Τρίτη, 11 Σεπτεμβρίου 2012

Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (πρελούδιο)

---- Υπάρχει και ένα μικρό update (15/9) με σημειώσεις σχετικότητας στα Ελληνικά, το οποίο αναγκαστικά προσθέτω τώρα, γιατί πιο πριν υπήρχε πρόβλημα με τις σχετικές σελίδες και δεν μπορούσα να βρω το υλικό. ----

Μπορεί αυτή η ανάρτηση να είναι η τελευταία της σειράς, αλλά επί της ουσίας είναι η πρώτη, αφού θα δώσω εδώ το motivation για τις προηγούμενες αναρτήσεις σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας καθώς και κάποιες αναφορές και links για υλικό που θα ήταν χρήσιμο για την μελέτη του αντικειμένου.

Ας ξεκινήσω λοιπόν με το motivation. Προφανώς, ο λόγος που μετέφρασα το κείμενο του Wald δεν είναι το ότι θα ήθελα να προτείνω από εδώ στον οποιονδήποτε θα ήθελε να διδάξει ένα πανεπιστημιακό μάθημα γενικής σχετικότητας, μια μεθοδολογία διδασκαλίας. Κάτι τέτοιο νομίζω ότι δεν θα είχε και πολύ νόημα. Σίγουρα, αν ήταν να προτείνω σε κάποιον μια ενδεικτική δομή για έναν τέτοιο μάθημα, κάτι τέτοιο θα του πρότεινα αφού είναι πολύ κοντά στη δικιά μου λογική, αλλά δεν είναι αυτός ο στόχος.
Τα προηγούμενα απευθύνονται στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να μελετήσουν το αντικείμενο και η πρόθεσή μου είναι να υποδείξω έναν μπούσουλα που θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει κανείς προκειμένου να κάνει μια στοχευμένη μελέτη του αντικειμένου της γενικής σχετικότητας, δίνοντας βάρος στα θέματα που είναι πραγματικά σημαντικά για την εμπέδωση του αντικειμένου. Μέσα από την προηγούμενη παρουσίαση, μπορεί να προγραμματίσει κανείς το πως και το τι θα πρέπει να μελετήσει, έστω και μόνος του (πράγμα το οποίο είναι ο κανόνας πρακτικά για τα περισσότερα φυσικά εκτός ίσως από της Θεσσαλονίκης). Το να ξέρεις πως να οργανώσεις την μελέτη σου και που να ρίξεις το βάρος είναι τόσο σημαντικό, ίσως και περισσότερο, όσο σημαντικό είναι και το να έχεις ένα καλό σύγγραμα.

Με λίγα λόγια λοιπόν, αν και οι προηγούμενες αναρτήσεις (α, β, γ) περιγράφουν το πως πρέπει κανείς να διδάξει τη γενική σχετικότητα, είναι ταυτόχρονα και ένα χρήσιμο εργαλείο για το πως μπορεί κανείς να μάθει μόνος του σχετικότητα και ελπίζω κάποιοι φοιτητές να το βρουν χρήσιμο.

Σχετικά τώρα με την βιβλιογραφία, οι αναφορές που δίνονται στο μέρος γ είναι εξαιρετικές, όπως πολύ καλές είναι και οι on-line διαλέξεις, για τις οποίες έχω δώσει τα links.
Εδώ θα συμπληρώσω τις αναφορές αυτές με κάποια links προς on-line σημειώσεις και άλλες on-line πηγές.

Για αρχή, το βιβλίο Relativity: The Special and the General Theory, του A. Einstein, μπορεί να το βρει κανείς ολόκληρο σε αυτή τη σελίδα. Όποιος ενδιαφέρεται μπορεί να κοιτάξει και τις πρωτότυπες εργασίες του Einstein, ON THE ELECTRODYNAMICS OF MOVING BODIES και DOES THE INERTIA OF A BODY DEPEND UPON ITS ENERGY-CONTENT? οι οποίες έχουν ενδιαφέρον.

Το βιβλίο Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, των E.F. Taylor και J.A. Wheeler, έχει μια σελίδα αφιερωμένη σ' αυτό με χρήσιμο υλικό. Εκεί μπορεί να βρει κανείς αντίστοιχες σελίδες και για άλλα ενδιαφέροντα βιβλία του Taylor, όπως αυτό της ειδικής σχετικότητας που είναι και αυτό καταπληκτικό. Από τον Taylor και το MIT είναι και οι on-line διαλέξεις Exploring Black Holes: General Relativity & Astrophysics (Edmund Bertschinger και Edwin F. Taylor, homepage του μαθήματος).

Ομοίως έχει αφιερωμένη σελίδα και το βιβλίο Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity του J.B. Hartle, όπου μπορεί να βρει κανείς τη σελίδα του συγγραφέα με αρκετό χρήσιμο υλικό (όπως είναι διάφορα αρχεία του mathematica με υπολογισμούς και συμπληρωματικό υλικό σε διάφορα κεφάλαια). Εκεί υπάρχει και το πως μπορεί να φτιάξει κανείς ένα πλάνο μαθήματος με βάση το βιβλίο και ακολουθώντας την προσέγγιση "Physics first!", η οποία παρουσιάζεται και στο άρθρο, General Relativity in the Undergraduate Physics Curriculum.

