποσότητα την οποία οποιοσδήποτε παρατηρητής και να την μετρήσει θα την βρει να είναι η ίδια. Χρησιμοποιώντας αυτή την αναλλοιώτητα ανάμεσα στην μέτρηση τέτοιων μεγεθών από διαφορετικούς παρατηρητές, μπορεί να οδηγηθεί κανείς στους μετασχηματισμούς του Lorentz που συνδέουν τις μετρήσεις μεγεθών σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα. Το πιο ενδιαφέρον όμως είναι η ίδια η αναλλοιώτητα αυτή. Γενικά τα αναλλοίωτα μεγέθη έχουν μεγάλη σημασία στη σχετικότητα και είναι αυτά τα μεγέθη που μας επιτρέπουν ουσιαστικά να κάνουμε φυσική. Ας επιστρέψουμε στο μήκος της κοσμικής γραμμής. Έστω ότι αυτή η κοσμική γραμμή είναι η κοσμική γραμμή ενός αδρανειακού παρατηρητή. Εγώ μετράω κάποιο μήκος $$\reverse\opaque \Delta s^2$$ στο αδρανειακό σύστημά μου, σύμφωνα με το μέτρο που έχουμε αναφέρει παραπάνω. Τι μετράει όμως ο άλλος αδρανειακός παρατηρητής; Στο δικό του σύστημα το στοιχειώδες μήκος που θα μετρά δεν μπορεί να είναι άλλο από το $$\reverse\opaque \Delta s^2=-c^2\Delta\tau^2$$, όπου "τ" είναι ο δικός του χρόνος, ο ιδιόχρονός του (ο ίδιος ο αδρανειακός παρατηρητής είναι στο κέντρο του συστήματός του και δεν κουνιέται από εκεί). Και αυτό μας οδηγεί σε μια καταπληκτική διαπίστωση. Ο χρόνος που μετρά ένας παρατηρητής είναι το αναλλοίωτο μήκος της κοσμικής γραμμής που διανύει. Ο ιδιόχρονος λοιπόν ενός παρατηρητή είναι το αναλλοίωτο μήκος της κοσμικής γραμμής του. Αυτή η διαπίστωση οδηγεί καταρχήν στο παραπάνω συμπέρασμα, ότι δηλαδή "ο χρόνος που μετρά ένα ρολόι εξαρτάται από την διαδρομή που ακολουθεί", και κατά δεύτερο στο ότι υπάρχει μια αναλλοίωτη έννοια του χρόνου, αυτή που σχετίζεται με τον ιδιόχρονο [1,2].

Αυτά είναι βασικά πράγματα που μαθαίνει κανείς σε ένα εισαγωγικό μάθημα ειδικής σχετικότητας. Αυτή λοιπόν η βασική έννοια του αναλλοίωτου στοιχειώδους μήκους και της σχέσης του με τον ιδιόχρονο, επεκτείνεται και στην θεωρία της γενικής σχετικότητας. Φυσικά, τα πράγματα στην γενική σχετικότητα είναι πιο περίπλοκα (για τις ιδιαιτερότητες και τις διαφορές ανάμεσα στην ειδική και στην γενική σχετικότητα μπορεί να δει κανείς την κουβέντα στα 1, 2, 3 και 4), αλλά τα πράγματα για τις συγκεκριμένες γεωμετρικές έννοιες δεν διαφοροποιούνται σε σχέση με αυτά που είπαμε εδώ. Κάποιος θα μπορούσε να αναρωτηθεί ακόμα, τι μπορεί να συμβαίνει με την εισαγωγή της κβαντομηχανικής στο παιχνίδι και αν αλλάζουν τότε τα πράγματα. Αλλά και πάλι, η εικόνα που έχουμε σχηματίσει μέχρι εδώ δεν αλλάζει σε ότι αφορά την μέχρι τώρα γνωστή φυσική, αφού και στην περίπτωση κβαντικών συστημάτων, η θεωρία που τα περιγράφει είναι η κβαντική θεωρία πεδίου, η οποία χρησιμοποιεί τον χωροχρόνο της ειδικής σχετικότητας για να περιγράψει την εξέλιξη των συστημάτων. Έτσι, χωρίς να μπω σε λεπτομέρειες, ένα κβαντικό σύστημα (ένα ηλεκτρόνιο για παράδειγμα) περιγράφεται από μία κυματοσυνάρτηση η οποία όμως εξελίσσεται με βάση τον ιδιόχρονο που σχετίζεται με αυτό το σύστημα [2]. Με λίγα λόγια, για την μέχρι τώρα διατυπωμένη φυσική, οι παραπάνω έννοιες είναι γενικές και εφαρμόζονται παντού.

Στο σημείο αυτό θα σταματήσω για τώρα. Μέχρι εδώ μιλήσαμε για τον χρόνο στην ειδική σχετικότητα, αλλά μας μένει ακόμα να μιλήσουμε πιο αναλυτικά για τον χρόνο στη γενική σχετικότητα και στην κοσμολογία. Στη γενική σχετικότητα θα δούμε πως η καμπύλωση του χωροχρόνου αλλάζει ποσοτικά τα πράγματα, αλλά όχι ποιοτικά. Θα συζητήσουμε κάποια φαινομενικά παράδοξα και προβλήματα με τον χρόνο και πως αυτά λύνονται. Όλα αυτά τελικά θα μας οδηγήσουν στην έννοια ενός καθολικού χρόνου στην κοσμολογία και το καθαρό και αναλλοίωτο νόημα του ως το χωροχρονικό μήκος των παρατηρητών που βρίσκονται σε ηρεμία μέσα στο σύμπαν, δηλαδή των παρατηρητών που είναι τοπικά ακίνητοι και τους συμπαρασύρει η διαστολή του σύμπαντος.

(to be continued...)

-----------------------
Update: Αξίζει να προσθέσω δύο αναφορές σχετικές με την συζήτηση. Είναι δύο εργασίες στο περιοδικό Science στις οποίες παρουσιάζεται η πειραματική επιβεβαίωση όσων αναφέρονται παραπάνω.

[1] Chou et al., Optical Clocks and Relativity, 2010 Science 329 1630-1633.

[2] Shau-Yu Lan1 et al., A Clock Directly Linking Time to a Particle's Mass, 2013 Science (early view)