(update) Στο σημείο αυτό να προσθέσω και τη σελίδα του μαθήματος του Κώστα Κόκκοτα στο ΑΠΘ, όπου μπορεί να βρει κανείς προτεινόμενη βιβλιογραφία και σημειώσεις γενικής σχετικότητας στα Ελληνικά (και ασκήσεις). Αξίζει να κοιτάξει κανείς και τη σελίδα του Κώστα, όπου κάτω από την ενότητα "Διδασκαλία" θα βρει links για τα διάφορα μαθήματα που διδάσκει, όπου υπάρχουν και οι σχετικές σημειώσεις.

Στο arXiv μπορεί να βρει κανείς τις σημειώσεις του Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity, οι οποίες αποτελούν ουσιαστικά την βάση του βιβλίου Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Εκτός από αυτές τις σημειώσεις μπορεί να δει κανείς και κάποιες επιπλέον πηγές από τον Carroll σε αυτή τη σελίδα, όπου υπάρχουν και οι διαλέξεις χωρισμένες ανά κεφάλαιο, καθώς και χρήσιμα links (όπως το link για τη διαφορική γεωμετρία).

Ακόμα μπορεί να κοιτάξει κανείς και τις σημειώσεις πάνω στη γενική σχετικότητα, Lectures on General Relativity 2012, του G. 't Hooft.

Στη σελίδα του George F. R. Ellis, μπορεί να βρει κανείς και κάποιες δικές του σημειώσεις σχετικότητας, καθώς και πολύ ακόμα ενδιαφέρον υλικό για διάφορα θέματα και πέρα από την σχετικότητα και τη βαρύτητα (ο Ellis, εκτός από τα πολύ καλά συγγράμματα σχετικότητας που έχει συγγράψει και αναφέρονται στην βιβλιογραφία στο μέρος γ, έχει ερευνητικό έργο σε σύγχρονους τομείς της θεωρητικής φυσικής, καθώς και στην φιλοσοφία της φυσικής και ειδικότερα στη φύση του χωροχρόνου και ειδικότερα του χρόνου, όπου τελευταία ανέβασε ένα αρκετά ενδιαφέρον άρθρο στο arXiv με τίτλο, Space time and the passage of time, όπου μπορεί να δει κανείς πως αναλύει αυτά τα θέματα κάποιος ο οποίος ξέρει για τι πράγμα μιλάει και δεν αμπελοφιλοσοφεί σαν κάποιους άλλους των οποίων οι αισθήσεις πλανώνται).

Στο μέρος γ αναφέραμε και τις διαλέξεις στο PI του Eric Poisson, Advanced General Relativity (που θα μπορούσε να κοιτάξει κανείς σε συνδυασμό με τις διαλέξεις του Neil Turok). Οι διαλέξεις αυτές βασίζονται σε σχετικό σύγγραμα του Poisson, το οποίο μπορεί να βρει κανείς στη σελίδα του (μαζί με σημειώσεις και για άλλα μαθήματα) και συγκεκριμένα σε αυτό το λινκ. Τόσο οι on-line διαλέξεις όσο και οι σημειώσεις του Poisson, αποτελούν εξαιρετικό υλικό.

Συμπληρωματικά στα παραπάνω, αναφέρω και τις σημειώσεις:
Black Holes του Townsend,
Gravitational Waves and Black Holes: an Introduction to General Relativity του van Holten,
Selected solutions of Einstein's field equations: their role in general relativity and astrophysics του Jiri Bicak,
3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity του Eric Gourgoulhon.
Φυσικά υπάρχει πολύ υλικό ακόμα στο διαδίκτυο το οποίο μπορεί να χρησιμοποιήσει κανείς, όπως είναι για παράδειγμα οι διαλέξεις του Leonard Susskind στο Stanford University, Modern Physics: Special Relativity και Modern Physics: Einstein's Theory, αλλά θέλει προσοχή στις πηγές που εμπιστεύεται κανείς, αφού υπάρχει και πολύ σαβούρα.

Θα κλείσω με κάποιες αναφορές στην πειραματική επαλήθευση της θεωρίας της σχετικότητας, αφού θεωρώ ότι η παρουσίαση αυτών των δεδομένων θα πρέπει να είναι ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της θεμελίωσης και της τεκμηρίωσης της θεωρίας για κάποιον φοιτητή. Είναι σημαντικό να ξέρει κανείς γενικά σε ότι αφορά τη φυσική το τι ακριβώς γνωρίζουμε και πόσο καλά το γνωρίζουμε και ποια είναι η επαφή της κάθε θεωρίας με τα πειραματικά και παρατηρησιακά δεδομένα, αφού η φυσική είναι σε τελική ανάλυση μια πειραματική επιστήμη που ενδιαφέρεται για την επαφή με τον φυσικό κόσμο.

Στο μέρος γ γίνεται αναφορά στο βιβλίο Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test του C.M. Will. Το βιβλίο αυτό είναι μια εκλαϊκευμένη παρουσίαση της ιστορίας και των πειραματικών δεδομένων γύρω από την γενική σχετικότητα. Το βιβλίο αυτό υπάρχει και στα Ελληνικά από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης και το προτείνω ανεπιφύλακτα. Το βιβλίο αυτό ουσιαστικά αποτελεί την εκλαΐκευση του συγγράμματος Theory and Experiment in Gravitational Physics του ιδίου από τις εκδόσεις Cambridge University Press, το οποίο είναι αρκετά προχωρημένου επιπέδου. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο συγκεκριμένο βιβλίο μπορεί να τα βρει κανείς και στις διαλέξεις, The Confrontation between General Relativity and Experiment: A 1998 Update ή στην πιο πρόσφατη και ενημερωμένη εκδοχή του άρθρου στο Living Reviews in Relativity, The Confrontation between General Relativity and Experiment. Το Living Reviews in Relativity είναι εξαιρετική πηγή, όπου μπορεί να βρει κανείς πολύ χρήσιμο υλικό για όλα τα θέματα που αφορούν τη σχετικότητα. Συγκεκριμένα σε ότι αφορά την πειραματική επαλήθευση της σχετικότητας υπάρχουν ακόμα τα άρθρα: Tests of Gravity Using Lunar Laser Ranging, Testing General Relativity with Pulsar Timing και Relativity in the Global Positioning System, τα οποία θεωρώ πολύ ενδιαφέροντα. Εκεί μπορεί να βρει κανείς και το άρθρο για το Pioneer Anomaly στο οποίο έχω αναφερθεί και παλαιότερα στο blog, καθώς και αρκετά άλλα πολύ ενδιαφέροντα άρθρα. Δυστυχώς, σε ότι αφορά το GPS υπάρχει αρκετή σύγχυση, αφού υπάρχουν και οι πολέμιοι της σχετικότητας που εναντιώνονται στην όποια σχέση του με την θεωρία (αφού κάτι τέτοιο θα την έβαζα στα πλαίσια του πρακτικά χρήσιμου και θα ξέφευγε από το εντελώς θεωρητικό και απόμακρο) και συνήθως επικαλούνται το άρθρο, GPS AND RELATIVITY: AN ENGINEERING OVERVIEW, το οποίο πιστεύουν ότι αποδεικνύει ότι η σχετικότητα δεν παίζει κανένα ρόλο στο GPS (ίσως να πιστεύουν και ότι την βγάζει λάθος το συγκεκριμένο). Ο καθένας φυσικά μπορεί να διαβάσει τι λέει και να κρίνει και να το αντιπαραβάλει και με το σχετικό άρθρο από το Living Reviews.
Στις γενικές αναφορές πάνω στην πειραματική επαλήθευση της σχετικότητας, μπορούμε να βάλουμε ακόμα το άρθρο Experimental Tests of General Relativity: Recent Progress and Future Directions του Turyshev (ο οποίος είναι μέσα και στην πρόσφατη δουλειά για το Pioneer Anomaly), το άρθρο Planetary ephemerides and gravity tests in the solar system που είναι κάπως πιο πρόσφατο, το επετειακό άρθρο του Will, Was Einstein Right? Testing Relativity at the Centenary, και μπορούμε να κλείσουμε με το Resource Letter του Will, Resource Letter PTG-1: Precision Tests of Gravity, το οποίο είναι και αυτό γεμάτο αναφορές. Φυσικά σε πολλά από τα παραπάνω υπάρχει αρκετή αλληλοεπικάλυψη, αλλά αυτό που αξίζει να δει κανείς είναι το πως ενημερώνονται τα δεδομένα με τον χρόνο και τις σχετικές αναφορές με τις νέες μετρήσεις (για παράδειγμα έχει ενδιαφέρον η εξέλιξη της ιστορίας με το τετράπολο του Ήλιου και τη μετάπτωση στο περιήλιο του Ερμή).
Ένα τελευταίο κομμάτι σχετικά με την επαλήθευση της γενικής σχετικότητας αφορά το καθαρά σχετικιστικό φαινόμενο του frame-dragging. Πάνω σ' αυτό το θέμα μπορεί να κοιτάξει κανείς τις παρακάτω αναφορές:
Test of general relativity: 1995-2002 measurement of frame-dragging,
Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test General Relativity,
Finally, results from Gravity Probe-B,
Accurate Measurement in the Field of the Earth of the General-Relativistic Precession of the LAGEOS II Pericenter and New Constraints on Non-Newtonian Gravity.

Τέλος, για λόγους πληρότητας, αξίζει να αναφέρουμε και μερικά links σχετικά με την πειραματική επαλήθευση της ειδικής σχετικότητας. Μια πολύ καλή παρουσίαση και αρκετά μεγάλη συλλογή από αναφορές πάνω στο θέμα, υπάρχει στη σελίδα, What is the experimental basis of Special Relativity?, την οποία προτείνω να κοιτάξει κανείς διεξοδικά. Σε αυτό το πλαίσιο είναι και το άρθρο από το Living Reviews, Modern Tests of Lorentz Invariance. Τέλος, μπορεί να κοιτάξει κανείς το επετειακό και πάλι άρθρο του Will, Special Relativity: A Centenary Perspective, όπου κάνει μια συνολική παρουσίαση της σημερινής κατάστασης. Από το άρθρο αυτό θέλω απλά να παραθέσω μερικές γραμμές και να κλείσω:
On the 100th anniversary of special relativity, we see that the theory has been so thoroughly integrated into the fabric of modern physics that its validity is rarely challenged, except by cranks and crackpots. It is ironic then, that during the past several years, a vigorous theoretical and experimental effort has been launched, on an international scale, to find violations of special relativity. The motivation for this effort is not a desire to repudiate Einstein, but to look for evidence of new physics “beyond” Einstein, such as apparent violations of Lorentz invariance that might result from certain models of quantum gravity. So far, special relativity has passed all these new high-precision tests, but the possibility of detecting a signature of quantum gravity, stringiness, or extra dimensions will keep this effort alive for some time to come.

Η φυσική είναι πειραματική επιστήμη που ψάχνει την επαφή με την φυσική πραγματικότητα. Κανένας δεν ξέρει καλύτερα τους περιορισμούς των φυσικών θεωριών από τους ίδιους τους φυσικούς (ή τουλάχιστον έτσι θα έπρεπε να είναι), οι οποίοι ψάχνουν συνεχώς να ελέγξουν και να επεκτείνουν τις θεωρίες τους. Δεν υπάρχουν και δεν πρέπει να υπάρχουν δόγματα στην επιστήμη. Αυτή η κουλτούρα λοιπόν θα πρέπει να περνάει στους φοιτητές και η επαφή με τις βάσεις και τα πειράματα μιας θεωρίας θα πρέπει να είναι ένα σημαντικό κομμάτι της διδασκαλίας.

Καλή μελέτη.


--------------------------
Update (13/2/15): Να αναφέρω εδώ και κάτι που έμαθα πρόσφατα και αξίζει να προστεθεί στην βιβλιογραφία για την μελέτη της Σχετικότητας. Οι εκδόσεις του Princeton University έχουν βάλει πια online το πολύ καλό βιβλίο ασκήσεων, "Problem Book in Relativity and Gravitation" (Lightman, Press, Price, & Teukolsky). Ακολουθώντας τον προηγούμενο σύνδεσμο μπορεί να έχει κανείς απευθείας online πρόσβαση στο βιβλίο.

Τετάρτη, 5 Σεπτεμβρίου 2012

Διδάσκοντας Γενική Σχετικότητα (μέρος γ)

(...συνέχεια από το προηγούμενο)

Και προχωράμε στο τρίτο και τελευταίο κομμάτι της μετάφρασης του άρθρου του Robert Wald σχετικά με τη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας. Αυτό το κομμάτι αφορά την διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό και μεταπτυχιακό επίπεδο.


4. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε προπτυχιακό επίπεδο
Ευτυχώς, δεν υπάρχουν ιδιαίτερα προαπαιτούμενα μαθήματα για ένα προπτυχιακό μάθημα γενικής σχετικότητας. Φυσικά είναι απαραίτητο οι φοιτητές να έχουν κάποια επαφή με την ειδική σχετικότητα, γιατί διαφορετικά τα εννοιολογικά εμπόδια που θα πρέπει να ξεπεράσουν ίσως είναι πολύ μεγάλα για κάποιον που δεν έχει καμία επαφή με το αντικείμενο. Παρόλα αυτά, θα ήταν αρκετή η επαφή και μόνο που έχει κανείς με την ειδική σχετικότητα στα πλαίσια ενός μαθήματος βασικής φυσικής του 1ου έτους. Είναι σημαντικό οι φοιτητές να έχουν διδαχτεί κλασική μηχανική και να έχουν επαφή με τις γενικευμένες συντεταγμένες και τον φορμαλισμό και τις μεταβολές των Euler-Lagrange. Θα ήταν ακόμα χρήσιμο (αν και όχι απαραίτητο) να έχουν διδαχτεί οι φοιτητές ηλεκτρομαγνητισμό, αφού κανείς θα πρέπει να έχει πρώτα κατανοήσει το τι είναι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα πριν προσπαθήσει να καταλάβει το τι είναι το βαρυτικό κύμα.
Η διδασκαλία της γενικής σχετικότητας σε προπτυχιακό επίπεδο κρύβει πολλές προκλήσεις, ειδικά αν το μάθημα έχει διάρκεια ενός εξαμήνου. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα δεν υπάρχει αρκετός χρόνος για να εισαχθούν σωστά τα απαραίτητα μαθηματικά που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Ακόμα και σε ένα ετήσιο μάθημα, δεν θα ήταν καλή ιδέα να προσπαθήσει κανείς να φορτώσει την πρώτη φάση του μαθήματος με όλο αυτό το υλικό από τα μαθηματικά, αφού αν το έκανε κανείς θα κατέληγε με μια τάξη σχεδόν χωρίς φοιτητές την στιγμή που θα έφτανε στις ενδιαφέρουσες φυσικές εφαρμογές της γενικής σχετικότητας.
Προφανώς, το λογικό είναι να ξεκινήσει κανείς ένα προπτυχιακό μάθημα με μια περίληψη της ειδικής σχετικότητας, κατά προτίμηση δίνοντας έμφαση στην γεωμετρική προσέγγιση όπως παρουσιάστηκε στην 2η ενότητα. Ακόμα, θα ήταν καλό να προσπαθήσει να κάνει κανείς μια ποιοτική παρουσίαση των βασικών εννοιών της γενικής σχετικότητας στην αρχή, και πάλι όπως παρουσιάστηκε στη 2η ενότητα. Από εκεί και πέρα, για να προχωρήσει κανείς, θα πρέπει να εισαχθούν κάποια από τα στοιχεία των μαθηματικών που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 3. Κατά την γνώμη μου, τα ελάχιστα μαθηματικά που θα πρέπει να εισαχθούν είναι, (i) Μια σαφής εξήγηση του γεγονότος ότι ο χωροχρόνος δεν έχει τη δομή διανυσματικού χώρου και το ότι οι συντεταγμένες, $$\reverse\opaque \small x^{\mu}$$, δεν έχουν κανένα ιδιαίτερο φυσικό νόημα και αποτελούν απλά "ετικέτες" για τα χωροχρονικά γεγονότα. (ii) Η έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος σε μια καμπύλη, όπως παρουσιάστηκε στην 3η ενότητα. (iii) Η έννοια της μετρικής του χωροχρόνου ως ένα εσωτερικό γινόμενο για εφαπτόμενα διανύσματα και πως χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ιδιόχρονου $$\reverse\opaque \small \tau$$ κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης. (iv) Η έννοια της χρονοειδούς γεωδαισιακής ως μια καμπύλη που έχει ακρότατο $$\reverse\opaque \small \tau$$. Από εκεί και πέρα, η γεωδαισιακή εξίσωση μπορεί να εξαχθεί με την βοήθεια του λογισμού των μεταβολών κατά Euler-Lagrange (οι φωτοειδείς γεωδαισιακές μπορούν να εισαχθούν από τις χρονοειδείς παίρνοντας το κατάλληλο όριο). Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις συμμετρίες και τις διατηρήσιμες ποσότητες που ξέρουμε από την Λαγκρανζιανή μηχανική (δηλαδή τα σχετικά με το θεώρημα Noether) μεταφέρεται και στις ιδιότητες των γεωδαισιακών και άρα σε έναν χωρόχρονο με αρκετή συμμετρία, οι εξισώσεις αυτές μπορούν να λυθούν με την βοήθεια σταθερών της κίνησης.
Τα παραπάνω θα δώσουν στους φοιτητές τα απαραίτητα εργαλεία για να ερμηνεύσουν το τι είναι η μετρική του χωροχρόνου και τι φυσικές συνέπειες έχει, αφού τα βασικά πράγματα που χρειάζεται κανείς είναι (α) να μπορεί να υπολογίσει τον χρόνο που περνά κατά μήκος μιας χρονοειδούς καμπύλης και (β) να μπορεί να υπολογίσει τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές (που συνιστούν τις ελεύθερες τροχιές των σωματιδίων και των φωτονίων αντίστοιχα) σε έναν χωροχρόνο. Πέρα από τα παραπάνω όμως, οι φοιτητές δεν θα μπορούν να αντιληφθούν το νόημα των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν αφού δεν θα έχουν τα απαραίτητα εργαλεία και άρα δεν θα μπορούν να παράξουν κάποια λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τις λύσεις που θα τους παρουσιαστούν και θα μελετήσουν θα πρέπει να τις δεχτούν με καλή πίστη.
Αφού έχει παρουσιαστεί το παραπάνω μαθηματικό υλικό, θα είναι σε θέση κανείς να συζητήσει της λύση του Schwarzschild (που περιγράφει το βαρυτικό πεδίο γύρω από ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα) και τις λύσεις των Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW, που περιγράφουν χωρικά ομογενείς και ισοτροπικές κοσμολογίες). Στην περίπτωση της λύσης του Schwarzschild, μπορεί να υπολογίσει κανείς τις χρονοειδείς και τις φωτοειδείς γεωδαισιακές και άρα να υπολογίσει τις τροχιές των πλανητών και την καμπύλωση της τροχιάς του φωτός. Την λύση FLRW, μπορεί να την εισάγει κανείς βάση των συμμετριών που πρέπει να ικανοποιεί ένας τέτοιος χώρος και να την εκφράσει κανείς συναρτήσει ενός άγνωστου παράγοντα κλίμακας $$\reverse\opaque \small a(t)$$ και να δείξει πως οι αλλαγές σ'αυτόν τον παράγοντα σχετίζονται με την συστολή ή τη διαστολή του σύμπαντος. Επειδή οι εξισώσεις πεδίου δεν έχουν εισαχθεί, δεν μπορεί να υπολογίσει κανείς τις εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιεί ο παράγοντας κλίμακας, αλλά οι εξισώσεις αυτές μπορούν να δοθούν χωρίς απόδειξη και να υπολογιστούν οι διάφορες κοσμολογικές λύσεις.
Ακόμα και στην περίπτωση ενός εξαμηνιαίου μαθήματος, θα πρέπει μετά από όλα αυτά να περισσεύει ακόμα λίγος χρόνος για να συζητηθούν κάποια ακόμα βασικά θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία και η ανίχνευσή της, η ιδέα της μαύρης τρύπας όπως προκύπτει από την επέκταση της λύσης του Schwarzschild, άλλα θέματα της φυσικής των μελανών οπών και κάποια θέματα από την σύγχρονη κοσμολογία. Σε ένα μάθημα δύο εξαμήνων, κανείς θα μπορούσε να συζητήσει αναλυτικά όλα τα παραπάνω, καθώς και να εισάγει και το απαραίτητο μαθηματικό υλικό σχετικό με την καμπυλότητα το οποίο χρειάζεται για να παρουσιαστούν και οι εξισώσεις του Αϊνστάιν.

5. Διδάσκοντας γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό επίπεδο
Σε αντίθεση με τους προπτυχιακούς φοιτητές, στους μεταπτυχιακούς φοιτητές δεν γίνεται να μην παρουσιαστεί ο βασικός πυρήνας της θεωρίας της γενικής σχετικότητας. Έτσι, δεν μπορεί να διδαχτεί η γενική σχετικότητα χωρίς να παρουσιαστούν πλήρως οι εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν. Κατά συνέπεια, θα πρέπει να εισαχθεί η έννοια της καμπυλότητας και το σχετικό μαθηματικό υλικό.
Όποτε έχω διδάξει γενική σχετικότητα σε μεταπτυχιακό μάθημα, έχω αφιερώσει τις πρώτες δύο εβδομάδες σε μια επανάληψη/συζήτηση της ειδικής σχετικότητας από την γεωμετρική οπτική γωνία και σε μια ποιοτική συζήτηση των θεμελιωδών αρχών που διέπουν την γενική σχετικότητα. Μετά από αυτή την εισαγωγή, προχωράω σε μια πλήρη παρουσίαση όλης της μαθηματικής ύλης που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3 και κλείνω με την εξαγωγή και τη συζήτηση των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν. Αυτό το μαθηματικό κομμάτι του μαθήματος έχει συνήθως διάρκεια περίπου 5 εβδομάδων. Σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα, μετά τα παραπάνω, υπάρχει χρόνος μόνο για μια επιφανειακή παρουσίαση των παρακάτω σημαντικών θεμάτων: (i) ιδιότητες της γενικής σχετικότητας στην προσέγγιση του ασθενούς πεδίου (Νευτώνειο όριο και βαρυτικά κύματα), (ii) τις FLRW λύσεις και τις βασικές τους ιδιότητες (κοσμολογική ερυθρομετάθεση, θεωρία της μεγάλης έκρηξης, κοσμολογικοί ορίζοντες)και (iii) η λύση του Schwarzschild (πλανητικές τροχιές, καμπύλωση του φωτός, η ιδιότητες της μαύρης τρύπας τύπου Schwarzschild). Πιστεύω ότι ένα μάθημα αυτού του τύπου παρέχει στους φοιτητές μια στέρεα βάση στη γενική σχετικότητα. Παρέχοντας τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία και τις βασικές ιδέες της θεωρίας, επιτρέπει στους φοιτητές να προχωρήσουν περαιτέρω στην μελέτη τους της σχετικότητας. Πάντως, ένα μάθημα αυτού του τύπου έχει το μειονέκτημα ότι ένα μεγάλο μέρος του μαθήματος αφιερώνεται στο μαθηματικό υλικό και αυτό μπορεί να απογοητεύσει κάποιους φοιτητές που θα ήθελαν να δουν περισσότερη φυσική.
Σε ένα μάθημα του ενός εξαμήνου, ο μόνος τρόπος που θα μπορούσε να εισάγει κανείς αρκετό περισσότερο υλικό φυσικής πάνω σε θέματα όπως η βαρυτική ακτινοβολία, οι μαύρες τρύπες, η σχετικιστική αστροφυσική και η κοσμολογία, θα ήταν με το να μειώσει σημαντικά τον χρόνο που θα αφιέρωνε στα μαθηματικά. Αν κανείς εισάγει εξαρχής στον φορμαλισμό τις συντεταγμένες και δουλέψει αποκλειστικά με τα στοιχεία των τανυστών σε κάποιο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων, τότε μπορεί κανείς, όπως συζητήθηκε στην ενότητα 3, να προσπεράσει αρκετό από το υλικό σχετικά με τους τανυστές χρησιμοποιώντας απλά τον κανόνα μετασχηματισμού των τανυστών. Τότε μπορεί κανείς να εισάγει την παραγώγιση των τανυστών με τη βοήθεια των συμβόλων Christoffel, τα οποία θα εμφανίζονται ως οι «διορθωτικοί όροι» που θα πρέπει να προστεθούν στην συνήθη παράγωγο ώστε να δουλεύει και για τους τανυστές (και να ικανοποιεί δηλαδή τον μετασχηματισμό των τανυστών σε αλλαγές συντεταγμένων). Μετά μπορεί κανείς να εισάγει τον τανυστή καμπυλότητας του Riemann ως μια ποσότητα που παράγεται από τα Christofell και τις συνήθεις παραγώγους τους με τέτοιο τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να μετασχηματίζεται σαν τανυστής. Το τίμημα που πληρώνει κανείς έτσι είναι ότι χάνει την επαφή με τις βασικές γεωμετρικές ιδέες που βρίσκονται στα θεμέλια της γενικής σχετικότητας – και ειδικότερα τη διαφορά της σε σχέση με όλες τις προηγούμενες θεωρίες σε ότι αφορά την απουσία ενός σταθερού, μη-δυναμικού υποβάθρου στη δομή του χωροχρόνου – αφού αυτές οι βασικές ιδέες είναι δύσκολο να γίνουν αντιληπτές αν η θεωρία δεν διατυπωθεί με τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Επιπλέον οι φοιτητές δεν θα διαθέτουν τα μαθηματικά εργαλεία για να προχωρήσουν την μελέτη τους σε αντικείμενα που περιέχουν μεθόδους που εκμεταλλεύονται την καθολική δομή του χωροχρόνου (global methods) - όπως είναι τα singularity theorems και η γενική θεωρία των μελανών οπών – όπου και πάλι είναι σημαντικό οι διάφορες ιδέες να έχουν διατυπωθεί με ένα τρόπο ανεξάρτητο των συντεταγμένων. Παρόλα αυτά, αν κανείς προχωρήσει με αυτόν τον τρόπο , μπορεί να μειώσει τον χρόνο που θα ξοδέψει στα μαθηματικά κατά έναν παράγοντα του 2 ή και περισσότερο, επιτρέποντας έτσι την διάθεση περισσότερου χρόνου σε φυσικές εφαρμογές.

6. Βιβλιογραφία (Resources)
Σημείωση: Β = βασικού επιπέδου, Μ = μεσαίου επιπέδου, Π = προχωρημένου επιπέδου

6.1 Πηγές για εισαγωγική παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Relativity: The Special and the General Theory, The Masterpiece Science Edition, A. Einstein (Pi Press, New York 2005). Είναι η ανατύπωση μίας από τις πρώτες μη-τεχνικές παρουσιάσεις της ειδικής και της γενικής σχετικότητας και περιέχει και μια εισαγωγή γραμμένη από τον Penrose και σχολιασμό από τους R. Geroch και D. Cassidy. (Β)

Flat and Curved Space-Times (second edition), G.F.R. Ellis and R. Williams (Cambridge University Press, Cambridge, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει την ειδική σχετικότητα από την γεωμετρική σκοπιά και κάνει μια εισαγωγή στην γενική σχετικότητα. (Β)

General Relativity from A to B, R. Geroch (University of Chicago Press, Chicago, 1978). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εξαιρετική εισαγωγή στις βασικές ιδέες της γενική σχετικότητας από γεωμετρική σκοπιά. (Β) (δικό μου σχόλιο: το βιβλίο αυτό είναι καταπληκτικό για να εισαχθεί κανείς στην γεωμετρική εικόνα της σχετικότητας)

Gravity from the Ground Up, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 2003). Αυτό το βιβλίο έχει μια ενδιαφέρουσα συζήτηση γύρω από τη φύση της βαρύτητας στην γενική σχετικότητα και τις συνέπειες που έχει για την αστροφυσική και την κοσμολογία. (Β)

Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, E.F. Taylor and J.A. Wheeler (Addison Wesley Longman, San Francisco, 2000). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει μια εισαγωγή στη γενική σχετικότητα και τις μαύρες τρύπες δίνοντας μεγαλύτερη βάση στην φυσική. (Β)

Black Holes and TimeWarps: Einstein’s Outrageous Legacy, K.S. Thorne (W.W. Norton, New York, 1994). Αυτό το βιβλίο παρουσιάζει κάποιες από τις πιο εντυπωσιακές ιδέες που έχουν προκύψει στα πλαίσια της γενικής σχετικότητας. Το βιβλίο αυτό είναι μεταφρασμένο και στα Ελληνικά. (Β)

Space, Time, and Gravity: The Theory of the Big Bang and Black Holes (second edition), R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1992). (Β)

Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test (second edition) C.M. Will (Basic Books, New York, 1993). Αυτό το βιβλίο δίνει μια αναλυτική παρουσίαση της πειραματικής και της παρατηρησιακής επαλήθευσης της γενικής σχετικότητας. Και αυτό το βιβλίο υπάρχει μεταφρασμένο στα Ελληνικά και το προτείνω ως ένα πολύ καλό ανάγνωσμα. (Β)

6.2 Πηγές για διαφορική γεωμετρία

Geometry of Manifolds, R.L. Bishop and R.J. Crittenden (American Mathematical Society, Providence, 2001). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)

Tensor Analysis on Manifolds, R.L. Bishop and S. Goldberg (Dover Publications, New York, 1987). (Μ)

Riemannian Geometry, L.P. Eisenhart (Princeton University Press, Princeton, 1997). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει την διαφορική γεωμετρία από την οπτική της επιλογής συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων. (Μ,Π)

Foundations of Differential Geometry, volumes 1 and 2, S. Kobayashi and K. Nomizu (John Wiley and Sons, New York, 1996). Προχωρημένη διαφορική γεωμετρία. (Π)

Riemannian Manifolds : An Introduction to Curvature, J.H. Lee (Springer-Verlag, New York, 1997). (Μ)

Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, D. Lovelock and H. Rund (Dover Publications, New York, 1989). (Μ)

A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, volumes 1-5, third edition, M. Spivak (Publish or Perish Inc., Houston, 1999). (Μ)

Tensors and Manifolds: With Applications to Mechanics and Relativity, R.H. Wasserman (Oxford University Press, Oxford, 1992). Εισαγωγή στους τανυστές σε πολλαπλότητες. (Μ)

6.3 Πηγές για προπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, J.B. Hartle (Addison Wesley, San Francisco, 2003). Η φιλοσοφία στη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας στους προπτυχιακούς, που παρουσιάστηκε παραπάνω, είναι παρμένη από αυτό το βιβλίο. (Μ)

General Relativity: A Geometric Approach, M. Ludvigsen (Cambridge University Press, Cambridge, 1999). (Μ)

Relativity: Special, General, and Cosmological, W. Rindler (Oxford University Press, Oxford, 2001). (Μ)

A First Course in General Relativity, B. Schutz (Cambridge University Press, Cambridge, 1985). Το βιβλίο αυτό υπάρχει και στα Ελληνικά και είναι μια αρκετά καλή εισαγωγή στη γενική σχετικότητα.(Μ)

Relativity : An Introduction to Special and General Relativity third edition, H. Stephani (Cambridge University Press, Cambridge, 2004). (Μ)

6.4 Πηγές για μεταπτυχιακού επιπέδου παρουσίαση της γενικής σχετικότητας

Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, S. Carroll (Addison Wesley, San Francisco, 2004). Μια πολύ καλή και παιδαγωγική εισαγωγή στη γενική σχετικότητα. (Μ)

The Large Scale Structure of Space-time, S.W. Hawking and G.F.R. Ellis (Cambridge University Press, Cambridge, 1973). Το βιβλίο αυτό αποτελεί την πιο πλήρη παρουσίαση των βασικότερων θεωρημάτων της γενικής σχετικότητας γενικά και ειδικά σε ότι αφορά τις μαύρες τρύπες. (Π)

Relativity on CurvedManifolds, F. de Felice and C.J.S. Clarke (Cambridge University Press, Cambridge, 1990). (Μ,Π)

The Classical Theory of Fields, L.D. Landau and E.M. Lifshitz, (Elsevier, Amsterdam, 1997). Μια πολύ καθαρή παρουσίαση της γενικής σχετικότητας από την οπτική της συγκεκριμένης βάσης συντεταγμένων. (Μ,Π)

Gravitation, K.S. Thorne, C.W. Misner, and J.A. Wheeler (W.H. Freeman, San Francisco, 1973). Αυτό το βιβλίο αποτελεί την πρώτη μοντέρνα παρουσίαση της γενικής σχετικότητας (αλλά παρουσιάζει σε κάποια σημεία συγκριτικά και την οπτική από τις συγκεκριμένες συντεταγμένες). Το βιβλίο δίνει βάρος στην φυσική πίσω από τη θεωρία. (Μ,Π)

Advanced General Relativity, J. Stewart, (Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1991). (Π)

General Relativity, R.M. Wald (University of Chicago Press, Chicago, 1984). (Μ,Π)

Gravitation and Cosmology : Principles and Applications of the General Theory of Relativity, S. Weinberg (Wiley, New York, 1972). Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει μια αντί-γεωμετρική προσέγγιση στη γενική σχετικότητα, ενώ κάποια από τα στοιχεία που παρουσιάζει στην κοσμολογία είναι απαρχαιωμένα, αλλά παραμένει μαι από τις καλύτερες αναφορές στις εφαρμογές και τους υπολογισμούς που προκύπτουν στη γενική σχετικότητα. (Μ,Π)

7. Διαλέξεις στο διαδίκτυο

7.1 Από το Perimeter Institute
Relativity (Neil Turok)
Advanced General Relativity (E. Poisson)

7.2 Από Stanford University
Course | Modern Physics: Special Relativity (Leonard Susskind)
Course | Modern Physics: Einstein's Theory (Leonard Susskind)

7.3 Από MIT
Exploring Black Holes: General Relativity & Astrophysics (Edmund Bertschinger και Edwin F. Taylor, homepage του μαθήματος)